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Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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E653. Un cinquième tour de cartes Imprimer Envoyer
E6. Autres casse-tête

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Problème proposé par Michel Cayrol

On considère un jeu de 2n  cartes (n>0). Les nombres de 0 à 2n −1 sont imprimés sur les faces
des cartes.
Les cartes sont empilées, faces vers le bas, initialement ordonnées de 0 à 2n −1,
la carte 0 étant la carte supérieure (en sommet de pile), la carte inférieure étant la carte de numéro 2n −1. Un nombre p appartenant à {0,1,2,3,...,2n −1} est choisi. On identifiera une carte avec le nombre inscrit sur sa face.

Procédure : La pile de 2n cartes, orientée avec les cartes faces vers le bas, est distribuée
en deux piles de la manière suivante : La carte supérieure est retournée face en haut et posée
du côté gauche, la suivante est retournée et posée face en haut du côté droit, la suivante face en haut vient recouvrir celle de gauche, la suivante, face en haut celle de droite . . .  et ce jusqu’à épuisement de la pile initiale.
Il en résulte deux piles de 2n−1 cartes faces vers le haut.
Enfin, la pile qui ne contient pas la carte p est posée sur l'autre pile, le paquet résultant est retourné faces vers le bas.
Fin de la procédure.

Cette procédure est exécutée en tout n fois. Il en résulte une pile de cartes que nous appellerons Pile.
Q1 Démontrer que la carte p se retrouve au sommet de la pile Pile.
Q2 Démontrer que la carte 0 initialement en sommet de pile se trouve à la position initiale de la carte p.
Q3 Analyser les positions successives de ces deux cartes si on continue à appliquer la procédure.
Nota : ce problème est le cinquième tour de cartes dans la rubrique E6xxx après E614,E615,E624 et E626.

Solution
 
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