 
Pour maintenir ses neurones en forme, il est conseillé de prendre régulièrement des doses de phi-tau-sigma qui comporte les trois composants de base : le phi, le tau et le sigma.
En voici six petites doses à avaler de préférence à des moments distincts de la journée:
1ère dose :
Trouver deux nombres premiers
tels que le phi du carré de l’un est égal au sigma du cube de l’autre.
2ème dose :
Trouver un entier dont le sigma vaut treize fois le phi.
3ème dose :
Trouver un entier dont le produit avec son tau est égal au produit de son phi et de son sigma.
4ème dose :
Combien y a-t-il d’entiers inférieurs ou égaux à 100 dont le produit avec le tau est égal à la somme du phi et du sigma ?
5ème dose :
Trouver un entier dont la somme du phi et du sigma est égale à la somme du tau et du double de cet entier.
6ème dose :
Trouver deux entiers naturels distincts qui ont même phi, même tau et même sigma.
Nota important
Dans la notice qui accompagne les doses de phi-tau-sigma, on peut lire en tout petits caractères:
1)
La fonction phi de n (appelée encore fonction d’Euler dans d’autres laboratoires mathématiques) désigne le nombre d’entiers positifs qui sont inférieurs à n et sont premiers avec n.
2)
la fonction tau
de n (appelée encore la fonction d(n) dans d’autres laboratoires mathématiques) désigne le nombre de diviseurs positifs de n.
3)
La fonction sigma de n désigne la somme des diviseurs positifs de n, incluant 1 et n.
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Démontrer qu’il existe un entier positif N tel que pour tout entier n qui lui est strictement supérieur, il existe une sous-chaîne contigüe de la représentation décimale de n qui est divisible par 2011. Par exemple si n = 67881029, alors 678,8810,788102 sont toutes des sous-chaînes contigües de n.
A noter que 0 est divisible par 2011.
Source : Olympiades canadiennes de mathématiques 2011.
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Soient les quatre nombres entiers qui ont respectivement
2009, 2010, 2011 et 32769 chiffres et dont les deux chiffres extrêmes 1 sont
séparés exclusivement par des 0. Démontrer que ces quatre nombres sont composés
et donner pour chacun d'eux le plus petit facteur premier.
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On considère la suite des entiers naturels consécutifs de 1
à 2n et on détermine le
plus grand diviseur impair de chacun d'eux.La somme de ces 2n diviseurs contient 2010 chiffres.Calculer n.
Par ordre alphabétique ont répondu correctement au problème: Claudio Baiocchi
, Xavier Chanet, Daniel Collignon, Etienne Desclin, Jean Drabbe, Claude Felloneau, Patrick Gordon, Pierre Jullien, Philippe Laugerat, Jean Moreau de Saint Martin, Claude Morin, Pierre Henri Palmade et Antoine Verroken
Tous les lecteurs ont noté qu'il y a deux valeurs possibles de n = 3338 et n = 3339.
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Quatre entiers impairs distincts sont tels que la somme du plus petit et du plus grand comme celle des termes intermédiaires sont deux puissances de 4 et leurs produits respectifs sont égaux entre eux.Quelles sont les valeurs possibles des quatre termes quand le plus grand n’excède pas 2011 ?
Pierre Henri Palmade, Jean Moreau de Saint Martin, Gaston Parrour, Bernard Grosjean, Claudio Baiocchi, Antoine Verroken, Philippe Laugerat, François Bulot, Louis Rogliano,Daniel Collignon et Henry Amet ont résolu le problème. Il y a deux solutions possibles: (1,7,9,63) et (1,31,33,1023).
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Démontrer que pour chaque entier positif k, il existe un entier positif n qui a les propriétés suivantes :
1) il a exactement k chiffres,
2) il ne contient pas le chiffre 0,
3) il est divisible par la somme de ses chiffres.
Par exemple, pour k = 2 puis k = 3, n = 12 puis n = 132 conviennent.
Source : problème proposée par l’Argentine à une Olympiade Internationale de Mathématiques.
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Démontrer que si p et p 2 + 2 sont des nombres premiers, alors p 8 + 2 est également un nombre premier.
Ce problème facile,une fois n'est pas coutume,a reçu de très nombreuses réponses toutes correctes : par ordre alphabétique Daniel Collignon, Xavier Chanet, Frédéric Chevallier, Etienne Desclin, Jean Drabbe,Claude Felloneau, Patrick Gordon, Jacques Guitonneau, Pierre Jullien, Michel Lafond, Bertrand Lapraye, Jean Moreau de Saint Martin, Claude Morin, Pierre Henri Palmade, Antoine Verroken.
Comme toutes les solutions sont très voisines, nous avons sélectionné deux d'entre elles Solution n°1 et Solution n°2
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Démontrer que quels que soient les entiers p et q positifs (p>q),1831830 divise pq(p 60 - q 60) et que le quotient de cette division est un nombre composé.
Jean Moreau de Saint Martin, Daniel Collignon, Pierre Henri Palmade, Claude Felloneau, Philippe Laugerat, Michel Lafond, Jean Drabbe, Patrick Gordon, Philippe Bertran, Etienne Desclin, Xavier Chanet, Joseph Uzan, Antoine Verroken ont tous résolu le problème et ont aisément débusqué le facteur premier 31 qui est caché dans pq(p 60 - q 60) et n'apparaît pas dans la factorisation de 1831830.
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On considère le produit des factorielles des 100 premiers nombres entiers naturels.Quelle factorielle (i.e.le vilain petit canard ) faut il exclure pour que le produit des 99 factorielles restantes soit un carré parfait ?
Pour les plus courageux : montrer qu’à partir du produit des factorielles des n premiers nombres naturels, il est impossible d’obtenir avec n impair et la suppression de l’une quelconque d’entre elles un produit des factorielles restantes égal à un carré parfait mais qu’à l’inverse c’est toujours possible avec n multiple de 4.
Source: Tournoi des Villes - session de printemps 1996
Jean Drabbe nous signale que ce problème conçu par S.Tokarev et donné au Tournoi des Villes du printemps 1996, a fait l'objet d'une analyse très détaillée de Rick Mabry parue en novembre 2009 dans la Gazette
de l'Australian Mathematical Society.
Le vilain petit canard,50!,a été débusqué par un bon nombre de lecteurs parmi lesquels Jean Moreau de Saint Martin, Xavier Chanet, Pierre Jullien, Philippe Laugerat, Etienne Desclin, Pierre Henri Palmade, Michel Lafond, Daniel Collignon, Patrick Gordon, Thierry Machicoane, Claude Morin, Jacques Guitonneau, Antoine Verroken.
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On considère 31 nombres premiers distincts. Prouver que si la somme de leurs puissances quatrièmes est divisible par 30, on peut trouver parmi eux trois nombres premiers consécutifs (tels par exemple :71,73 et 79)
source: olympiades roumaines de mathématiques.
Ce problème à l'énoncé assez déroutant été posé à de récentes olympiades nationales de mathématiques en Roumanie.Une fois qu'on a facilement démontré que 2,3 et 5 font nécessairement partie des 31 nombres premiers distincts, la solution est toute trouvée.
Claude Fellonneau, Daniel Collignon, Claude Morin, Pierre Henri Palmade, Jean Drabbe, Jean Moreau de Saint Martin, Michel Lafond, Philippe Bertran, Etienne Desclin, Philippe Laugerat, Pierre Jullien ont résolu le problème sans difficultés.
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Quel est le dernier chiffre de la somme 1 1 + 2 2 + 3 3
+ ...+ n n + ... + 2010 2010 ?
Ce millésime 2010 est un beau cru car il a généré pour dernier chiffre
de la méga somme le chiffre "magique" 7. Ce dernier n'a pas échappé à de
nombreux lecteurs, par ordre alphabétique: Med Saâd Alami, Maurice Bauval, Philippe Bertran, Jérôme Champagne, Xavier Chanet, Adrien Chauvineau, Daniel Collignon, Etienne Desclin, Claude Felloneau, Patrick Gordon, Pierre Gineste, Pierre Jullien, Michel Lafond, Philippe Laugerat, Jean Moreau de Saint Martin, Pierre Henri Palmade, Christian Pont, Antoine Verroken, Paul Voyer.
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On considère quatre progressions arithmétiques dont tous les
termes en nombre infini sont des entiers positifs. Quand on considère
l'ensemble de leurs termes, chacun des nombres de 1 à 12 y apparaît au moins
une fois. L'entier 2010 peut-il être absent de ces quatre progressions ?
Pour les plus courageux : trouver la formule générale
des entiers qui figurent nécessairement dans l'une au moins de ces
progressions ?
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Parmi les n premiers entiers naturels 1,2,...n (n > 4),
on choisit k nombres tous distincts. On les appelle par convention
« francs-tireurs » si leur produit est égal à la somme des n - k
nombres restants.
Q1 : Montrer que pour tout n supérieur à 4, on trouve toujours des francs-tireurs
par groupe de trois mais pas nécessairement quand ils sont deux seulement.
Q2 : Pour quelles valeurs de n inférieures ou égales à
2010 existe-t-il deux francs-tireurs consécutifs ?
Q3 : Pour n = 2010, quel est le plus grand nombre
possible de francs-tireurs.
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Trouver le plus petit nombre premier dont le carré est la somme des diviseurs d’un carré parfait qui est lui-même la somme des diviseurs du cube d’un nombre premier.
Pour les plus courageux : démontrer que c’est le seul entier avec cette propriété.
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Q1- Cet entier A a exactement 40000 diviseurs qui sont strictement supérieurs à 1. Prouver que A est le carré d'un carré parfait.
Q2- Cet autre entier B est de la forme 2n + 1 avec n égal au produit de 10 nombres premiers distincts strictement supérieurs à 3. Prouver que B a plus d'un million de diviseurs.
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Six nombres premiers obéissent à la charade à tiroirs suivante :
- En ajoutant 152 à mon premier puis au carré de mon premier, j’obtiens deux carrés parfaits,
- En ajoutant 1 à mon second puis au carré de mon second,j’obtiens deux fois le double d’un carré parfait,
- En ajoutant mon second à mon troisième puis au carré de mon troisième,j’obtiens deux fois le double d’un carré parfait,
- En ajoutant mon troisième à mon quatrième puis au carré de mon quatrième,j’obtiens deux carrés parfaits,
- En ajoutant mon quatrième au triple de mon cinquième puis au triple du carré de mon cinquième,j’obtiens deux fois le double d’un carré parfait,
- En ajoutant mon cinquième à mon sixième puis au carré de mon sixième,j’obtiens deux fois le double d’un carré parfait.
Mon tout N est un entier < 1000000 qui est le produit de quatre nombres premiers distincts a,b,c et d dont trois sont choisis parmi les six nombres logés dans la charade, tel que N – 1 est en même temps un multiple de a – 1, de b – 1, de c – 1 et de d – 1. Trouver N.
Jean Moreau de Saint Martin, Pierre Henri Palmade, Antoine Verroken, Nicolas Sigler, François Bulot, Patrick Gordon, Bernard Grosjean, Philippe Laugerat et Alexis Comte ont trouvé les six nombres premiers de la charade, respectivement 17,7,11,5,31 et 19(sachant que pour chacun des tiroirs la solution est unique)ainsi que N = 75361 qui est un nombre de Carmichaël. Emmanuel Vuillemenot a résolu le problème à l'aide d'un programme écrit en Visual Basic et accompagné d'un tableau Excel qui affiche les résultats: charade_arithmetique.xls
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Pour chacune des valeurs 2,3 et 5 du nombre premier p, trouver un nombre premier q tel que pour tout entier naturel n, q n’est pas un diviseur du nombre n p - p. Généralisation : Soit p un nombre premier. Démontrer qu’il existe au moins un nombre premier q tel que pour tout entier naturel n, le nombre n p - p n’est jamais divisible par q. Source : problème posé lors d’une compétition internationale qui s’est tenue à Tokyo. |
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Q1 - Trouver l’entier n dont le produit de tous ses diviseurs, y compris 1 et lui-même, est égal à 10 077 696. Q2 - La somme des diviseurs d’un entier n, y compris 1 et n, est une puissance de 2. Montrer que le nombre de ces diviseurs est lui-même une puissance de 2. En déduire le plus petit entier qui a 32 diviseurs et dont la somme des diviseurs est une puissance de 2. Jean Moreau de Saint Martin, Claude Felloneau, Pierre Henri Palmade, Jean Drabbe, Paul Voyer, Michel Lafond, Claudio Baiocchi, Philippe Laugerat, Patrick Gordon, Pierre Jullien, Abdel-Ilah Echchilali, Maurice Bauval, Gaston Parrour ont résolu les deux questions. La réponse à Q1 est n = 36 et dans Q2 ,le plus petit entier qui a 32 diviseurs et dont la somme de ses diviseurs est une puissance de 2 est le produit des 5 premiers nombres de Mersenne 3,7,31,127,8191 égal à 677 207 307.
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Par convention, on dit qu’une suite de nombres entiers positifs est équipondérée si tous les entiers qui la composent ont la même somme de leurs chiffres.Par exemple la suite 7,16,52,223,1411 dans laquelle la somme des chiffres de chaque terme est égale à 7, est équipondérée.
Q1 : Trouver cinq suites équipondérées constituées respectivement de 2011, 2012, 2013, 2014 et 2015 nombres entiers positifs pas nécessairement distincts et qui ont toutes la même somme S de leurs termes, S prenant la plus petite valeur possible.
Q2 : Démontrer qu’il existe 2011 suites équipondérées constituées respectivement de 1,2,3,...,2011 nombres entiers positifs pas nécessairement distincts, qui ont toutes la même somme de leurs termes. Calculer la plus petite valeur possible de cette somme.
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Q? : Soit un entier n qui est une puissance de 2.Démontrer que parmi 2n – 1 entiers naturels, on peut toujours en trouver n dont la somme est divisible par n.[***]
Q? : Généraliser avec un entier n positif quelconque en démontrant que parmi 2n-1 entiers, on peut toujours en trouver n dont la somme est divisible par n.[*****]
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On introduit l’entier 2010 dans la mémoire d’un automate. A l’étape n° k de son programme, il calcule le plus grand commun diviseur d de k et de l’entier n qui est dans sa mémoire puis il remplace n par n + d. Démontrer que la valeur 1 mise à part, l’entier d calculé à chaque étape est toujours un nombre premier. Source: d'après Tournoi des Villes - session du printemps 2009. Jean Moreau de Saint Martin, Jean Drabbe, Claude Felloneau et Maurice Bauval ont résolu le problème. Celui-ci a été posé pour la première fois à la session de printemps 2009 du Tournoi des Villes avec une valeur de départ n 0 égale à 6. La séquence des nombres premiers qui en résultait était : 5,3,11,3,etc...alors que celle de notre problème est : 7,5,3,43,etc.. Jean Drabbe a remarqué que ce générateur de nombres premiers n'était autre que le générateur conçu par Eric Rowland qui l'a présenté et en a donné ses principales propriétés dans un article paru en 2008 dans " Journal of Integer Sequences". De son côté Jean Moreau de Saint Martin, après avoir exploré les valeurs de départ n 0 comprises entre 2 et 2010, a constaté que pour 122 valeurs -la plus petite étant 531 et la plus grande 1794 - il y a un incrément d distinct de 1 qui n'est pas premier mais le cas ne se produit qu'une fois par valeur de n 0 pour n <10000000. La propriété de d premier n'est pas universellement vraie et dépend donc du point de départ n 0.Claude Felloneau a fait la même observation avec n 0 = 1000 qui donne pour premier incrément >1 le nombre 21 qui est composé.
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Montrer qu’un nombre rationnel r positif peut s’écrire de façon unique comme le quotient de produits de factorielles de nombres premiers pas nécessairement distincts.
Application numérique r = 2010/2009. Donner la liste des nombres premiers qui figurent dans le quotient.
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Trouver un entier naturel n inférieur à 2011 divisible par trois entiers distincts dont la conversion dans trois bases entières a,b et c distinctes donne respectivement des nombres uniformes à 3, 4 et 6 chiffres avec deux au moins de ces nombres qui n’utilisent pas le même chiffre. Démontrer que cet entier n est unique.
Nota : un nombre uniforme ou rep-digit est formé par la répétition du même chiffre compris entre 1 et 9.
Ce problème devrait s'intituler "Le mal nommé". En effet comme son rédacteur a oublié de préciser que les trois diviseurs distincts de n étaient strictement inférieurs à n, il y a deux solutions: 1) n=1092 avec par exemple trois diviseurs 273,156 et 364 qui s'écrivent respectivement 333,1111 et 111111 en bases 9,5 et 3 2) n = 1365 avec les trois diviseurs 273,455 et 1365 lui-même qui s'écrivent respectivement 333,555 et 111111 en bases 9,9 et 4. Antoine Vanney, Bernard Grosjean, Gaston Parrour, Patrick Gordon, Pierre Henri Palmade, Philippe Laugerat, Paul Voyer et François Bulot ont résolu le problème. |
Voici quatre miniatures sur des nombres premiers réunis en famille sous la houlette de « 2011 » :
Q1 : Sans l’aide d’une calculatrice, exprimer 2011 comme la somme des carrés de nombres premiers distincts entre eux.
Q2 : Déterminer les nombres premiers jumeaux (p et p+2) inférieurs à 2011 dont la demi-somme est soit un carré parfait soit un nombre triangulaire.
Q3 : Calculer le reste de la division de la somme 20111870 + 18712010 par 3762581.
Q4 : On calcule respectivement les sommes des 2010 et des 2011 premiers nombres premiers. Montrer qu’il y a au moins un carré parfait entre ces deux sommes.
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Sachant que 40 ! = abc def g83 247 897 734 345 611 269 596 115 894 27h ijk lmn opq, trouver les 17 chiffres manquants a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p et q.
Nota : il est demandé d’éviter de faire 39 fastidieuses multiplications pour calculer 40 ! et de ne pas utiliser un quelconque automate sauf pour vérifier le résultat obtenu.
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Dans cette immense forêt, des arbres ont été plantés aux points de coordonnées x et y entières (négatives, positives ou nulles) par rapport à une origine O. Un arbre est invisible depuis cette origine si le segment qui le relie à O passe par au moins un autre arbre. On abat tous les arbres invisibles depuis l’origine. Démontrer que la forêt contient alors des clairières carrées de dimensions quelconques dont les côtés sont parallèles aux axes de coordonnées. Localiser les clairières carrées de côtés 3 et 4 situées strictement à l’intérieur du secteur défini par 0 < x < y et dont le centre est à une distance inférieure à 2011 de l’origine.
Vincent Pantaloni, Claude Felloneau, Michel Lafond, Pierre Henri Palmade, Louis Rogliano, Pierre Jullien, Antoine Verroken et Philippe Laugerat ont résolu le problème. Jean Drabbe nous signale que la propriété de la première question est démontrée à partir d'un résultat plus général obtenu par Herzog-Stewart dans leur ouvrage "Pattern of visible and non visible lattices points". On note que si les clairières de côté 3 qui résultent de l'abattage de 2*2 = 4 arbres sont très nombreuses dans le secteur 0 < x < y, il y a une seule clairière de côté 4 (après abattage de 9 arbres) située à une distance inférieure à 2011 de l'origine. Les clairières de côtés 5,6,...sont très éloignées de l'origine et se comptent sur les doigts d'une main comme le montrent les analyses de Vincent Pantaloni et de Jean Drabbe.Il était donc opportun de préciser que la forêt était immense. |
P1 : Des entiers positifs sont dits « semblables » s’ils sont écrits avec les mêmes chiffres. Par exemple : 112,121,211 écrits avec deux chiffres ‘1’ et un chiffre ‘2’. Trouver le plus petit entier qui a au moins 2011 chiffres et qui est la somme de deux entiers qui lui sont semblables.
P2 : Trouver trois entiers positifs tels que leur addition donne un nombre dont la somme des chiffres dépasse 125 et l’addition de deux quelconques d’entre eux donne un nombre dont la somme des chiffres est toujours plus petite que 10.
P3 : Trouver le plus grand entier dont tous les chiffres sont distincts et qui est la somme de deux entiers écrits l’un et l’autre avec seulement deux chiffres distincts. Par exemple, l’entier 1476 qui a quatre chiffres distincts est la somme de 1121 et de 355 écrits respectivement avec les chiffres (1,2) et (3,5).
Philippe Laugerat, Michel Lafond, Daniel Collignon et Patrick Gordon ont donné leurs meilleures solutions des trois problèmes.De son côté Jean Moreau de Saint Martin a fait une analyse fouillée du premier problème. Commentaires:P1: le plus petit entier est 20.(2007 fois).0961= 10.(2007 fois).0269+10.(2007 foisà.692 P2: les trois entiers sont respectivement: a = 4 554 554 554 554 554 554 554 555 b = 5 455 455 455 455 455 455 455 455 c = 5 545 545 545 545 545 545 545 545 P3: la réponse optimale est :9 559 959 595 + 4 422 422 = 9 564 382 017l Cette énigme peut se résoudre manuellement, l'ordinateur servant simplement à contrôler le résultat obtenu. Il est logique de chercher deux entiers A et B, A > B, dont la somme S donne un entier à 10 chiffres le plus proche possible du plus grand entier dont tous les chiffres distincts : 9876543210. Dès lors A a dix chiffres et B a au moins six chiffres, sinon quelles que soient les retenues de A + B, les cinq premiers chiffres de A donneraient nécessairement au moins un couple de chiffres identiques dans les cinq premiers chiffres de S. Par ailleurs si (p,q) et (r,s) sont respectivement les deux couples de chiffres utilisés pour écrire A et B, avec p,q,r,s compris entre 0 et 9, le chiffre r (comme s) additionné à p et à q avec ou sans retenue donne au plus quatre chiffres distincts dans S, soit au plus huit chiffres distincts au total pour le couple (r,s) additionné à (p,q). Il en découle que B a au plus huit chiffres et que le premier chiffre de A est 9. - Si B a huit chiffres, les deux premiers chiffres de A sont distincts et fournissent les 10 – 8 = 2 chiffres distincts manquants de S. - Si B a sept chiffres, les trois premiers chiffres de A avec une retenue de 1 ajoutée à son troisième chiffre donnent les 10 – 7 = 3 chiffres distincts manquants de S. - Les «bons» couples (9,q) et (r,s) qui donnent huit chiffres distincts dans S sont peu nombreux et s’obtiennent rapidement: (9,5) et (4,2), (9,4) et (3,1). Logiquement p – q > 1 et r – s > 1 et les couples (p,q) = (9,7) ou (9,6) sont exclus car ils génèrent trop de retenues dans les additions du type p+r,q+r,q+r et q+s. Après quelques tâtonnements, il apparaît que les «bons» couples (9,5) et (4,2) avec B à sept chiffres donnent la solution optimale : 9 559 959 595 + 4 422 422 = 9 564 382 017 qui est confirmée par un programme informatique. Une solution voisine avec B à six chiffres donne une somme inférieure: 9 559 995 995 + 442 222 = 9 560 438 217. |
Trouver trois ensembles de quatre entiers naturels distincts > 1 dont la somme est égale à 2011 et dont le plus petit commun multiple (PPCM) est respectivement :
1)égal à 2730,
2)le plus petit possible,
3)le plus grand possible.
Jean Moreau de Saint Martin, Pierre Henri Palmade, Michel Lafond, David Amar, Maurice Bauval, Claudio Baiocchi, Daniel Collignon, Philippe Laugerat, Pierre Jullien, Claude Felloneau et Patrick Gordon ont résolu le problème. Les réponses optimales sont les suivantes: 1) 2 solutions: 30,70,546,1365 et 35,65,546,1365 2) 2,287,574,1148 3) 501,502,503,505
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La terre tourne autour du soleil selon une orbite complète qui dure 365 jours 5 heures 48 minutes et 46 secondes. Le calendrier grégorien est conçu avec des années bissextiles de 366 jours pour toutes les années divisibles par 4 à l’exception des années divisibles par 100 mais pas par 400. Déterminer la correction apportée sur une période de 400 ans. En opérant toujours avec les années bissextiles, trouver une meilleure correction sur une période plus courte.
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Problème proposé par Michèle Raffault
A l'aide des quatre seules opérations élémentaires +, -, *, /. complétées par des parenthèses,déterminer neuf équations qui expriment 2011 à partir des chiffres pris dans l’ordre de la séquence 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9 et des huit autres séquences obtenues par permutation circulaire. Les concaténations de chiffres (exemples :12 et 456) sont interdites ainsi que les exponentiations, les racines carrées et les factorielles.
Par exemple pour obtenir le nombre 4 à partir de la séquence 1,2,3,4,5 on peut écrire 4 = ((1*2+3)*4)/5 puis 4 = 2*(3 – 4) + 5 + 1 puis 4 = 3*4 – (5 +1 +2) etc...
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On part de la séquence de 45 nombres entiers inférieurs ou égaux à 100, tous distincts dont 43 sont connus :a,b,17, 18, 21, 22, 24,25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 38, 39, 40, 44, 45, 48, 50, 52, 54, 55, 56, 60, 63, 66, 70, 72, 75, 76, 77, 78, 80, 84, 85, 88, 90, 91, 95, 96, 99,100.
On remplace deux termes quelconques de la séquence x et y par le nombre rationnel xy/(x+y) et on poursuit le processus jusqu’à ce qu’il ne reste plus qu’un seul terme.
1) Démontrer que quel que soit l’ordre dans lequel sont pris les termes, l’expression qui donne le terme final en fonction de a et de b est toujours la même.
2) Si le terme final est égal à 2/5, déterminer a et b.
Challenge : faire tous les calculs à la main comme au temps des pharaons...
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Problème proposé par Michel Lafond
n >= 1 étant un entier naturel, il s’agit d’écrire n! comme produit de n facteurs entiers :
n != F1 x F2 x F3 x - - - x Fn avec F1 <= F2 <= F3 - - - <= Fn-1 < Fn
en rendant F1 le plus grand possible.
Ainsi :
avec 27!= 73 x 83 x 94 x 104 x 112 x 125 x 132 x 17 x 19 x 23 x 25 on a F1=7
avec 27! = 84 x 96 x 106 x 112 x 12 x 132 x 143 x 17 x 19 x 23 on a F1=8.
Essayer de trouver le plus grand F1 possible lorsque n appartient à l'ensemble {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100}.
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Q1 : Pour tout entier naturel positif n, existe-t-il au moins un multiple de n qui contient tous les chiffres de 0 à 9 ?
Q2 : Trouver un entier n de cinq chiffres non nuls tous distincts qui est égal à la somme de tous les entiers que l’on peut former avec trois de ses chiffres.
Q3: Existe-t-il un carré parfait à 7 chiffres ne contenant pas le chiffre 9 qui reste un carré parfait si on incrémente chacun de ses chiffres d’une unité ?
Q4 : Trouver le plus petit entier n tel que l’entier 1 peut s’écrire comme la somme de n nombres réels pas nécessairement distincts qui contiennent exclusivement des 0 et des 7.
Q5 : Des parenthèses (..) peuvent être placées de différentes manières dans l’expression N(k) = 1/2/3/4...../k où / désigne l’opération « division » et k est un entier naturel positif. Par exemple deux valeurs possibles de N(4) sont N(4) = (1/2)/(3/4) = 2/3 et N(4) = ((1/2)/3)/4 = 1/24. On s’intéresse à N?(k) et N?(k) qui sont respectivement le plus grand entier et le plus petit entier susceptibles d’être obtenus. Le rapport N?(k) / N?(k) est égal à 518400. En déduire k.
Jean Moreau de Saint Martin, David Amar, Michel Rome, Jean Drabbe, Jean Nicot, Gaston Parrour, Pierre Henri Palmade, Paul Voyer, Philippe Laugerat, Daniel Collignon, Patrick Gordon et Antoine Verroken ont résolu tout ou partie des cinq énigmes.
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Cet entier n est le produit de deux nombres premiers jumeaux p et p + 2. On calcule le produit P(n) de la somme σ(n) des diviseurs positifs de n (1 et n inclus) par le nombre σ(n) des entiers positifs qui sont inférieurs à n et sont premiers avec n. P(n) est divisible par 1 000 000. Quels sont les deux plus petits jumeaux possibles? [**]
Pour les plus courageux : démontrer qu’un entier n est le produit de deux nombres premiers jumeaux si et seulement si P(n)=σ(n).σ(n) est de la forme an2 + bn + c avec a,b et c coefficients entiers à déterminer.[*****]
Jean Moreau de Saint Martin, Fabien Gigante, Claude Felloneau, Pierre Henri Palmade, Daniel Collignon, Gaston Parrour, Patrick Gordon, Paul Voyer, Antoine Verroken, Maurice Bauval, Bernard Grosjean et Philippe Laugerat ont résolu tout ou partie du problème. Daniel Collignon signale que des articles qui traitent de ce problème sont disponibles sur la Toile et conseille celui de W.G. Leavitt et A.A. Mullin: Primes differing by a fixed integer. |
Q1- On considère la somme d’un entier p à 2k + 1 chiffres et de l’entier q dont les chiffres sont ceux de p lus dans l’ordre inverse. Pour quelles valeurs de k cette somme peut-elle comporter exclusivement des chiffres impairs ? Application numérique : p a 2011 chiffres.
Q2- On additionne un entier naturel p à l’entier q obtenu en arrangeant les chiffres de p dans un ordre différent. La somme p + q peut-elle être formée de 2011 chiffres 9 ?
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On considère l’ensemble des entiers de la forme p2 – 1 avec p nombre premier ≥ 2. On choisit quatre entiers positifs n₁,n₂,n₃ et n₄. Quand p varie, les restes de la division de p2 – 1 par chacun de ces entiers prennent respectivement trois,quatre,cinq et six valeurs possibles.Trouver ces quatre entiers qui forment une progression arithmétique lorsqu’on les prend dans un certain ordre.
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Problème proposé par Maurice Bauval
Soit E l'ensemble des entiers x tels que 0 < x < 2011.Trouver une bijection f : E --> E telle que pour tout x de E, la valeur absolue de f(f ( f ( f ( f(x))))) – 2x est multiple de 2011.
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On désigne par p(n) le produit des diviseurs de l’entier naturel n, y compris n lui-même.
Q1 : Soient deux entiers naturels positifs a et b tels que p(a) = p(b). Peut-on avoir a > b ?
Q2 : Trouver le couple d’entiers naturels a et b, 1≤ a, b≤ 2012, tels que p(a)= 324p(b).
Q3 : Démontrer que quel que soit l’entier k >1, il existe toujours un entier a tel que p(a) est la puissance d’ordre k d’un entier. Application numérique : k = 2011 et k = 2012.
Q4 : Démontrer qu’il existe une infinité de triplets d’entiers naturels a,b,c, tous supérieurs à 1,tels que p(a) = p(b).p(c)
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Q₁ : Soit un nombre premier p. Montrer qu’il existe au moins un entier positif n tel que la représentation décimale de pⁿ contienne exactement 2013 zéros à la queue leu leu.
Q₂ : Existe-t-il un entier naturel positif dont la somme des chiffres est égale à 2013 et dont la somme des chiffres de son carré est égale à 20132 ?
Q₃ : Existe-t-il un entier de 2013 chiffres qui donne toujours un entier composé quand on remplace trois quelconques de ses chiffres adjacents par trois chiffres arbitrairement choisis ?
Q₄ : Soient une première suite de m > 2013 entiers consécutifs et une deuxième suite de n = m – 9 entiers consécutifs qui a neuf termes de moins que la précédente. On forme les entiers M et N obtenus par concaténation dans un ordre quelconque des entiers appartenant à chacune de ces suites. Est-il possible que M = N ? Si oui, donner un exemple des deux suites. Si non, justifier votre réponse.
Q₅ : On désigne par P(x) et S(x) le produit et la somme des chiffres d’un entier x. Existe-t-il au moins un entier naturel n tel que P(P(n)) + P(S(n)) + S(P(n)) + S(S(n)) = 2013 ?
Pour les plus courageux disposant d’un automate : donner le plus petit n possible.
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1ère pincée : trouver tous les entiers naturels a et b tels que 1 < a < b et dont la différence entre leur plus petit commun multiple (PPCM) et leur plus grand commun diviseur (PGCD) est égale à 2012.
2ème pincée : on a trouvé dans de vieux manuscrits la relation (3? + 1, 31637+ 1) = (3? + 1,31637– 1) dans laquelle (a,b) désigne le plus grand commun diviseur (PGCD) des entiers a et b et le point d’interrogation ? est un exposant devenu illisible. Si l’on admet que cet exposant est un entier positif, identique dans les deux membres et inférieur à 1637, trouver sa plus grande valeur possible.
Nota : c’est en 1637 que Pierre de Fermat n’a pas détaillé la démonstration de son grand théorème car les marges de son cahier étaient trop étroites...
3ème pincée : pour k égal respectivement à 2,3,4 et 5, trouver la valeur maximale du plus grand commun diviseur (PGCD) de nk + 1 et de (n+1)k + 1 quand n parcourt l’ensemble des entiers naturels.
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Problème proposé par Augustin Genoud
Soit une suite de n chiffres > 0 : a1, a2, a3 ...an pas nécessairement distincts entre eux.
En utilisant chacun de ces chiffres une seule fois, on forme deux nombres entiers n1 et n2 tels que n1 ≥ n2 et dont le produit, désigné par p(S), est le plus grand possible.
Par exemple avec S={4,1,5}, on a n1 = 41, n2 = 5 et p(S) = 41*5 = 205
Q1 Déterminer n1 et n2 avec S constituée par les entiers de 1 à 9.
Q2 Déterminer n1 et n2 avec S = {4, 8, 9, 2, 7, 5, 4, 4, 6, 7 et 9}
Q3 Déterminer les chiffres a et b distincts,a > b,tels que p(S1) = p(S2) avec S1 = {a,b,6,3,4,2,3} et S2 = {a,b,4,5,4,4,5}
Q4 Déterminer les chiffres a,b,c distincts tels que p(S1) = p(S2) avec S1 = {a,b,b,3,7,4} et S2 = {a,c,c,7,9,2}
Pour les plus courageux: donner une méthode permettant de trouver les entiers n1 et n2 quel que soit le nombre de chiffres de la suite S.
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Q1: Un entier k > 0 étant fixé à l’avance, peut-on toujours trouver un entier dont la moyenne arithmétique de ses diviseurs (y compris 1 et lui-même) est égale à k ?
Q2 : Trouver trois entiers distincts qui ont la même moyenne arithmétique de leurs diviseurs égale à 2014 puis deux entiers qui ont respectivement 6 et 72 diviseurs et dont les moyennes arithmétiques de leurs diviseurs sont égales à 2015.
Q3 : Prouver qu’il existe neuf entiers naturels ? 2014 qui, pris deux à deux, n’ont pas de facteur premier commun et dont les moyennes arithmétiques de leurs diviseurs sont égales à une même valeur entière.
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Déterminer tous les triplets d’entiers uniformes strictement positifs tels que dans chaque triplet le plus grand des entiers est égal à la somme du deuxième et du carré du troisième et l’un d’eux contient 2013 chiffres.
Nota : dans le système de numération décimale un entier uniforme est un entier naturel formé par la répétition d'un seul chiffre.
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Problème proposé par D.Indjoudjian
Zig dispose d’une calculette de marque déposée @Méphisto dont le clavier comporte trois touches qui permettent d’obtenir à partir d’un entier quelconque n strictement positif affiché à l’écran :
1) σ(n) la somme des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même.
2) τ(n) le nombre des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même.
Aidez Zig à répondre à la question : existe-t-il un entier n tel que τ(n) = 63 et σ(n) = 51181?
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