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Plus de 2500 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

Accueil Problèmes par thèmes A. Arithmétique et algèbre A1. Pot pourri A1733. Du rififi chez les phi (3ème épisode)

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A1733. Du rififi chez les phi (3ème épisode) Imprimer Envoyer
A. Arithmetique et algèbre - A1. Pot pourri

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La fonction φ (phi) appelée indicatrice d'Euler est la fonction qui à tout entier naturel n non nul associe le nombre d'entiers compris entre 1 et n (inclus) et premiers avec n.
Soit un entier m > 0. On désigne par φ-1(m) l’image réciproque de m par l’application φ, c'est-à-dire l’ensemble des entiers positifs n tels que φ(n) = m.
Q1 Déterminer les entiers impairs m tels que φ-1(m) n’est pas vide.
Q2 Prouver que pour tout entier m pair φ-1(m)  contient un nombre fini d’éléments.
Q3 Prouver que si les entiers n et m sont relativement premiers entre eux et φ(n) = m, alors 2n appartient à φ-1(m).
Q4 Déterminer le plus petit entier pair m tel que φ-1(m) est vide.
Q5 Déterminer φ-1(26),  φ-1(44) , φ-1(50) ,φ-1(72) , φ-1(98), φ-1(2020) et plus généralement φ-1(2. 7k) avec k entier > 0.

 
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