Q1 :Multiplier pour décroître…

A partir d’un entier naturel N, on peut effectuer deux opérations :

- le multiplier par n’importe entier positif,

ou

- supprimer tout ou partie des zéros qu’il contient.

Exemple : On part de 239. Ce nombre multiplié par 42 donne 10038. On supprime les deux zéros et il reste 138. On multiplie par 5 et le résultat est 690. D’où 69 en supprimant le dernier zéro, etc…

En partant de n’importe quel entier naturel >10 fixé à l’avance, dans quelles conditions peut-on aboutir à un entier inférieur ou égal à 9 ?

Q2 : …et diviser pour croître.

A partir d’un entier naturel N, on peut effectuer deux opérations :

-   le diviser par n’importe lequel de ses diviseurs s’il n’est pas premier,

ou

-   ajouter entre les chiffres ou à la fin du nombre autant de zéros que l’on souhaite.

Exemple : On part  de 37. On ajoute deux zéros pour obtenir 3070. On divise le nombre par 2 et on obtient 1535. On ajoute un zéro et on obtient 10535. qui divisé par 7 donne 1505,etc….

En partant d’un nombre inférieur à 10, dans quelles conditions est-on certain d’obtenir un entier naturel quelconque fixé à l’avance ?

Source : d’après Olympiades de mathématiques de Saint Petersbourg