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Problèmes par thèmes A. Arithmétique et algèbre A1. Pot pourri A1733. Du rififi chez les phi (3ème épisode)
Problèmes par thèmes A. Arithmétique et algèbre A1. Pot pourri A1733. Du rififi chez les phi (3ème épisode)
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| A1733. Du rififi chez les phi (3ème épisode) |
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| A. Arithmetique et algèbre - A1. Pot pourri |
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La fonction φ (phi) appelée indicatrice d'Euler est la fonction qui à tout entier naturel n non nul associe le nombre d'entiers compris entre 1 et n (inclus) et premiers avec n. Soit un entier m > 0. On désigne par φ-1(m) l’image réciproque de m par l’application φ, c'est-à -dire l’ensemble des entiers positifs n tels que φ(n) = m. Q1 Déterminer les entiers impairs m tels que φ-1(m) n’est pas vide. Q2 Prouver que pour tout entier m pair φ-1(m) contient un nombre fini d’éléments. Q3 Prouver que si les entiers n et m sont relativement premiers entre eux et φ(n) = m, alors 2n appartient à φ-1(m). Q4 Déterminer le plus petit entier pair m tel que φ-1(m) est vide. Q5 Déterminer φ-1(26), φ-1(44) , φ-1(50) ,φ-1(72) , φ-1(98), φ-1(2020) et plus généralement φ-1(2. 7k) avec k entier > 0. |
