 
J'écris les entiers naturels de 1 à 12 sur une feuille. J'efface deux entiers a et b de la liste que je remplace par a + b + ab et je poursuis cette opération jusqu'à ce qu'il reste un seul nombre.
Quel est le plus petit et quel est le plus grand des nombres finaux que je peux obtenir ?
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Est-il vrai que quand xn - 1 est factorisé sous la forme du produit de polynômes irréductibles avec des coefficients entiers, aucun entier autre que 1, 0 ou - 1 n'apparaît comme coefficient dans l'un quelconque des facteurs ?
Par exemple :
x2 - 1 = (x - 1).(x + 1)
x3 - 1 = (x - 1).(x2 + x + 1)
x4 - 1 = (x - 1).(x + 1).(x2 + 1)
etc....
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On a un entier naturel N quelconque. Deux opérations sont possibles : on le multiplie par 7 pour obtenir 7N ou bien quand N >9, on supprime le dernier chiffre pour ne garder que la partie entière de N/10. En combien d'opérations est-on certain de passer de l'année 2005 à l'année 2006? de l'année 2006 à l'année 2005? Généralisation : qu'en est-il si l'on veut passer d'un entier A à un entier B avec un coefficient multiplicatif P quelconque >1 et différent d'un multiple de 10? |
Q1 :Multiplier pour décroître…
A partir d’un entier naturel N, on peut effectuer deux opérations :
- le multiplier par n’importe entier positif,
ou
- supprimer tout ou partie des zéros qu’il contient.
Exemple : On part de 239. Ce nombre multiplié par 42 donne 10038. On supprime les deux zéros et il reste 138. On multiplie par 5 et le résultat est 690. D’où 69 en supprimant le dernier zéro, etc…
En partant de n’importe quel entier naturel >10 fixé à l’avance, dans quelles conditions peut-on aboutir à un entier inférieur ou égal à 9 ?
Q2 : …et diviser pour croître.
A partir d’un entier naturel N, on peut effectuer deux opérations :
- le diviser par n’importe lequel de ses diviseurs s’il n’est pas premier,
ou
- ajouter entre les chiffres ou à la fin du nombre autant de zéros que l’on souhaite.
Exemple : On part de 37. On ajoute deux zéros pour obtenir 3070. On divise le nombre par 2 et on obtient 1535. On ajoute un zéro et on obtient 10535. qui divisé par 7 donne 1505,etc….
En partant d’un nombre inférieur à 10, dans quelles conditions est-on certain d’obtenir un entier naturel quelconque fixé à l’avance ?
Source : d’après Olympiades de mathématiques de Saint Petersbourg
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Diophante soumet ce nombre N de 46 chiffres à Théophile : 1063829787234042553191489361702127659574468085.
Il lui suggère de le multiplier par 2 puis par 3 puis par 4 etc... Théophile commence à se livrer à ces multiplications fastidieuses et constate très vite qu'il retrouve chaque fois dans le résultat au moins 45 chiffres du nombre N mais évidemment pas dans la même ordre.
Va-t-il observer cette étrange propriété quel que soit le multiplicateur entier de N ?
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Trouver sans l'usage d'un ordinateur la séquence des neuf plus petits nombres entiers consécutifs positifs tels que chacun d'eux ou toute somme d'un nombre quelconque d'entre eux ne soient jamais un carré parfait.
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Un entier N a six chiffres tous différents entre eux et différents de zéro. Il est divisible par 37. Prouver qu'il existe au moins 23 nombres qui ont les mêmes chiffres et sont aussi divisibles par 37.
Source : olympiades russes de mathématiques 1980 |
Dans une séquence quelconque de nombres entiers positifs ou nuls, on suppose qu'on peut remplacer deux termes a et b par la somme a + b et par la valeur absolue de la différence a - b.
En partant de la séquence des n premiers nombres entiers consécutifs 1,2,3,...n avec n > 2 , démontrer qu'il est possible d'arriver à une séquence où tous les termes sont égaux entre eux : k,k,.....k (n fois) ?
Quelle est la plus petite valeur possible de k ?
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Trouver une séquence croissante S d'entiers >= 0 de la forme 0<= a0 < a1 < a2 ...< an telle que tout entier N appartenant à l'intervalle [0,3an] puisse s'exprimer d'une seule manière sous la forme N = ai + 2aj, ai et aj étant extraits de S avec les indices i et j qui peuvent être identiques.
Source : Leo Moser Revue Math Magazine 1962
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Diophante a une belle collection de cent lézards verts de la vallée du Nil : 31 parmi eux ont une couleur vert amande (VA), 34 une couleur vert bronze (VB) et les 35 restants une couleur vert-de-gris (VG). Ils les réunit tous dans un vivarium mais il a oublié que lorsque deux lézards de couleurs différentes se rencontrent, ils prennent la troisième couleur. Quelques heures plus tard, il observe que les lézards ont tous la même couleur. Quelle est cette couleur ?
Si Diophante ajoute dans le vivarium 1 lézard vert amande, que va-t-il observer ? Que se passe-t-il avec 2 lézards vert-de-gris de plus au lieu du lézard vert amande ?
Abandonnant sa collection de lézards devenus monocolores, Diophante installe dans le vivarium huit caméléons dont un de type A, cinq de type B, un de type C et un de type D. Lorsque un caméléon de type A rencontre un caméléon de type B, cela donne deux caméléons de type C tandis que B+C donnent 2D, C+D donnent 2A et D+A donnent 2B. Les autres rencontres possibles (A+C, B+D et évidemment A+A, B+B, C+C, D+D) ne donnent lieu à aucun changement.
Quelques heures plus tard, Diophante constate que les huit caméléons sont tous de même type. Quel est ce type ? Il renouvelle l'expérience toujours avec 1A, 5B, 1C et 1D. Cette fois-ci, il observe une situation d'équilibre dans laquelle il n'y a pas de caméléon de type D. Quelle est cette situation d'équilibre ?
Il fait une troisième expérience avec 1A, 1B, 4C, 2D. Il observe une situation d'équilibre avec 3 caméléons de type A. Que peut-on en conclure ?
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1ère énigme : Le classique du 1er janvier [*]
Le classique parmi les classiques :avec les quatre opérations élémentaires +, - , x ,/ et des parenthèses mises en tant que de besoin, à l'exclusion de tout autre symbole tel que exposant, racine carrée, factorielle,... trouver une formule qui donne un résultat égal à 2024 et fait intervenir :
1) les neuf chiffres de 1 à 9 pris dans cet ordre, les concaténations étant interdites.
Par exemple pour obtenir 101, on pourrait écrire 101 = (1 + 2 + 3) x 4 – 5 x (6 - 7) + 8 x 9.
2) le plus petit nombre possible de chiffres distincts pris dans l’ordre parmi l’ensemble des chiffres de 1 à 9, les concaténations étant interdites.
Par exemple pour obtenir 101, on pourrait écrire 101 = – 1 + 5 x 6 + 8 x 9
3) le plus petit nombre possible de chiffres distincts pas nécessairement pris dans l’ordre parmi l’ensemble des chiffres de 1 à 9, les concaténations étant autorisées.
Par exemple pour obtenir 101, on pourrait écrire 101 = 3 x 4 + 89
2ème énigme (proposée par Raymond Bloch): Le pass [**]
Le « pass » pour passer d’une année A à l’année A+1 est le plus petit entier N tel que A*N se termine par A+1.
Par exemple, 2009 * 6890 = 13842010 (et on prouve que 6890 est le plus petit multiplicateur possible).
Quel est le pass pour passer de 2023 à 2024 ?
3ème énigme (proposée par Pierre Leteurtre): Sur la 6ème face cachée [**]
Un cube est posé sur la table, et, sur les faces visibles, on peut lire les nombres : 2688, 3750, 1208, 1580 et 5621. Quel est le nombre écrit sur la face cachée ? Justifiez votre réponse.
4ème énigme (proposée par Raymond Bloch) : Les allumettes [*]
Déplacer dans le membre de gauche de la soustraction ci-après une seule allumette pour obtenir une opération exacte.
5ème énigme (proposée par Raymond Bloch) : Multiplicande et somme à la fois [**]
En multipliant 2024 par l’entier K, on obtient un nombre de huit chiffres ABCDEFGH tel que
ABCD + EFGH = 2024 (ABCD et EFGH sont des nombres entiers de quatre chiffres, mais ABCD peut commencer à gauche par 1, ou 2, ou 3 zéros). Que vaut K ?
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Pour tout entier s ≥ 66, on considère toutes les suites Si (i = 1,2,…k) constituées de 11 entiers distincts strictement positifs dont la somme est égale à s et le produit est égal à pi.
Q1 Soit s = 82. Déterminer le PGCD(1) de tous les produits pi.
Q2 Déterminer la plus petite valeur de s telle qu’on sait trouver deux suites S1 et S2 de même somme s et dont le PGCD de p1 et de p2 est égal à 1.
(1)Nota : PGCD : plus grand commun diviseur
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Problème proposé par Raymond Bloch et Pierre-Jean Laurent
Q1 On choisit librement dix nombres distincts parmi les entiers de 1 à 45.Montrer que parmi eux il est toujours possible d’en trouver quatre a, b, c, et d vérifiant a < b ≤ c < d tels que a + d = b + c.
Q2 On choisit librement dix nombres distincts parmi les entiers de 1 à 37.Montrer que parmi eux il est toujours possible d'en trouver quatre a, b, c, et d vérifiant a < b < c < d tels que a + d = b + c.
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Déterminer l’entier n le plus proche possible de 2024 qui a les deux propriétés suivantes :
P1 : on lui applique la fonction f définie par f(n) = n / 2 si n est pair et f(n) = n2 ‒ 1 si n est impair et on obtient 0 en appliquant la fonction f ,un nombre fini de fois, aux résultats successifs.
P2 : la somme r(n) des restes de la division de n par les entiers successifs 1,2,3,..n est égale à la somme r(n + 1).
 Joël Benoist,Jean Moreau de Saint Martin,Claude Felloneau,Pierre Herni Palmade,Pierrick Verdier,Marie-Nicole Gras,Thérèse Eveilleau,David Amar,Daniel Collignon,Gaston Parrour,Francesco Franzosi,Pierre Leteurtre et Nicolas Petroff ont résolu le problème en obtenant la valeur n = 2047 (=211 - 1).
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Soit S(n) la somme des n premiers nombres premiers 2,3,5,7,…. Par exemple S(5) = 2 + 3 + 5 + 7 + 11 = 28
Existe-t-il au moins un carré parfait entre S(2023) et S(2024) ?
Jean Moreau de Saint Martin,Claude Felloneau,Joël Benoist,Pierre Henri Palmade,Pierrick Verdier,Kamal Benmarouf,Daniel Collignon,David Hersant,Jean-Louis Margot,Bruno Grebille,Gaston Parrour,Thérèse Eveilleau,Yves Archambault,Kea-Wai Lau,Francesco Franzosi,Pierre Leteurtre,Emmanuel Vuillemenot,Patrick Kitabgi ont résolu le problème.
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Problème proposé par Bernard Vignes
Soient deux entiers n et d tels que 1 < n < d avec PGCD(n,d) = 1.
Q1 Prouver qu’on peut toujours exprimer la fraction n/d comme la somme d’au plus n fractions égyptiennes distinctes de la forme 1/xi avec xi entier strictement positif pour i = 1,2,…,n.
Q2 Démontrer qu’on peut toujours exprimer la fraction n/d comme la somme exacte de n fractions égyptiennes distinctes.
Application numérique : trouver le plus grand entier d > 10 tel que 10/d est la somme de 10 fractions égyptiennes dont tous les dénominateurs sont inférieurs à 100.
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Q1[**] Trouver tous les trinômes ordonnés de nombres premiers (p,q,r) dans les trois cas suivants :
a) p divise qr ‒ 1, q divise rp ‒ 1 et r divise pq ‒ 1
b) p divise qr + 1, q divise rp + 1 et r divise pq + 1
c) p divise qr + 11, q divise rp + 11 et r divise pq + 11
Peut-on conjecturer qu’il y a une infinité dénombrable de quadrinômes de nombres premiers (p,q,r,s) tels que p divise qr + s, q divise rp + s et r divise pq + s ?
Q2[****] Trouver tous les trinômes ordonnés de nombres premiers (p,q,r) tels que p divise qr + 1, q divise rp + 1 et r divise pq + 1.
Jean Moreau de Saint Martin,Claude Felloneau,Olivier Pasquier de Franclieu,Bruno Langlois,Pierrick Verdier,Daniel Collignon,Kamal Benmarouf,Thérèse Eveilleau,Gaston Parrour,Bernard Vignes,Pierre Henri Palmade,Marc Humery,Pierre Leteurtre ont résolu ou traité tout ou partie du problème.
On trouvera ci-après la solution A1606TST2003 de la question Q2 qui a été posée en 2003 lors de la sélection de l'équipe américaine aux olympiades internationales de mathématiques.
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Le classique parmi les classiques :avec les quatre opérations élémentaires +, - , x ,/ et des parenthèses mises en tant que de besoin, à l'exclusion de tout autre symbole tel que exposant, racine carrée, factorielle,... trouver une formule qui donne un résultat égal à 2025 et fait intervenir :
1) les neuf chiffres de 1 à 9 pris dans cet ordre, les concaténations étant interdites.
Par exemple pour obtenir 101, on pourrait écrire 101 = (1 + 2 + 3) x 4 – 5 x (6 - 7) + 8 x 9.
2) le plus petit nombre possible de chiffres distincts pris dans l’ordre parmi l’ensemble des chiffres de 1 à 9, les concaténations étant interdites.
Par exemple pour obtenir 101, on pourrait écrire 101 = – 1 + 5 x 6 + 8 x 9
3) le plus petit nombre possible de chiffres distincts pas nécessairement pris dans l’ordre parmi l’ensemble des chiffres de 1 à 9, les concaténations étant autorisées.
Par exemple pour obtenir 101, on pourrait écrire 101 = 3 x 4 + 89
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Problème proposé par Pierre Leteurtre
Q1 Déterminer le nombre correspondant à cette expression écrite en notation polonaise inversée (1).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 x x + − x − + x (2)
Q2 Transformer cette expression symbolique en notation classique avec les parenthèses strictement nécessaires
a b c d e – f / g / x h / / − i x (2)
Application numérique : valeur de l'expression avec a = 1, b = 2, ... i = 9
Nota : (1) Pour plus de détail sur cette notation, se reporter à l’article de Wikipedia NPI
(2) +, − , x et / représentent respectivement les signes de l’addition, de la soustraction, de la multiplication et de la division.
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Pour tout entier n strictement positif, la fonction Ψ(n) est égale à somme des plus grands communs diviseurs (PGCD) de l’entier n et des entiers k, k variant de 1 à n.
En d’autres termes, si (n,k) désigne le PGCD de n et de k,
Par exemple Ψ(4) = 1 + 2 + 1 + 4 = 8 et Ψ(5) = 1 + 1 + 1 + 1 + 5 = 9
Q1 Calculer Ψ(n) pour n variant de 1 à 25.[*]
Q2 Démontrer que si p et q sont deux entiers relativement premiers entre eux Ψ(p.q) = Ψ(p).Ψ(q).[**]
Q3 Calculer Ψ(2024) et trouver trois entiers a,b,c ,a ≠ b ≠ c ≠ 2024, tels que Ψ(a ) = Ψ(b) = Ψ(c) = Ψ(2024).[***]
Q4 Prouver que pour tout entier m ≥ 1, l’équation Ψ(x) = mx a toujours au moins une solution en x.
Prouver que l’équation Ψ(x) = 2024x a au moins deux solutions en x et donner la condition nécessaire et suffisante sur m pour que l’équation Ψ(x) = mx ait une seule solution.[***]
Par ordre alphabétique,
David Amar,Kamal Benmarouf,Joël Benoist,Daniel Collignon,Maxime Cuenot,Thérèse Eveilleau,Claude Felloneau,Johann Fraleux,Bruno Grebille,Baphomet Lechat,Jean-Michel Le Claire,Jean-Louis Margot,Jean Moreau de Saint Martin,Pierre Henri Palmade,Gaston Parrour,Olivier Pasquier de Franclieu,Nicolas Petroff,Pierre Renfer,Pierrick Verdier ont résolu le problème.
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Trouver un nombre entier composé N (c'est à dire non premier) qui a la propriété suivante : pour chaque diviseur positif d de N, d+1 est diviseur de N+1 |
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Soient :
φ(n), fonction d’Euler, le nombre d’entiers qui sont strictement inférieurs à l’entier n et sont premiers avec lui.
σ(n) la somme des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même.
τ(n) le nombre des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même.
Q1 Avec 20! qui désigne la factorielle de 20, dans chacun des neuf cas ci-après, trouver le plus grand nombre premier p tel que :
p divise φ(20!), p2 divise φ(20!), p3 divise φ(20!),
p divise σ(20!), p2 divise σ(20!), p3 divise σ(20!),
p divise τ(20!), p2 divise τ(20!), p3 divise τ(20!).
Q2 Avec 95! qui désigne la factorielle de 95, dans chacun des quatre cas ci-après, trouver le plus grand nombre premier q tel que : q divise φ(95!), q2 divise φ(95!), q3 divise φ(95!), q4 divise φ(95!).
Par ordre alphabétique: Maurice Bauval, Joël Benoist, Daniel Collignon, Claude Felloneau, Francesco Franzosi, Thérèse Eveilleau, Bruno Grebille, Marc HumeryPatrick Kitabgi, Kee-Wai Lau, Jean Moreau de Saint Martin, Pierre Henri Palmade, Gaston Parrour, Olivier Pasquier de Franclieu, Nicolas Petroff et Pierrick Verdier ont résolu le problème.
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Il est bien connu que tout nombre entier impair 2k + 1 est la somme s d’une suite d’au moins deux entiers consécutifs strictement positifs. Le cas trivial est s = k + (k + 1) = 2k + 1 mais on peut obtenir plusieurs suites distinctes avec certains entiers, par exemple s = 21 = 10 + 11 = 6 + 7 + 8 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6.
On fixe s = 2026125. Recenser toutes les suites d’entiers consécutifs strictement positifs dont la somme est égale à s et déterminer les termes extrêmes de la plus longue d’entre elles.
Par ordre alphabétique: Maurice Bauval, Daniel Collignon, Maxime Cuenot, Thérèse Eveilleau, Claude Felloneau, Francesco Franzosi, Michel Goudard, Pierre Jullien,Patrick Kitabgi, Kai-Wai Lau, Baphomet Lechat, Pierre Leteurtre, Jean Moreau de Saint Martin, Pierre Henri Palmade, Gaston Parrour, Nicolas Petroff, Jérôme Pierard, Christian Romon, Pierrick Verdier et Bernard Vignes ont résolu le problème en obtenant 23 suites d’entiers consécutifs strictement positifs dont la somme est égale à 2023126 et les termes extrêmes 225 et 2025 de la plus longue d’entre elles (1801 termes) .
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Problème proposé par Stan Wagon
Exprimer 30!(1) comme produit de nombres triangulaires distincts de la forme T(k)=k(k+1)/2.
Pour les plus courageux :exprimer sous forme de conjecture les entiers n dont la factorielle n’admet pas de triangulation.
(1)Nota : factorielle 30 = 1*2**…*29*30
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Pour tout entier k ≥ 2 et pour les chiffres c vrariant de 2 à 9, on désigne par p(c,k) le pénultième chiffre de ck .
Par exemple pour k = 3 et c = 7, ck = 73 = 343 et p(7,3) = 4.
Par convention, on retient p(2,2) = p(2,3) = p(3,2) = 0.
Q1 Pour quelle(s) valeur(s) de c, p(c,k) garde la même parité quel que soit k ≥ 2 ?
Q2 Pour quelle(s) valeur(s) de c, p(c,k) prend au plus deux valeurs distinctes quel que soit k ≥ 2 ?
Q3 Déterminer les 4-uples de chiffres w, x, y, z pas nécessairement distincts tels que 2 ≤ w, x, y, z ≤ 9 et
1000p(w,2025) + 100p(x,2025) +10p(y,2025) + p(z,2025) = 2024
Q4 On considère la suite S des entiers nk définie pour k = 2,3,4... par 
Prouver que S est périodique et déterminer sa période. Déterminer la plus grande valeur et la plus petite valeur des
termes de S.
Joël Benoist,Claude Felloneau,Jean Moreau de Saint Martin,David Amar,Gaston Parrour,Thérèse Eveilleau,Marc Humery,Maurice Bauval,Daniel Collignon,Pierre Henri Palmade,Kee-Wai Lau, Bruno Grebille,Loïc Mahé et Bernard Vignes ont résolu le problème.
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Q₁ Prouver qu’il existe au moins douze couples d’entiers strictement positifs [n,k] telles que
où n! désigne la factorielle de n et  désigne la partie entière par excès de x.[*]
Q₂ Existe-t-il une infinité dénombrable de telles paires ?[*****]
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Problème proposé par Kaustuv Sengupta
Q1 Déterminer les quatre entiers positifs distincts à trois chiffres les plus petits possibles commençant par le même chiffre, de telle sorte que leur somme soit divisible par trois d’entre eux.
Q2 Déterminer les cinq entiers positifs distincts à quatre chiffres les plus petits possibles commençant par le même chiffre, de telle sorte que leur somme soit divisible par quatre d’entre eux.
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Soit un entier n ≥ 2 avec ses diviseurs classés par ordre croissant 1 = d1 < d2 < d3 < …< dk = n. Le socle sn de l’entier n est égal à la somme des produits de deux diviseurs consécutifs soit sn = d1d2 + d2d3 + …+ dk-1dk.
On pose rn = sn/n2
Q1 Prouver que rn < 1 pour tout n ≥ 2.
Q2 Déterminer le plus petit entier n tel que rn > 0.95
Q3 Déterminer les entiers n tels que sn est un diviseur de n2.
Q4 Prouver que quels que soient i et j entiers r2i > r2j + 1
Q5 Déterminer deux entiers p et q, 2 < p, q < 10000, p pair et q impair tels que rp – rq < 1/30
Source :olympiades internationales de mathématiques 2002 à Glasgow
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Pour tout entier n impair ≥ 1, on pose :
An = 1540n + 220n + 154n + 70n +22n +10n + 7n + 1
Bn = 360n + 330n + 300n + 275n + 216n +198n + 180n + 165n
Prouver que, quel que soit n impair ≥ 1, An et Bn sont divisibles par 2024.
Claude Felloneau,Jean Moreau de Saint Martin,Olivier Pasquier de Franclieu,Pierre Henri Palmade,Thérèse Eveilleau,Pierrick Verdier,Patrick Kitabgi,Baphomet Lechat,Albert Stadler,Bruno Grebille,Christian Romon,Daniel Collignon,Dominique Chesneau,Emmanuel Vuillemenot,Gaston Parrour,Joël Benoist,François Tisserant,Kamal Benmarouf,Kee-Wai Lau,Maurice Bauval,Michel Goudard,Marc Humery,Pierre Renfer,Loïc Mahé,Yves Archambault, Maxime Cuenot et Bernard Vignes ont résolu le problème.
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Je dispose de trois codes d'accès Internet qui sont trois entiers abcdef à 6 chiffres compris entre 100000 et 999999. Pour les garder en mémoire, je décide de les crypter de manière très simple en inscrivant sur mon calepin les premiers chiffres significatifs de la division de abc par def. J'obtiens trois nombres décimaux dont je garde 9 décimales : C1= 0,195323246 C2=0,949760765 et C3=0,370030581. A partir de C1, C2 et C3 suis-je en mesure de reconstituer avec une calculette ordinaire les trois codes d'origine ? Puis je réduire le nombre de chiffres significatifs de C1,C2 et C3 tout en étant certain de retrouver les codes d'origine ? |
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Problème proposé par Raymond Bloch
Q1 Sachant que A est un chiffre de 1 à 9,B,C et D des chiffres de 0 à 9,déterminer l’entier de 12 chiffres AB20242025CD divisible par 11088. [**]
Q2 Déterminer le plus petit entier n et le plus grand entier N dont la somme des chiffres et le produit des chiffres sont tous deux égaux à 2025.[**]
Q3 Déterminer l’entier n tel que  [*]
Nota : les trois questions sont indépendantes
Daniel Collignon,Patrick Kitabgi,Pierrick Verdier,Joël Benoist,Jean Moreau de Saint Martin,Pierre Henri Palmade,Thérèse Eveilleau,Yves Archambault,Maxime Cuenot,Raphaël Nanchen,Maurice Bauval,Pierre Leteurtre,Nicolas Petroff ont résolu le problème à l'inverse de ChatGPT.
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On considère l’ensemble E de n ≥ 2 nombres réels distincts et on calcule tous les produits u.v de deux nombres u et v appartenant à E. On obtient ainsi un ensemble F de nombres réels distincts.
Q1 Déterminer en fonction de n les valeurs maximale cmax et minimale cmin du cardinal de F.
Application numérique : calculer cmin avec n = 1015 puis avec n = 1016. Donner dans chacun de ces deux cas un exemple chiffré de l’ensemble E correspondant.
Q2 Pour quelles valeurs de n ≥ 2 la valeur de cmax est-elle un multiple entier de cmin ?
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Q1 Cet entier n a un nombre impair de diviseurs (y compris lui-même) : di pour i = 1 à 2k + 1 classés par ordre croissant d1 < d2 < …..< di < di+1 < …< d2k+1. Sachant que d6*d10 = n et d11*d12 = 15n, déterminer n.
Q2 Déterminer les entiers naturels < 2025, chacun ayant exactement huit diviseurs (y compris lui-même) : di pour i = 1 à 8, classés par ordre croissant, d1 < d2 < …..< d8 tels que d5 – d1 = d7 – d6.
Nota: les deux questions sont indépendantes
Jean Moreau de Saint Martin,Bruno Grebille,Joël Benoist,Claude Felloneau,Albert Stadler,Pierre Henri Palmade,Christian Romon,Patrick Kitabgi,Thérèse Eveilleau,Gaston Parrour,Marc Humery,Pierrick Verdier,Emmanuel Vuillemenot, Maxime Cuenot,Kamal Benmarouf,Maurice Bauval,Daniel Collignon,Kee-Wai Lau,Raymond Bloch,Francesco Franzosi,Bernard Vignes ont résolu le problème.
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On soumet la question suivante à 1000 personnes réunies dans un amphithéâtre : Votre boisson préférée est-elle : 1) l'eau ? 2) le vin ? 3) la bière ? 4) les jus de fruits ? 5) une autre boisson ? Chaque personne est invitée à donner par un vote électronique le numéro de sa boisson préférée. En toute logique, les organisateurs attendent une distribution des réponses r(1), r(2), r(3), r(4) et r(5) selon les cinq rubriques avec la somme des r(i) égale à 1000. Mais quelques farfelus au lieu de mentionner le seul numéro de leur boisson préférée déclarent les numéros des quatre autres boissons. On obtient ainsi 407 personnes qui affirment préférer l'eau, 203 le vin, 192 la bière, 138 les jus de fruits et 111 une autre boisson. Combien de personnes ont correctement répondu en mentionnant une seule boisson? A l'intérieur de quels intervalles se situent les proportions exactes de ceux qui préfèrent l'eau, le vin, la bière et les jus de fruits? |
Un nombre entier ayant n chiffres dans le système décimal est dit compressible si on peut l’écrire à l’aide des 4 opérations usuelles, de l’exponentiation, des 10 chiffres mais en utilisant strictement moins de n chiffres. Par exemple 243 = 35 et 349525 = (220 – 1) / 3 sont compressibles.
Parmi l’ensemble des nombres entiers positifs compressibles, trouver le plus petit nombre, les nombres premiers inférieurs à 2011, la plus petite factorielle, le plus petit nombre triangulaire et le plus petit multiple de 2011.
Démontrer enfin que 123456789 et 9876543210 sont tous deux compressibles.
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Problème proposé par Pierre Henri Palmade. 1) Par combien de zéros se termine la factorielle de 2005 = 2005!=1*2*3*...*2004*2005 ? 2) Quel est le dernier chiffre non nul de 2005! ? 3) A partir de la formule de Stirling ou de tout autre formule simple de la même famille, calculer le nombre de chiffres de 2005 !. Quels sont les premiers chiffres que l'on peut déterminer simplement et sans risque d'erreur ? |
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Exercice 1
Quel est le plus grand commun diviseur commun (PGCD) de n2 + 1 et de (n+1)2 + 1 quand n prend toutes les valeurs entières 1,2,3,... ad infinitum
Exercice 2
Quels sont les nombres premiers p dont le carré donne le cube d'un entier à une unité près ou en d'autres termes : existe-t-il un entier n tel que abs(p2 - n3) = 1 avec abs(x) = valeur absolue de x?
Nota : pour les plus courageux, trouver les nombres pas nécessairement premiers p dont le carré donne le cube d'un entier à une unité près ou en d'autres termes: existe-t-il un entier n tel que abs(p2 - n3) = 1 avec abs(x) = valeur absolue de x?
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- Trouver tous les entiers n tels que la suite contienne chacun des entiers naturels 1,2,...,n une fois et une seule et pour tout k variant de 1 à n , l'entier k divise x1 + x2 + ....+ xk
- Existe-t-il une suite infinie x1,x2,...xk,..xn qui contient chaque entier naturel une fois et une seule telle que pour tout entier k quelconque, k divise x1 + x2 + ....+ xk ?
Application numérique : trouver un entier p et une suite x1,x2,...xk,..xn qui contient des entiers naturels tous distincts parmi lesquels on trouve tous les entiers de 1 à 30 et telle que pour tout k variant de 1 à p, l'entier k divise x1 + x2 + ....+ xk.
Source : d'après 12th Nordic Mathematical Contest 1998 |
On constate en 2003 que la série alternée S = 1 - 1/2 +1/3 - 1/4 + 1/5- ....-1/1334 + 1/1335 mise sous la forme S = N/D avec N et D entiers irréductibles, est caractérisée par la divisibilité de N par 2003.
Démontrer cette propriété.Avec quelle série alternée et en quelles années postérieures à 2003, peut il être certain d'avoir la même propriété?
Source : Olympiades britanniques de mathématiques (1979)
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Trouver trois entiers consécutifs les plus petits possibles qui sont respectivement les multiples du carré, du cube et de la puissance quatrième de trois nombres premiers. Source : Compétition mathématique CIPAS 2001 |
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Soit un entier strictement positif duquel on retranche le carré de la partie entière de sa racine carrée.
A partir de l'entier ainsi obtenu, on poursuit l'opération jusqu'à faire apparaître pour la première fois l'entier 0.
Q1 Déterminer le plus petit entier m avec lequel il est nécessaire de réaliser l'opération neuf fois de suite pour obtenir 0.
Q2 Déterminer le nombre de chiffres du plus petit entier n avec lequel il est nécessaire de réaliser l'opération quinze fois de suite pour obtenir 0.
Jean Moreau de Saint Martin, Jean-Louis Legrand, Claude Felloneau, Marc Humery, Pierre Henri Palmade, Claudio Baiocchi, Michel Lafond, Thérèse Eveilleau, David Draï, Gaston Parrour, Jacques Guitonneau, Francesco Franzosi, Pierre Leteurtre, Jean Nicot, Patrick Gordon, Raymond Bloch, Daniel Collignon ont résolu tout ou partie du problème et ont obtenu les réponses suivantes: Q1:42 600 227 803 223 et Q2: 835 chiffres. Les entiers avec lesquels il est nécessaire de réaliser l'opération k fois de suite (k = 1,2,3,....) pour obtenir 0, sont les termes de la suite répertoriée dans l'OEIS à l'adresse: https://oeis.org/A006892 |
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Trouver un entier n, si possible le plus petit, tel qu'il y a exactement 2019 diviseurs de n2 qui font bande à part car ils sont strictement inférieurs à n et ne sont pas diviseurs de n.
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Q1 Déterminer six entiers distincts à deux chiffres tels que la somme des carrés des trois premiers est égale à la somme des carrés des trois derniers et après suppression du chiffre de droite de chacun d'eux, la somme des carrés des chiffres du premier membre est égale à la somme des carrés des chiffres du second membre.
Q2 Démontrer qu'on sait trouver six entiers distincts à six chiffres chacun tels que la somme des carrés des trois premiers est égale à la somme des carrés des trois derniers et après suppression au cours de cinq étapes successives du chiffre le plus à droite de chacun d'eux,la somme des carrés des entiers du premier membre est égale à la somme des carrés du second membre.
Q3 Même question avec les suppressions successives des chiffres les plus à gauche.
Q4 Pour les plus courageux: sait-on trouver six entiers distincts à sept chiffres ou plus qui ont les mêmes propriétés?
Patrick Gordon et Antoine Verrokenont résolu le problème. On peut lire également un extrait de l'ouvrage "Recreations in the number theory" d'Albert Beiler consacré à ces mystérieuses équations. |
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Le classique parmi les classiques [* à la main]
Avec les quatre opérations élémentaires +, - , * ,/ et des parenthèses mises en tant que de besoin,à l'exclusion de tout autre symbole tel que exposant,racine carrée, factorielle,... trouver les formulesqui font intervenir des nombres à un seul chiffre (les concaténations sont donc interdites) et donnent un résultat égal à 2019,respectivement à partir :
1) des neuf chiffres de 1 à 9 pris dans cet ordre.
Par exemple pour obtenir 101, on pourrait écrire 101 = (1 + 2 + 3)* 4 - 5*(6 - 7) + 8*9
2) du plus petit nombre possible de chiffres prélevés dans l'ordre parmi les chiffres de 1 à 9, chacun d'eux étant utilisé une fois et une seule.Par exemple,avec 101 = 2 + (3 + 8)*9,les seuls chiffres 2,3,8 et 9 ont été utilisés.
Passage de témoin [* avec un automate]
Enigme proposée par Pierre Leteurtre
Trouver les 4 entiers a, b, c et d à trois chiffres tels que :
- a + b + c + d = 2018
- ab – cd = 2019
- les chiffres des centaines sont 3, 4, 5 et 6 (dans le désordre)
- la représentation décimale des quatre entiers utilise au moins une fois tous les chiffres de 0 à 9
L'inévitable 2019 [** à la main]
Démontrer que parmi 80 entiers distincts choisis dans la progression arithmétique de raison 13 : 2,15,.,1978,1991 il existe toujours deux d'entre eux dont la somme est égale à 2019.
Après la virgule du quotient [* à la main]
Enigme proposée par Raymond Bloch
On divise le nombre formé par la juxtaposition de gauche à droite des entiers consécutifs à trois chiffres de n à n + k en ordre croissant, par le nombre formé par la juxtaposition de gauche à droite des entiers consécutifs de n+k à n en ordre décroissant : [n][n+1]........[n+k]/[n+k][n+k-1]...[n]
Déterminer les valeurs du couple (n,k) de sorte que les 4 premiers chiffres après la virgule du quotient soient égaux à 2019.
Un millésime bien enraciné [* à la main]
Déterminer le nombre réel x limite de l'expression :  * quand le nombre de radicaux croit indéfiniment.
Nota: "*" désigne le signe de la multiplication.
Avec une meule de gruyère [** à la main]
On partage une meule de gruyère en 2019 morceaux de poids tous différents. Est-il possible de couper l’un de ces morceaux en deux morceaux M₁ et M₂ et de répartir ensuite les 2020 morceaux en deux paquets P₁ et P₂ de 1010 morceaux chacun, de même poids global avec M₁ dans P₁ et M₂ dans P₂ ?
Transit factoriel [**** à la main]
Démontrer que la fraction 2019/2018 peut s'écrire sous la forme du quotient de produits de factorielles de nombres premiers pas nécessairement distincts.
Le sixième de la séquence [***** à la main et avec l'aide d'un automate]
Enigme proposée par Jean-Louis Legrand
Démontrer que l'entier 172019 — 16 est un nombre premier
Nota: à ce jour,on connaît six entiers N tels que 17N − 16 est un nombre premier,11 étant le plus petit.
Par ordre alphabétique, ont résolu tout ou partie des huit éngimes: Claudio Baiocchi, Raymond Bloch, Daniel Collignon, David Draï, Thérèse Eveilleau, Patrick Gordon, Michel Lafond, Pierre Leteurtre, Jean Moreau de Saint Martin, Jean Nicot, Pierre Henri Palmade et Antoine Verroken. |
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Démontrer qu'on sait trouver trois fractions irréductibles dont les dénominateurs sont tous distincts telles qu'en calculant les différences de ces fractions prises deux à deux, les dénominateurs des fractions ainsi obtenues après simplification à leurs plus petits termes sont strictement inférieurs au plus petit dénominateur des trois fractions initiales?
Pour les plus courageux:
Existe-t-il 2019 fractions irréductibles dont les dénominateurs sont tous distincts telles qu'en calculant les différences de ces fractions prises 2 à 2, les dénominateurs des fractions ainsi obtenues après simplification à leurs plus petits termes sont strictement inférieurs au plus petit dénominateur des 2019 fractions initiales?
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Problème proposé par Patrick Gordon
Zig soumet à Paul, Alice et Émile une liste de 4 entiers positifs distincts et demande à chacun de former la somme-produit ab+cd, où a,b,c et d sont une permutation des 4 nombres laissée au choix de chacun. Paul, Alice et Émile obtiennent respectivement les résultats P > A > E.
Les cinq questions ci-après sont indépendantes entre elles :
Q1 Paul obtient 55. Déterminer le quadruplet des entiers choisis par Zig et démontrer qu’il est unique.
Q2 On suppose que P – E = 4 et que le plus grand terme choisi par Zig est égal à 2019. Déterminer P
Q3 On suppose que Zig a choisi quatre nombres premiers dont la somme est elle-même un nombre premier. On suppose que P – E = 40. Prouver que les trois nombres P,A,E sont des nombres premiers.
Q4 On suppose que P – A = 3(A – E) et a + b + c + d = 70.Déterminer le nombre de quadruplets a,b,c,d possibles.
Q5 Trouver la plus grande valeur que Paul ne peut pas obtenir.
Daniel Collignon, Jean Moreau de Saint Martin, Maurice Bauval, Maxime Cuenot, Raymond Bloch, Marie-Christine Piquet, Pierre Henri Palmade, Stéphane Rézel, Thérèse Eveilleau, Pierre Leteurtre, Nicolas Petroff, Antoine Verroken et Patrick Gordon ont résolu tout ou partie du problème. |
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On dit par convention que l'ADN d'un entier positif n est déterminé par les trois fonctions:
τ (n) = nombre des diviseurs de n, y compris 1 et l'entier n,
φ(n) = nombre d'entiers compris entre 1 et n inclus premiers avec n (fonction indicatrice d'Euler),
σ(n) = somme des diviseurs de n, y compris 1 et l'entier n.
Q1 Démontrer qu'il existe au moins deux paires d'entiers positifs x,y, x < y ≤ 2019 tels que x et y ont mêmes ADN.
Démontrer qu'il existe une infinité de paires d'entiers positifs x,y, x < y qui ont ces propriétés.
Q2 Trouver au moins un ensemble de trois entiers x,y,z ,x < y < z tels que x,y et z ont mêmes ADN.
Démontrer qu'il existe une infinité de triplets d'entiers positifs x,y,z, x < y < z qui ont ces propriétés.
Q3 Pour les plus courageux : démontrer que pour tout entier k ≥ 2, il existe k nombres entiers naturels distincts qui ont mêmes ADN.
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Diophante a reçu d’un lecteur fidèle un problème d’arithmétique destiné à être diffusé sur le site diophante.fr mais une tache d’encre a rendu illisible l’une des principales données de l’énoncé :
« Trouver six entiers positifs a,b,c,d,e,f tels que ppcm(a,b,c) = 60, ppcm(b,c,d) = 540, ppm(c,d,e) = 135, ppcm(d,e,f) = 5454, ppcm(e,f,a) = 1212, ppcm(f,a,b) =  avec ppcm(x,y,z) qui désigne le plus petit commun multiple des entiers x,y et z ».
Ce lecteur a précisé dans son courriel que les six entiers sont distincts et que le problème (avant la tache,donc) a une solution unique.
Démontrer que malgré la tache, on sait calculer le nombre caché et les six entiers (a,b,c,d,e,f).
Jean Moreau de Saint Martin, Pierre Henri Palmade, Daniel Collignon, Thérèse Eveilleau, Gaston Parrour, Bernard Vignes, Paul Voyer, Daniel Vacaru, Jacques Guitonneau et Jen Nicot ont résolu ou traité le problème. Le nombre caché avec lequel il y a une solution unique est 2020 à laquelle on associe les six entiers (4,20,15,27,3,202). D'autres valeurs du ppcm de f,a et b telles que 404,1212,... ne conviennent pas car à chacune d'elles il lui correspond au moins deux sextuplets (a,b,c,d,e,f) possibles. |
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Problème proposé par Michel Boulant
Soit un nombre premier p. On désigne par N(p) le nombre de façons de présenter 1/p comme somme de trois fractions égyptiennes pas nécessairement distinctes.
Q1 Démontrer que pour tout p ≥ 11
Q11 N(p) > 10 [*]
Q12 N(p) > 30 [**]
Q13 N(p) > 50 [***]
Q2 Trouver le plus grand entier N0 tel que pour tout p ≥ 11, N(p) ≥ N0 [****]
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Un premier trio est constitué de trois nombres premiers distincts choisis parmi les cinquante nombres premiers ≤ 229, dont la somme s1, la somme de leurs carrés k1 et la somme de leurs cubes q1 sont trois nombres premiers.
Un deuxième trio est lui aussi constitué de trois nombres premiers distincts ≤ 229 ayant les mêmes caractéristiques avec s2, k2 et q2 qui sont des nombres premiers.
Par ailleurs on sait que k1 = k2, les plus grands termes des deux trios sont jumeaux (1) et les deux termes médians sont cousins (1).
Déterminer les six éléments des deux trios.
Nota:
1) deux nombres premiers jumeaux sont de la forme p,p+2 et deux nombres premiers cousins sont de la forme p,p+4
2) l'usage d'un automate n'est pas indispensable.
Jean Moreau de Saint Martin, Jean-Louis Legrand, Marc Humery, Pierre Henri Palmade, Gaston Parrour, David Draï, Maurice Bauval, Marie-Christine Piquet, Patrick Gordon, Michel Dominique, Daniel Collignon, Thérèse Eveilleau, Pierre Leteurtre, Bernard Vignes et Antoine Verroken ont résolu le problème et obtenu les deux trios (3,7,19) et (3,11,17).
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On calcule la somme des chiffres de la somme des chiffres de 2005^(2005^2005). On s'arrête de calculer la somme quand il ne reste plus qu'un seul chiffre.Combien de fois doit-on écrire l'expression « somme des chiffres » pour arriver à une somme à un seul chiffre? Quel est le chiffre final ?
Pour ceux qui sont pressés d'entrer dans la nouvelle année, quels sont les résultats avec 2006 ? Pour les plus courageux, peut-on généraliser avec un « tour » de n exposants 2005 empilés les uns sur les autres? |
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Problème proposé par Raymond Bloch
Q1 Trois entiers positifs ont pour somme 100.
Quelle est la plus petite valeur possible de leur PPCM (plus petit commun multiple) ?
a) les trois entiers ne sont pas nécessairement distincts
b) les trois entiers sont distincts.
Q2 On considère les partitions de l’entier 2019 en k entiers distincts pour les valeurs successives de
k = 2,3,4,...
Pour chacune de ces partitions, on calcule la plus petite valeur possible f(k) du PPCM des k entiers. Déterminer la ou les valeurs de k pour lesquelles f(k) est minimum.
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On considère les k entiers relatifs a1, a2,...,ak ≥– 1 tels que a1 + a2 + ... + ak = k.
Déterminer les valeurs minimales et maximales de P = (a1 + a2).(a2 + a3)...(ak-1 + ak).(ak + a1) dans les cas suivants :
Q1 k est impair et prend successivement les valeurs 3,5,7,9.
Pour les plus courageux, traiter le cas général k = 2p + 1.
Q2 k est pair et prend successivement les valeurs 4,6,8,10.
Pour les plus courageux, traiter le cas général k = 2p.
(1)Source : Olympiades de mathématiques 2019 en Chine.
Paul Voyer, Michel Boulant, Pierre Henri Palmade, Daniel Collignon et Diophante ont traité tout ou partie du problème. Nota: ce problème est une variante du premier problème des Olympiades de mathématiques 2019 en Chine disponible à l'adresse suivante de l'AoPS: https://artofproblemsolving.com/community/c6h1738323p11293503Il était ainsi libellé:  Le problème était donc posé pour la seule valeur k = 5 mais les commentaires sur le forum de l'AoPS laissaient entendre qu'il existait des formules générales donnant P en fonction de la parité de k. Avec les premières valeurs de k, il semble que des formules générales puissent être établies. Mais dès qu'on retient des valeurs supérieures, ces formules ne sont plus pertinentes.Tout au plus on peut émettre des hypothèses sur le distribution des a i comme l'ont fait Paul Voyer et Michel Boulant. |
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Problème proposé par Michel Lafond
Déterminer tous les entiers positifs tels qu’en permutant le premier chiffre de gauche avec le dernier chiffre de droite, le nombre résultant affiche une baisse égale exactement à 15,84 %
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Démontrer que parmi quatre entiers strictement positifs distincts, on peut toujours en trouver trois, par exemple a,b et c, tels que :
a5bc3 + a3b5c + ab3c5 – (a5b3c + a3bc5 + ab5c3) est divisible par le PPCM des entiers de 1 à 10.
Claude Felloneau, Jean Moreau de Saint Martin, Fabien Gigante, Jean-Louis Legrand, Thérèse Eveilleau, Pierre Henri Palmade, Catherine Nadault, Gaston Parrour, Jacques Guitonneau, Pierre Renfer, Patrick Gordon, Daniel Collignon, Pierre Leteurtre et Bernard Vignes ont résolu le problème. |
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Q1 Déterminer le plus petit entier qui a exactement 2020 diviseurs entiers positifs.
Q2 Déterminer le plus petit entier qui au moins 2020 diviseurs entiers positifs.
Jean Moreau de Saint Martin, Claude Felloneau, Pierre Henri Palmade, Michel Lafond, Gaston Parrour, Thérèse Eveilleau, Marc Humery, Elie Stinès, Daniel Collignon, Paul Voyer, Emmanuel Vuillemenot, Pierre Leteurtre, Martin Rongère et Antoine Verroken ont résolu tout ou partie du problème. |
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Q₁ Trouver les plus petits entiers positifs divisibles respectivement par 2,3,5,7,11 et 13 et dont les dix derniers chiffres sont distincts. [*].
Q₂ Soit un nombre premier p quelconque. Démontrer qu’on sait toujours trouver un multiple de p dont les dix derniers chiffres sont distincts. [**]
Q₃ Soit un nombre premier p quelconque. Démontrer qu’il existe une infinité de multiples de p dont les dix derniers chiffres sont distincts. [***]
Jean Moreau de Saint Martin, Claude Felloneau, Catherine Nadault, Pierre Henri Palmade, Jean-Louis Legrand, Daniel Collignon, Thérèse Eveilleau, Maurice Bauval, Gaston Parrour, Nicolas Petroff, Jacques Guitonneau, Patrick Gordon, Pierre Leteurtre, Bernard Vignes, Paul Voyer et Antoine Verroken ont résolu tout ou partie du problème. |
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La fonction phi appelée indicatrice d'Euler est la fonction qui à tout entier naturel n non nul associe le nombre d'entiers compris entre 1 et n (inclus) et premiers avec n.
Q1 Déterminer toutes les solutions des équations :
1ère équation : phi(n) = 32, 2ème équation : phi(n) = 256,3ème équation : phi(n) = 1024 [***]
Q2 Pour les très courageux : pour m ≤ 2³², déterminer en fonction de m le nombre de solutions de l’équation phi(n) = 2m [*****]
Jean Moreau de Saint Martin, Claude Felloneau, Fabien Gigante, Pierre Henri Palmade, Daniel Collignon, François Tisserand, Gaston Parrour, Marc Humery, Pierre Renfer, Anne Bauval, Louis Rogliano, Thérèse Eveilleau, Antoine Verroken, Paul Voyer, Pierre Leteurtre ont résolu tout ou partie du problème. |
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La fonction φ (phi) appelée indicatrice d'Euler est la fonction qui à tout entier naturel n non nul associe le nombre d'entiers compris entre 1 et n (inclus) et premiers avec n.
Soit un entier k > 1.Pour k variant de 2 à 8, calculer successivement les plus petits entiers nk tels que
φ(nk) / nk < 1/k puis calculer le nombre de chiffres du plus petit entier n10 tel que φ(n10) / n10 < 1/10
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Q1 Trouver deux entiers m et n tels que les PCGD pij des neuf couples d’entiers (m + i,n + j) pour 1 ≤ i ,j ≤ 3 sont tous strictement supérieurs à 1.
Quels que soient i et j = 1,2 ou 3,pij > 1.
Q2 Trouver deux entiers m et n tels que les PCGD pij des seize couples d’entiers (m + i,n + j) pour 1 ≤ i ,j ≤ 4 sont tous strictement supérieurs à 1
Quels que soient i et j = 1,2,3 ou 4,pij > 1.
Q3 Pour les plus courageux : p et q étant deux entiers strictement positifs pas nécessairement distincts, existe-t-il deux entiers m et n tels que les PGCD des pq couples d’entiers (m + i,n + j) pour 1 ≤ i ≤ p et 1 ≤ j ≤ q sont tous strictement supérieurs à 1.
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Diophante vous invite à un superbe et long voyage dans la Voie Lactée (http://atunivers.free.fr/galaxy.html et http://www.cosmovisions.com/vola.htm). A bord d'un vaisseau spatial vous disposez de deux jeux identiques de n+1 batteries bleues (b) et rouges (r) numérotées par des entiers tous distincts :
b 0=0 < b 1 < b 2 < b 3...< b n r=0 < r 1 < r 2 < r 3 ...< r n
Pour tout i, bi = ri
Pour atteindre une constellation de la Voie Lactée située à une distance d de la Terre et exprimée en nombre entier d'années lumière (AL), vous devez parcourir toutes les distances entières k comprises entre 1 et d en associant une batterie bleue bi à une batterie rouge rj de telle sorte que bi + rj = k. Chaque batterie peut être utilisée en tant que de besoin. Comme l'espace disponible à l'intérieur du vaisseau est réduit, il s'agit d'emporter le nombre minimum Nmin de batteries pour effectuer la mission.
- Pour ceux qui ne connaissent que la Grande Ourse et la Petite Ourse : lors d'une première mission vous vous rendez sur Alkaïd qui est à l'extrémité du chariot de la Grande Ourse ( http://www.cosmovisions.com/uma.htm) et se trouve à 100 AL de la Terre. Trouver N min et la séquence correspondante des b 1,b 2,b 3...,b n . - Pour ceux qui ont déjà eu la curiosité de consulter une carte du Ciel : lors d'une deuxième mission qui programme un voyage vers la grande nébuleuse d'Orion visible sous nos cieux pendant les mois d'hiver ( http://www.cosmovisions.com/ori.htm), trouver N min et la séquence correspondante des b 1,b 2,b 3...,b n afin d'admirer la supergéante rouge Bételgeuse située dans cette constellation à 400 AL de la Terre. - Pour les plus téméraires : comment rejoindre la constellation de la Lyre ( http://www.cosmovisions.com/lyr.htm) pour contempler son fabuleux anneau situé à 2000 AL de la Terre. Les nostalgiques de l'année en cours pourront même faire un petit détour pour parcourir 2006 AL. - Enfin pour les passionnés de l'espace, est-il possible de trouver une formule générale pour atteindre l'amas d'Hercule ( http://www.cosmovisions.com/her.htm) situé à 20 000 AL de la Terre avant de se lancer dans un voyage intergalactique à la conquête de la galaxie d'Andromède ( http://www.cosmovisions.com/and.htm) qui est à 2,5 millions AL.
PS : Rappelons que dans tous les cas il s'agit de sauts de puce car les confins de l'univers sont situés à 14 milliards d'AL environ.
Source : Pierre Henri Palmade |
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Q₁
a) Déterminer le nombre réel x compris entre 2019 et 2020 tel que la somme de son inverse et de sa mantisse(1) est égale à 1.
b) Déterminer le nombre réel x tel que la somme de son inverse et de sa mantisse m(x) = 0,94271909999158.. est égale à 1.
Q₂
Trouver le plus petit entier n dont les 21ième et 41ième chiffres de la mantisse de n/61 sont respectivement égaux à 1 et 9
Nota :
1) Tout nombre réel positif x peut être écrit de manière unique comme la somme d’un entier positif et d’un réel positif strictement inférieur à 1. Le premier E(x) est appelé sa partie entière, le second m(x) sa mantisse de sorte que x = E(x) + m(x)
Par exemple la partie entière du nombre 22/7 est 3 et sa mantisse est égale à 1/7 . La partie entière du nombre √2 est 1 et sa mantisse est égale à √2− 1. Source :Olympiades nationales 2019 de mathématiques-Académie de Versailles
2) les deux questions sont indépendantes.
Jean Moreau de Saint Martin, Claude Felloneau, Gaston Parrour, Jean-Louis Legrand, Thérèse Eveilleau, Pierre Henri Palmade, Jean Nicot, Michel Goudard, Paul Voyer, Daniel Collignon, Patrick Gordon, Francesco Franzosi, Jacques Guitonneau, Ludovic Houset, Bernard Vignes et Antoine Verroken ont résolu le problème. PS: pour la résolution de Q 2 si on suit à la lettre le 1) du nota, on retient les réels positifs x tels que E(x) est positif c'est à dire E(x) ≥ 1. Dès lors Marc Humery donne la solution avec n = 82 tel que E(x)= 1. |
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Q1 Déterminer toutes les suites de 21 entiers consécutifs contenant exactement 8 nombres premiers.
Q2 Déterminer toutes les suites de 100 entiers consécutifs contenant exactement 25 nombres premiers.
Claude Felloneau, Pierre Henri Palmade, Jean-Louis Legrand, Jean Moreau de Saint Martin, Thérèse Eveilleau, Gaston Parrour, Jacques Guitonneau, Francesco Franzosi, Paul Voyer, Daniel Collignon, Pierre Leteurtre, Jean Nicot, Pierre Jullien et Patrick Gordon ont résolu le problème. |
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On considère la suite S formée par les premiers chiffres : 1,5,2,1,6,3,… des puissances successives de 5 : 1,5,25,125,625,3125,…Démontrer que n’importe quelle sous-suite extraite de S et écrite dans l’ordre inverse se retrouve dans la suite S’ formée par les premiers chiffres ; 1,2,4,8,1,3,6,1.. des puissances successives de 2 ; 1,2,4,8,16,32,64,128,…
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Soit un entier n et un nombre premier p.
Parmi ces trois affirmations,il s’agit de faire le tri et d’identifier le vrai et le faux :
- si p divise n3 – 1 et que 4p – 3 est un carré parfait, alors n divise toujours p – 1,
- si n divise p – 1 et que p divise n3 – 1, alors 4p – 3 est toujours un carré parfait,
- si 4p – 3 est un carré parfait et que n divise p – 1, alors p divise toujours n3 – 1
Justifiez vos réponses.
Pierre Henri Palmade, Claude Felloneau, Jean Moreau de Saint Martin, Michel Lafond, Jean-Louis Legrand, Gaston Parrour, Elie Stinès, Thérèse Eveilleau, Emmanuel Vuillemenot, Daniel Collignon, Maurice Bauval, Patrick Gordon, Paul Voyer, Pierre Leteurtre, Bernard Vignes et Antoine Verroken ont résolu le problème. Nota: l'affirmation n°2 est vraie pour n > 1. |
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Problème proposé par Raymond Bloch
On recherche les listes (L) qui contiennent le nombre maximum N de nombres entiers qui ont les caractéristiques suivantes :
- ils sont compris entre 500 et 5000,
- ils sont composés,
- ils n’ont aucun facteur premier > 67,
- pris deux à deux, ils sont relativement premiers entre eux.
Déterminer N et donner l’exemple d’une liste (L).
Pour les plus courageux : recenser toutes les listes (L) possibles.
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Problèmes proposés par Michel Lafond
Q1 Quels sont les chiffres c du système décimal qui permettent d'écrire 2020 = .......en utilisant exclusivement le chiffre c le symbole + et le point décimal ? [**]
PS : on a le droit d'écrire une infinité de fois le même chiffre.
Q2 Soit un entier n. Avec les quatre opérations élémentaires +, - , x ,/ et des parenthèses mises en tant que de besoin, à l'exclusion de tout autre symbole tel que exposant, racine carrée, factorielle,...on cherche une formule (F) qui permet d’exprimer n en fonction des neuf chiffres de 1 à 9 pris une fois et une seule dans cet ordre (les concaténations sont interdites) .
Par exemple avec n = 2020, on sait trouver une formule (F) telle que n = 1 + 2 – 3 + 4*( – 5 + 6 + 7*8*9).
Déterminer le plus grand entier n₀ tel qu’on sait trouver pour chaque entier variant de 1 à n₀ au moins une formule (F).[****]
Pour les plus courageux : trouver n₀ tel qu’on sait trouver pour chaque entier variant de 1 à n₀ au moins une formule (F) avec les chiffres de 1 à 9 pris une fois et une seule dans un ordre quelconque [*****]
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Six nombres entiers strictement positifs distincts sont écrits sur le tableau noir. Un tour consiste à effacer deux d’entre eux, a et b par exemple, que l’on remplace par leur PGCD (plus grand commun diviseur) et leur PPCM (plus petit commun multiple) à condition que ces deux termes soient l’un et l’autre différents de a et de b.
On continue le processus aussi longtemps qu’il est possible de modifier les termes de la suite.
Q1 Démontrer qu’après un nombre fini de tours la suite des six entiers reste inchangée [*]
Q2 Déterminer N le nombre maximum de tours qui peuvent être réalisés et pour cette valeur N donner un exemple de la suite initiale qui contient l’entier 2020.[***]
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Le classique parmi les classiques [* à la main]
Avec les quatre opérations élémentaires +, - , x ,/ et des parenthèses mises en tant que de besoin, à l'exclusion de tout autre symbole tel que exposant, racine carrée, factorielle,... trouver les formules qui font intervenir des nombres à un seul chiffre (les concaténations sont donc interdites) et donnent un résultat égal à 2020 respectivement à partir :
1) des neuf chiffres de 1 à 9 pris dans cet ordre.
Par exemple, pour obtenir 75 on pourrait écrire 75 = (1 – 2 + 3 ) x 4 –5 x (6 –7) + 8 x 9
2) du plus petit nombre possible de chiffres prélevés dans l'ordre parmi les chiffres de 1 à 9, chacun d'eux étant utilisé une fois et une seule.
Par exemple, avec 75 = 3 + 8 x 9, les seuls chiffres 3,8 et 9 ont été utilisés.
Les puissances de 2 à l’unité près [*** à la main]
Est-il possible d’arranger tous les entiers de 1 à 2020 en 1010 paires distinctes de sorte que la somme de chaque paire est de la forme 2k – 1 avec k entier > 0 ?
Suite autobiographique [*** à la main]
Je suis le numéro 2 d’une liste ordonnée croissante d’entiers tels que pour chacun d’eux le premier chiffre en partant de la gauche indique le nombre de zéro(s), le deuxième chiffre suivant indique le nombre de « 1 », le troisième chiffre indique le nombre de « 2 »,etc…..
Qui suis-je ? Quels sont tous mes colistiers ?
Suite audioactive [* à la main]
Soit une suite d’entiers S dont le premier terme est n₁. Chaque terme se détermine en annonçant à voix haute les nombres de fois qu’apparaissent les chiffres formant le terme précédent. Par exemple,avec n1 = 117, on a n2 = 2117 (117 contient deux fois « 1 » puis une fois « 7 ») puis n3 = 122117 (2117 contient une fois « 2 », puis deux fois « 1 » et une fois « 7 »), etc….
Sachant que dans chaque terme de la suite n1, n2,…nk, un même chiffre n’apparaît jamais plus de neuf fois d’affilée, déterminer k et n1 dans les deux cas suivants :
nk = 31123119
nk = 1113122112111312211011131221121113122110.
Joute arithmétique [** à la main]
On désigne par g le PGCD (plus grand commun diviseur) et par p le PPCM (plus petit commun multiple) de deux entiers strictement positifs a et b. Diophante confie à Zig les trois équations p + g = 2020, p.g = 2020 et p/g = 2020 (avec pour cette troisième équation la contrainte g = 1) puis à Puce l’équation p – g = 2020 et leur demande de déterminer toutes les paires d’entiers (a,b) qui sont les solutions de chacune d’elles.
Le score de chacun d’eux est le nombre total de paires d’entiers (a,b) obtenues après la résolution des équations qu’ils ont reçues. Qui gagne la joute ?
Les tétraphiles et les tétraphobes [**** avec l’aide d’un automate]
Un entier n est appelé « tétraphile » si l’on peut l’exprimer comme la somme de quatre entiers positifs distincts a,b,c,d, a < b < c < d, tels que a divise b, b divise c et c divise d. Sinon c’est un « tétraphobe »
Q1 Démontrer que 2020 est tétraphile
Q2 Dénombrer les entiers tétraphobes inférieurs à 2020.
Q₃3 Pour les plus courageux : les entiers tétraphobes sont-ils en nombre fini ou infini ?
L’aire AMEN [*** à la main]
Soit un triangle ABC défini pas ses côtés BC = 78 cm, CA = 75 cm et AB = 57 cm. La bissectrice de l’angle en A coupe BC au point D et le cercle circonscrit à ABC au point E. Le point D se projette en M et N sur les droites [AB] et [AC]. Déterminer l’aire du quadrilatère AMEN au cm² le plus proche.
Jean Moreau de Saint Martin, Thérèse Eveilleau, Daniel Collignon, Michel Lafond, Pierre Henri Palmade, Elie Stinès, Patrick Gordon, Paul Voyer, Pierre Leteurtre, Jean Nicot, Nicolas Petroff, Michel Boulant et Augustin Genoud ont résolu tout ou partie des sept problèmes. |
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Diophante choisit un entier n de la forme n = pqr, produit de trois nombres premiers distincts, encore appelé « entier 3-presque premier sans facteur carré ». Il donne cet entier n à Zig et l’entier n – 1 à Puce.
Zig calcule alors la somme des restes des divisions de l’entier n par les entiers de 2 à n – 1 . Puce calcule de la même manière la somme des restes des divisions de l’entier n – 1 par les entiers 2 à n– 2.L’écart entre les deux sommes obtenues par Zig et Puce est égal à 41.
Déterminer l’entier n choisi par Diophante
Par ordre alphabétique ont résolu le problème en obtenant l'entier n = 165 produit des trois nombres premiers 3,5,11: Anne Bauval, Maurice Bauval, Daniel Collignon, Michel Dominique, Thérèse Eveilleau, Claude Felloneau, Marc Foubert, Francesco Franzosi,Patrick Gordon, Charaf Ouled Hosseine, Marc Humery, Michel Lafond, Pierre Leteurtre, Jean Moreau de Saint Martin, Pierre Henri Palmade, Gaston Parrour, Nicolas Petroff, Martin Rongère, Elie Stinès, Antoine Verroken, Bernard Vignes et Paul Voyer |
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Q1 Déterminer les quatre plus petits facteurs premiers de 332 – 232 puis de 532 – 232 .
Q2 Déterminer le plus petit nombre premier p0 tel que pour tout nombre premier p > p0 l’entier p32 – 1 est divisible par 16320.
Q3 Déterminer tous les entiers n tel que 2n divise 31024 – 1
Nota : les trois questions sont indépendantes..
Jean Moreau de Saint Martin, Pierre Henri Palmade, Daniel Collignon, Gaston Parrour, Louis Rogliano, Anne Bauval, Thérèse Eveilleau, Marc Humery, Maurice Bauval, Paul Voyer, Patrick Gordon, Francesco Franzosi, Martin Rongère, Jean Nicot, Pierre Leteurtre, Marc Foubert, Antoine Verroken, David Hersant,Daniel Vacaru ont résolu tout ou partie du problème. |
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Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin
Si S(x) est la somme des chiffres de l’entier x, montrer que l’équation S(x2)/S(x) = m a des solutions pour tout m entier fixé.
Qu'en est-il quand la base de numération n'est pas 10?
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Problèmes proposés par Michel Lafond
Problème n°1
On recherche les nombres premiers distincts p1, p2 , p3,….pk qui s’accordent entre eux de sorte que les cumuls successifs p1 + p2, p1 + p2 + p3, …, sont tous des carrés parfaits. Déterminer la plus grande valeur possible k0 de k et donner trois suites de k0 nombres premiers distincts < 100 qui ont cette propriété.
Problème n°2
On recherche les nombres premiers distincts p₁, p₂ , p₃,….pk, k ≥ 3, qui s’accordent entre eux de sorte que les entiers 2p1 + p2, 2p2 + p3, ….,2pk-1 + pk, 2pk + p1 sont tous des carrés parfaits. On dit alors que les k nombres premiers forment un circuit parfait d’ordre k.
Déterminer un ensemble de sept nombres premiers à partir duquel on peut former au moins dix circuits parfaits distincts(1) d’ordres 3,4,5,6 et 7. Représenter le graphe correspondant.
Pour les plus courageux : déterminer un ensemble de nombres premiers distincts < 2020 permettant d’obtenir un circuit parfait d’ordre > 20.
Problème n°3
Déterminer les couples de nombres premiers distincts p1 et p2 qui s’accordent entre eux de sorte que les sommes p1 + 6p2 et p1 + 9p2 sont deux carrés parfaits consécutifs et les sommes 4p1 + p2 et 5p1 + p2 sont aussi deux carrés parfaits consécutifs.
(1)Nota : deux circuits sont distincts si au moins un arc de l’un diffère d’un arc de l’autre.
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On s’intéresse à la suite Sn de n entiers distincts a₁ = 1,a₂,…,ak,..an > 0 qui a la propriété suivante : pour tout entier k prenant les valeurs 1,2,3,...,n, ak est le plus petit entier ne figurant pas dans la liste a₁,a₂,…,ak-1, tel que la moyenne arithmétique des k premiers termes de Sn est un entier.
On se fixe un entier n₀ et on recherche l’entier n tel que an = n₀
Par exemple avec n₀= 4, la suite S₆ de six termes = {1,3,2,6,8,4} satisfait ces conditions.
Q1 Démontrer qu’on sait trouver une suite Sn avec n₀ = 30.
Q2 Démontrer qu’on sait trouver une suite Sn quel que soit n₀.
Q3 On désigne par a(n) le dernier terme de la suite Sn, par Mn et mn respectivement le plus grand et le plus petit des deux termes n et a(n).Déterminer la limite du ratio Mn / mn quand n tend vers l’infini.
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La fonction φ (phi) appelée indicatrice d'Euler est la fonction qui à tout entier naturel n non nul associe le nombre d'entiers compris entre 1 et n (inclus) et premiers avec n.
Soit un entier m > 0. On désigne par φ-1(m) l’image réciproque de m par l’application φ, c'est-à-dire l’ensemble des entiers positifs n tels que φ(n) = m.
Q1 Déterminer les entiers impairs m tels que φ-1(m) n’est pas vide.
Q2 Prouver que pour tout entier m pair φ-1(m) contient un nombre fini d’éléments.
Q3 Prouver que si les entiers n et m sont relativement premiers entre eux et φ(n) = m, alors 2n appartient à φ-1(m).
Q4 Déterminer le plus petit entier pair m tel que φ-1(m) est vide.
Q5 Déterminer φ-1(26), φ-1(44) , φ-1(50) ,φ-1(72) , φ-1(98), φ-1(2020) et plus généralement φ-1(2. 7k) avec k entier > 0.
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Problème proposé par Raymond Bloch
S est la suite des fractions 1/2, 1/5, 1/8, 1/11, 1/14,…dont le numérateur est 1 et le dénominateur un entier positif congru à 2, modulo 3.
Q1 Déterminer le nombre minimal n de fractions distinctes choisies dans S de sorte que leur somme est égale à 1.
Q2 Prouver que l’on sait trouver n fractions distinctes dans S.
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Démontrer que tout nombre entier strictement positif peut s’écrire comme la différence de deux entiers strictement positifs qui ont le même nombre de facteurs premiers.
Nota:le dénombrement des facteurs premiers d'un entier ne prend pas en compte les puissances de ces facteurs. Par exemple 360 = 23.32.5 a trois facteurs premiers : 2,3 et 5
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Problème proposé par Michel Lafond
Q₁ Trouver deux 4-uples d’entiers positifs tous distincts (a,b,c,d) et (w,x,y,z) de sorte que a,b,c,d sont de manière unique les plus petits communs multiples des cinq entiers w,x,y,z,w pris deux à deux dans cet ordre, à savoir : a = ppcm(w,x), b = ppcm(x,y), c = ppcm(y,z) et d = ppcm(z,w).
Q₂ Trouver trois 4-uples d’entiers positifs tous distincts (a,b,c,d),(w₁,x₁,y₁,z₁) et (w₂,x₂,y₂,z₂) de sorte que a,b,c,d sont à la fois les plus petits communs multiples de w₁,x₁,y₁,z₁,w₁ pris deux à deux dans cet ordre et les plus petits communs multiples de w₂,x₂,y₂,z₂,w₂ pris deux à deux dans cet ordre.
Q₃ Trouver quatre 4-uples d’entiers positifs tous distincts (a,b,c,d),(w₁,x₁,y₁,z₁), (w₂,x₂,y₂,z₂) et (w₃,x₃,y₃,z₃) de sorte que a,b,c,d sont à la fois les plus petits communs multiples de w₁,x₁,y₁,z₁,w₁ pris deux à deux dans cet ordre, les plus petits communs multiples de w₂,x₂,y₂,z₂,w₂ pris deux à deux dans cet ordre et les plus petits communs multiples de w₃,x₃,y₃,z₃,w₃ pris deux à deux dans cet ordre.
Zig dispose d’une calculette de marque déposée @Méphisto dont le clavier comporte trois touches qui permettent d’obtenir à partir d’un entier quelconque n strictement positif affiché à l’écran :
1) φ(n), fonction d’Euler, le nombre d’entiers qui sont strictement inférieurs à l’entier n et sont premiers avec lui.
2) σ(n) la somme des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même.
3) τ(n) le nombre des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même.
Q₁ Démontrer qu’il existe une infinité d’entiers n strictement positifs tels que l’entier n égalise son sigma (σ) diminué de son phi (φ) et de son tau(τ).
Q₂ Démontrer qu’il existe au moins un entier n strictement positif tel que son double égalise son sigma (σ) augmenté de son phi(φ) et diminué de son tau(τ).
Q₃ Démontrer qu’il existe une infinité de paires d’entiers strictement positifs (m,n) tels que le rapport des deux entiers est l’inverse du rapport de leur sigma (σ).
Q₄ Soit un entier k ≥ 1. Démontrer que l’équation σ(n) = n + k a un nombre fini de solutions.
Application numérique : déterminer le plus grand entier n₀ tel que σ(n₀) = n₀ + 2021. Démontrer qu’il existe un entier n₁ > n₀ tel que φ(n₁) = n₁ – 2021 |
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Q1 Existe-t-il 30 entiers positifs distincts de somme s1 < 2021 et de plus petit commun multiple p₁ tels que s1 et p1 sont fidèles au rendez-vous, en d’autres termes s1 = p1 ?
Q2 Existe-t-il 2021 entiers positifs distincts de somme s₂ et de plus petit commun multiple p2 tels que s2 et p2 sont fidèles au rendez-vous, en d’autres termes s2 = p2 ?
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Problème proposé par Michel Lafond
Sans l’aide d’une calculette ou d’un quelconque automate, trouver
Q₁ : deux entiers positifs a₁ et b₁ tels que la fraction irréductible a₁/b₁ est comprise entre 9/22 et 5/11 et la somme a₁ + b₁ est la plus petite possible.
Q₂ : deux entiers positifs a₂ et b₂ tels que la fraction irréductible a₂/b₂ est comprise entre 114379 / 277779 et 57190 / 138889 et la somme a₂ + b₂ est la plus petite possible.
Q₃ : deux entiers positifs a₃ et b₃ tels que la fraction irréductible a₃/b₃ est comprise entre 6339 / 8290 et 4755 / 6218 et la somme a₃ + b₃ est la plus petite possible.
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Problème proposé par Michel Lafond
Q1 Le triplet
Ces trois entiers positifs distincts (a < b < c) ont les caractéristiques suivantes:
1) chacun a 6 chiffres,
2) chacun a 8 diviseurs,
3) PGCD(a,b,c) >1
4) ils n’ont pas le même nombre de facteurs premiers distincts,
5) la différence entre le plus grand et le plus petit de ces entiers est égale à 714.
Déterminer ces trois entiers.
Q2 Le quadruplet
Ces quatre entiers positifs distincts (a < b < c < d) ont les caractéristiques suivantes:
1) chacun a 5 chiffres,
2) chacun a 16 diviseurs,
3) PGCD(a,b,c,d) > 1
4) ils n’ont pas le même nombre de facteurs premiers distincts.
5) la différence entre le plus grand et le plus petit de ces entiers est égale à 154.
Déterminer ces quatre entiers.
Nota : PGCD : plus grand commun diviseur.
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Est-il possible de trouver 2006 nombres entiers qui sont des carrés parfaits tous distincts et dont la somme est aussi un carré parfait ?
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Q1 Existe-t-il une progression arithmétique (PA) de 11 entiers positifs tels que les sommes des chiffres de chacun d’eux en représentation décimale forment aussi une progression arithmétique ?
Q2 Même question avec une PA de 2021 entiers positifs.
Q3 Même question avec une PA d’une infinité d’entiers positifs.
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Trouver un entier m positif, si possible le plus petit, auquel on sait associer un entier n distinct de m tel que n + k divise m + k pour toute valeur entière de k comprise entre 0 et 23 (bornes incluses).
Jean-Louis Legrand, Olivier Pasquier de Franclieu, Jean Moreau de Saint-Martin, Gaston Parrour, Thérèse Eveilleau, Pierre Henri Palmade, David Draï, Bruno Grébille, Daniel Collignon, Emmanuel Vuillemenot, Maurice Bauval, David Amar, Francesco Franzosi, Pierre Leteurtre ont résolu le problème. Si on considère n entier positif, alors m = 5 354 228 881 et n = 1 est la solution. Si n est entier relatif m = 5 354 228 856 et n = - 24 est la solution. |
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A- Le classique parmi les classiques [* à la main]
Avec les quatre opérations élémentaires +, - , * ,/ et des parenthèses mises en tant que de besoin,à l'exclusion de tout autre symbole tel que exposant,racine carrée, factorielle,... trouver les formules qui font intervenir des nombres à un seul chiffre (les concaténations sont donc interdites) et donnent un résultat égal à 2021,respectivement à partir :
1) des neuf chiffres de 1 à 9 pris dans cet ordre.
Par exemple pour obtenir 101, on pourrait écrire 101 = (1 + 2 + 3)* 4 - 5*(6 - 7) + 8*9
2) du plus petit nombre possible de chiffres prélevés dans l'ordre parmi les chiffres de 1 à 9, chacun d'eux étant utilisé une fois et une seule.Par exemple,avec 101 = 2 + (3 + 8)*9,les seuls chiffres 2,3,8 et 9 ont été utilisés.
B- Les premiers cousins [*** à la main]
Trouver tous les couples de nombres premiers cousins de la forme (p, p + 4), l’un et l’autre inférieurs à 2021, dont le produit est égal à l’entier obtenu par concaténation de deux entiers consécutifs.
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Déterminez huit entiers à 3 chiffres chacun, un par ligne du tableau ci-contre de sorte que le produit des chiffres de chacun d’eux figure en quatrième colonne et les produits respectifs des chiffres des centaines (1ère colonne) des dizaines (2ème colonne) et des unités (3ème colonne) figurent en dernière ligne.
Zig dispose d’une calculette de marque déposée @Méphisto dont le clavier comporte trois touches qui permettent d’obtenir à partir d’un entier quelconque n strictement positif affiché à l’écran :
1) φ(n), fonction d’Euler, le nombre d’entiers qui sont strictement inférieurs à l’entier n et sont premiers avec lui.
2) σ(n) la somme des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même.
3) τ(n) le nombre des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même.
Q₁ Démontrer qu’il existe une infinité d’entiers n strictement positifs tels que l’entier n égalise son sigma (σ) diminué de son phi (φ) et de son tau(τ).
Q₂ Démontrer qu’il existe au moins un entier n strictement positif tel que son double égalise son sigma (σ) augmenté de son phi(φ) et diminué de son tau(τ).
Q₃ Démontrer qu’il existe une infinité de paires d’entiers strictement positifs (m,n) tels que le rapport des deux entiers est l’inverse du rapport de leur sigma (σ).
Q₄ Soit un entier k ≥ 1. Démontrer que l’équation σ(n) = n + k a un nombre fini de solutions.
Application numérique : déterminer le plus grand entier n₀ tel que σ(n₀) = n₀ + 2021. Démontrer qu’il existe un entier n₁ > n₀ tel que φ(n₁) = n₁ – 2021 |
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Nob Yoshigahara, célèbre compositeur japonais de récréations mathématiques et de puzzles vous propose de résoudre les deux jongleries suivantes, de préférence sans l’aide d’un quelconque automate :
Jonglerie n°1
On place les chiffres de 1 à 9, chacun une fois et une seule, dans trois fractions F₁ ≤ F₂ ≤ F₃ dont les numérateurs sont des entiers à deux chiffres et les dénominateurs sont à un seul chiffre plus grand que 1, de sorte que la somme de ces trois fractions est un entier n.
Q₁ Déterminer la valeur minimale puis la valeur maximale de n pour lesquelles il existe au moins une solution.
Q₂ Existe-t-il des solutions pour n = 12 ? n = 14 ? n = 76 ? n = 79 ? n = 87 ? Si oui combien dans chacun des cinq cas ?
Jonglerie n°2
On place les chiffres de 1 à 9, chacun une fois et une seule, dans trois fractions F₁ ≤ F₂ ≤ F₃ dont les numérateurs sont à un seul chiffre et les dénominateurs sont des entiers à deux chiffres, de sorte que la somme de ces trois fractions est un entier n.
Déterminer la valeur minimale puis la valeur maximale de n pour lesquelles il existe au moins une solution.
Zig dispose d’une calculette de marque déposée @Méphisto dont le clavier comporte trois touches qui permettent d’obtenir à partir d’un entier quelconque n strictement positif affiché à l’écran :
1) φ(n), fonction d’Euler, le nombre d’entiers qui sont strictement inférieurs à l’entier n et sont premiers avec lui.
2) σ(n) la somme des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même.
3) τ(n) le nombre des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même.
Q₁ Démontrer qu’il existe une infinité d’entiers n strictement positifs tels que l’entier n égalise son sigma (σ) diminué de son phi (φ) et de son tau(τ).
Q₂ Démontrer qu’il existe au moins un entier n strictement positif tel que son double égalise son sigma (σ) augmenté de son phi(φ) et diminué de son tau(τ).
Q₃ Démontrer qu’il existe une infinité de paires d’entiers strictement positifs (m,n) tels que le rapport des deux entiers est l’inverse du rapport de leur sigma (σ).
Q₄ Soit un entier k ≥ 1. Démontrer que l’équation σ(n) = n + k a un nombre fini de solutions.
Application numérique : déterminer le plus grand entier n₀ tel que σ(n₀) = n₀ + 2021. Démontrer qu’il existe un entier n₁ > n₀ tel que φ(n₁) = n₁ – 2021 |
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 Le 1er janvier dernier, Zig a fabriqué un calendrier circulaire selon la maquette ci-contre. Tous les jours de l’année 2021 sont inscrits dans des cases adjacentes selon l’ordre chronologique et dans chacune d’elles Zig a écrit un nombre premier de sorte que la somme des nombres écrits sur une période glissante de 35 jours est toujours égale à 553 quelle que soit la case de départ.
Dans la case du 30 novembre, Zig a écrit le nombre 29 et les nombres écrits dans les cases des 31 janvier, 31 juillet, 30 septembre, 30 novembre et 31 décembre forment une suite strictement croissante.
Déterminer les nombres écrits par Zig le jour de Pâques (4 avril), le jour de la Pentecôte (24 mai), le 14 juillet, le 15 août, le jour de la Fête des Morts (2 novembre) et le jour de la Saint Nicolas (6 décembre).
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Puce dispose de la suite S des fractions rationnelles de la forme  pour toutes les valeurs entières de k ≥1: 3/3, 7/5,11/7,etc...
Il peut à loisir effectuer tous les produits de ces fractions y compris leurs puissances entières d’ordre ≥ 2.
Démontrer que Puce est en mesure d’obtenir tous les entiers n impairs à partir du produit d’un nombre fini de fractions pas nécessairement distinctes appartenant à S.[**]
Application numérique [****] : Pour tout entier impair n, on désigne par f(n) le nombre minimal de fractions de S qu’il convient de multiplier pour obtenir n.
a) Calculer f(n) pour les huit nombres premiers n = 61, 67,…,97
b) Calculer f(n) pour les entiers impairs de 2011 à 2021 (bornes incluses)
(1) Nota : comme dans le jargon des croupiers, le dénominateur dépasse la moitié du numérateur…
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La racine digitale(1) d'un entier naturel est la somme des chiffres itérée de ce nombre (pour la notation usuelle en base 10),obtenue en additionnant tous les chiffres du nombre initial, puis en additionnant les chiffres du résultat, et ainsi de suite jusqu'à l'obtention d’un nombre à un seul chiffre.
Par exemple la racine digitale de 65536 est 7 avec 6+5+5+3+6 = 25 et 2+5 = 7.
On considère la suite an = partie entière par défaut de 10nπ à savoir a1=31,a2=314,a3= 3141,a4=31415,… puis la suite bn définie par b1= a1, b2=a1a2,  etc… sachant que dans chaque échelle d'exposants, on commence les exponentiations par le haut de l'échelle.
Calculer la racine digitale de b1000000.
(1)Nota : en anglais, « digital root »
Jean Moreau de Saint Martin, Claude Felloneau, Anne Bauval, Pierre Henri Palmade, Maxime Cuenot, Gaston Parrour, Kee-Wai Lau, David Amar, David Draï, Thérèse Eveilleau, Daniel Collignon, David Hersant, Francesco Franzosi, Louis Rogliano, Marc Humery et Nicolas Petroff ont résolu le problème et obtenu une racine digitale de b 100000 =7. |
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Problème proposé par Bernard Vignes
Q1 Existe-t-il au moins un entier n tel que n! (factorielle de n) se termine par 2021 zéros? Si oui donner le plus petit n. Si non donner le plus petit entier m >2021 tel qu’il existe au moins un entier n de sorte que n! se termine par m zéros.
Q2 Une suite d’entiers un est définie par la relation de récurrence
un+1 = 3un4 + 4un3 et u0 = 9. Démontrer qu’en notation décimale u11 contient plus de 2021 chiffres 9.
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Quatre chiffres a,b,c,d de cet entier à huit chiffres N = a12bc42d ont été effacés. Cet entier N est divisible par 5544. Déterminer le quotient N/5544.
Maurice Bauval, Raymond Bloch, Daniel Collignon, Maxime Cuenot, Thérèse Eveilleau, Claude Felloneau, Marc Humery, Pierre Jullien, Kee-Wai Lau, Jean-Louis Legrand, Pierre Leteurtre, Jean Moreau de Saint Martin, Jean Nicot, Pierre Henri Palmade, Gaston Parrour,Antoine Verroken et Emmanuel Vuilleminot ont résolu le problème en obtenant sans surprise le quotient = 2021. |
Quelle est la 2006 ème décimale après la virgule de l'expression  ?
Pour les plus curieux : jusqu'en quelle année A > 2006, peut-on déterminer aisément la A ème décimale avec la même expression ?
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Mon premier X est la plus grande valeur possible des PGCD de deux termes consécutifs de la suite définie par la relation an = n2 + 101, n = 1,2,3,…..
Mon deuxième Y est le nombre de paires d’entiers naturels a et b, a ≤ b, tels que PGCD(a,b) + PPCM(a,b) = X.
On considère Y couples distincts d'entiers positifs (u,v) dont les PPCM de u et de v prennent la même valeur z.
Mon troisième Z est le plus petite valeur possible de z.
Mon tout T est égal à (X + Y)/Z. Que vaut T?
Nota
1) PGCD : plus grand commun diviseur et PPCM : plus petit commun multiple.
2) Le couple (u,v) avec u ≠ v est distinct du couple (v,u)
Jean Moreau de Saint Martin, Claude Felloneau, Thérèse Eveilleau, Gaston Parrour, Pierre Henri Palmade, Daniel Collignon, Bruno Grebille, Anne Bauval, David Amar, Maurice Bauval, Louis Rogliano, Francesco Franzosi ont résolu le problème. Welcome to our American readers of MIssouri State Problem Solving Group who solved this problem. |
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Problème proposé par Pierre Leteurtre
Déterminer tous les termes en base 10 des huit additions ci-après. Elles sont justes, mais le terme de gauche et les deux termes de droite sont écrits dans des bases différentes de 2 à 9. Aucun terme exprimé en base 10 n'est supérieur à 1000
10100 = 1100 + 10100
1111 = 11101 + 100110
1001 = 1011 + 11111
10110 = 1111 + 11110
10111 = 1110 + 10001
10000 = 1001 + 1110
1111 = 1110 + 110
11110 = 1000 + 110
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Q₁[**] Si l’on ajoute 1 à ce nombre premier p et à son carré p², on obtient les doubles de deux carrés parfaits. Déterminer p et prouver qu’il est unique.
Déterminer le plus petit entier a > 1 qui donne les doubles de deux carrés parfaits lorsqu’il est ajouté à un nombre premier q et à son carré q².
Démontrer qu’il existe une infinité d’entiers positifs distincts tels que chacun d’eux ajouté à un nombre premier et à son carré donne les doubles de deux carrés parfaits.
Q₂ [***] Si l’on ajoute 1 à cet entier positif n > 1 et à son carré n², on obtient les doubles de deux carrés parfaits. Déterminer les valeurs possibles de n … comme l’a fait Fermat.
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la somme cumulée des τ(k) pour k variant de 1 à n.
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