Plus de 3000 récréations et problèmes mathématiques !
Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.
Les problèmes ouverts iront dans les archives quand ils seront résolus par les lecteurs ou quand ils seront restés plus de 4 mois en problèmes ouverts non résolus.
La somme S de six nombres entiers distincts à six chiffres chacun est aussi un entier de six chiffres.Les sept nombres s’écrivent avec deux chiffres distincts seulement. Zig dit à Puce : « Je te donne S et tu es en mesure de calculer les six nombres distincts ». Quelques minutes plus tard, Puce confirme que la solution est unique. Zig dit au lecteur de diophante.fr : « Déterminez S et les six nombres »
M1Les couples d’entiers (a,b) obéissent aux conditions suivantes : - 1 < a < b, - les diviseurs premiers de a et de b sont identiques, - les diviseurs premiers de a + 1 et de b + 1 sont identiques. Démontrer qu’il existe une infinité de tels couples. Application numérique : trouver au moins huit de ces couples dont le plus petit terme est ? 2014.
M2 Trouver tous les entiers strictement positifs n tels que pour tout nombre premier p > 2, il existe un entier strictement positif k de sorte que les deux quantités nk – k et nk+1 – (k + 1) sont divisibles par p.
Trouver tous les entiers strictement positifs n tels que pour tout nombre premier p > 2, il existe un entier strictement positif k de sorte que les deux quantités nk – k2 et nk+1 – (k + 1)2 sont divisibles par p.
Pour tout k≥ 3, soit une suite de k nombres premiers distincts dont la somme vaut sk. Déterminer la borne supérieure bk du nombre de ses termes qui divisent sk. Par convention on dit qu’une suite Sk connaît une cohabitation optimale si : - le nombre de ses termes qui divisent sk est égal à bk , - la somme sk est la plus petite possible. Pour k prenant respectivement les valeurs 3,4,5,6 et 7, déterminer les suites Sk de cohabitation optimale.
Soient deux entiers positifs a et b tels que a divise b et en écrivant dans l’ordre a puis b on obtient un nombre N égal à (a + b)2. Calculer le ratio b/a et trouver le couple (a,b) qui donne la plus petite valeur possible de N.
On considère une suite de 7 nombres entiers positifs. On calcule les différences en valeur absolue de ces entiers pris deux à deux puis le produit P de toutes ces différences.Trouver le plus grand entier N qui divise P quel que soit le choix des 7 nombres. Justifiez votre réponse. [***]
Pour les plus courageux: on considère une suite de n nombres entiers positifs {ai} pour i = 1,2,...n et pour chaque couple d’indices (i,j) avec 1 ≤ i < j ≤ n , on calcule la différence dij = abs(aj – ai). Exprimer en fonction de n le plus grand entier qui divise le produit de tous ces termes dij quel que soit le choix des nnombres. [****]
Q1 Trouver un nombre entier composé N1 de dix chiffres qui reste composé quand on change l'un quelconque de ses dix chiffres par un autre chiffre. Montrer qu'il existe une infinité de nombres entiers composés qui ont la même propriété que N₁. Q2(a) Trouver le nombre entier composé N2 à deux chiffres en représentation décimale qui reste composé quand on change(b) un ou deux chiffres de sa représentation binaire. Il est permis de changer en 0 le ou les chiffre(s) le(s) plus significatif(s).
(a) Il s’agit d’une variante simplifiée d’un problème posé par W. Sierpinski il y a plus de cinquante ans et resté très longtemps sans réponse : trouver un nombre composé qui reste composé quand on modifie au plus deux chiffres quelconques de sa représentation décimale. Nos lecteurs les plus courageux disposant de puissants moyens de calcul sont invités à le résoudre. (b) Par exemple, l’entier 6 en base 2 s’écrit 110. Si l'on modifie un seul chiffre de cette représentation binaire, on obtient les nombres 10,100 et 111. Si l'on en modifie deux, on obtient 0,11 et 101.
Pour tout entier n, on note s(n) la somme des restes des divisions successives de n par 1,2,3,...,n. Q1 - p étant un nombre premier, on sait que s(p) = 721010 et s(p-1) = 718995. En déduire p ‒ 1. Q2 - Démontrer qu'il existe une infinité de couples d'entiers distincts (m,n),m< n, tels que s(m) = s(n)
Q1 Je suis un entier naturel à 4 chiffres distincts. On me pose debout sur un miroir horizontal et mon reflet a les mêmes chiffres que moi tout en étant plus grand. Nous avons l’un et l’autre trois facteurs premiers distincts et notre somme est un nombre premier. Démontrer que nous formons un couple unique.
Q3 Pour deux entiers naturels positifs m et k, je suis en même temps égal à la différence entre les sommes des diviseurs pairs et impairs de m² et au produit du kième entier naturel impair et du kième entier naturel impair non premier. Qui suis-je ? Quelles sont les valeurs de m et de k ?
Q4? Nous sommes deux entiers sphéniques (http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_sphénique) qui ne dépassent pas le billion. En représentation binaire, nous devenons des nombres palindromes avec un seul chiffre 0. Qui sommes nous ? Question subsidiaire : que peut-on dire des deux entiers qui précédent chacun de nous deux ?
La réponse est non. Si un tel entier existait alors
comme la somme de ses chiffres serait égale à 2006 il serait congru à 8
modulo 9. Or un carré parfait n'est jamais congru à 8 modulo 9.
Soient un nombre premier p et un entier naturel N qui n’est pas divisible par p et dont l’écriture décimale contient deux zéros. Déterminer les valeurs de p pour lesquelles, quel que soit N satisfaisant ces conditions, on sait remplacer ces deux zéros par deux chiffres x et y dont l’un au moins est > 0, de sorte que le nombre résultant N’ est divisible par p.
A partir du nombre premier 19, on écrit la suite infinie S des entiers obtenus en ajoutant un chiffre 9 au nombre précédemment écrit : 19,199,1999,19999,..... Q1 Démontrer que le nombre 19 divise un nombre infini de termes de S. Q2 Démontrer que parmi les deux entiers 323 et 551 l’un divise un nombre infini de termes de S et l’autre n’en divise aucun.
Curieuse coïncidence. De nombreux lecteurs ont été attirés par les facéties du 19 et on dénombre exactement 19 solutions qui donnent évidemment les mêmes conclusions : le nombre 19 et son multiple 551 = 29*19 divisent une infinité de termes de S,à l'inverse 323,lui aussi multiple de 19 (323 = 17*19),n'en divise aucun.
Pour tout entier positif n qui admet k facteurs premiers distincts p1,p2,...,pi....pk, on calcule la somme σ des inverses de ses facteurs premiers puis le produit π de ces mêmes termes . Trouver les entiers n inférieurs à 2015 tels que la différence σ – π est un nombre entier strictement positif.
Problème proposé par Thierry Machicoane Q1: Quel est le plus petit entier ayant exactement 2016 diviseurs? Q2: Quel est le plus petit entier ayant exactement 102016 diviseurs ? Q3 : Combien existe-t-il d'entiers inférieurs ou égaux à 2016³ ayant exactement 2016 diviseurs ?
Nota: La fonction "nombre de diviseurs d'un entier n" est souvent appelée fonction tau et notée τ(n).On compte toujours 1 et n dans τ(n).
Un entier est appelé par convention k-premier s’il est égal au produit de k nombres premiers distincts. Par exemple 2015 = 5*13*31 est 3-premier mais 18 = 2*3*3 ne l’est pas. On considère quatre entiers w,x,y,z pris dans cet ordre qui ont les propriétés suivantes : 1) ils sont respectivement 1,2,3,4-premiers, 2) x est le plus grand et y est le plus petit, 3) leur produit est un carré parfait, 4) leur somme S est 5-première. Trouver la bande des cinq entiers w,x,y,z,S tels que S est la plus petite somme possible.
On considère une suite de 12 entiers (ni, i = 1 à 12) strictement positifs à laquelle on associe la suite {si} des douze sommes de leurs chiffres et la suite {pi} des douze produits de leurs chiffres. On place les termes des deux suites {si} et {pi} sur les repères des heures de deux cadrans d'horloge. La suite {si} est strictement croissante : s1 < s2 < s3 < ...< s11 < s12 et quand on fait tourner la cadran des {si} de 30° dans le sens des aiguilles d'une montre, les deux cadrans des {si} et {pi} coïncident exactement. Déterminer une suite de 12 entiers {ni} qui satisfait ces deux dernières conditions.
Pour respecter la tradition,nous les invitons à commencer cette année par la résolution de cinq énigmes qui ont été préparées par Raymond Bloch et mettent le nouveau millésime à l'honneur. 1ère énigme Résoudre le cryptarithme LE + NOUVEL + AN + 2016 = ARRIVE, dans lequel les lettres représentent des chiffres distincts choisis dans l'ensemble {0,1,2,3,...9} et aucun nombre ne commence par zéro. 2ème énigme Existe-t-il un carré parfait dont la somme des chiffres est 2016 ? 3ème énigme Existe-t-il une puissance de 2 se terminant par 2016 ? Si oui, quelle est la plus petite ? Si non, prouvez que c’est impossible. 4ème énigme L’hexagone obtenu en construisant 3 carrés à l’extérieur des côtés d’un triangle rectangle, dont les côtés de l’angle droit ont pour longueurs entières p et q, p > q , a une aire égale à 2016.Trouver p et q. 5ème énigme On considère quatre additions: la première contient quatre entiers de 4,3,2 et 1 chiffres, la seconde un seul entier de 4 chiffres et trois entiers de 2 chiffres, la troisième deux entiers de 3 chiffres et deux entiers de 2 chiffres et la dernière trois entiers de 3 chiffres et un entier à 1 chiffre. Dans chaque addition les quatre entiers utilisent les 10 chiffres de 0 à 9 une fois et une seule. Q1:Démontrer que pour l’une des quatre additions, il est impossible d’obtenir le total 2016 mais qu’à l’inverse c’est possible pour les trois autres désignées par A1,A2 et A3. Q2:On inscrit les contenus des additions A1,A2 et A3. de total 2016 dans un tableau à double entrée de 5 lignes et 3 colonnes. Dans chaque colonne n°i les entiers de l’addition Ai ( i = 1,2,3) sont écrits dans l’ordre décroissant sur les lignes j = 1,2,3,4 .La cinquième ligne donne le même total 2016 des trois colonnes. On constate que : - le PGCD de tous les entiers du tableau est un entier p > 1. - sur la première ligne du tableau,un entier est le double d’un autre. - sur la deuxième ligne, deux entiers sont identiques. - sur la troisième ligne, deux d’entre eux sont égaux à p2. Déterminer les trois additions A1,A2 et A3.
Q3:Pour les plus courageux: en quelle année X postérieure à 2016 et la plus proche de 2016, est-il possible de construire trois additions qui ont les mêmes propriétés que celles de Q2?
Cet entier N a 2015 chiffres qui constituent une suite non décroissante de 2015 chiffres lorsqu'ils sont lus de gauche à droite et deux au moins parmi les trois derniers sont distincts. On calcule la somme S des chiffres de 9N puis l'entier s = S/9.Que vaut s? Justifiez votre réponse.
Démontrer qu'il existe un nombre fini de triplets d'entiers strictement positifs (a,b,c) pour lesquels les trois nombres A = ab ‒ c, B = bc ‒ a et C = ca ‒ b sont des puissances de 2 et qu'à l'inverse il en existe un nombre infini pour lesquels A,B et C sont des carrés parfaits > 0.
Source: variante d'un problème proposé par la Serbie aux IMO.
Pierre Henri Palmade,Jean Moreau de Saint Martin,Gaston Parrour,Marie-Christine Piquet et Francesco Franzosi ont résolu tout ou partie du problème. Celui-ci comporte deux questions: - la première (A,B,C sont des puissances de 2) est la plus difficile.Il s'agit du deuxième problème posé aux Olympiades Internationales de mathématiques qui se sont tenues en 2015 à Chiang Mai (Thaïlande). La solution complète, trouvée par 5% seulement des candidats du monde entier, est accessible sur le site d'Art of Problem Solving. - la deuxième question (A,B,C sont des carrés parfaits) se traite plus aisément.
En faisant appel aux suites de Farey (1), donner les fractions dont le numérateur et le dénominateur sontdeux entiers inférieurs ou égaux à 2008 et qui donnent respectivement les meilleures approximations possibles des nombres , e et ?
(1)on trouvera une description de ces suites aux adresses suivantes:
Soit un entier n. La somme des diviseurs de n,y compris 1 et n est désignée par σ(n).
On recherche une suite S strictement croissante de k entiers a1 < a2 <...< ak < 2015 telle que la suite associée S’ des σ de ces entiers est strictement décroissante : σ(a1) > σ(a2 >...>σ(ak) .
Quelle est la plus grande valeur possible de k? Donner les termes de deux suites S et S' associées à cette valeur k.
Un carré parfait n2 est tel que le nombre obtenu en supprimant son dernier chiffre z est encore un carré parfait m2 > 0. Le triplet d'entiers positifs (n,m,z) est dit « carrément magique » si z divise l'entier n ‒ m. Q1 Lorsque z = n ‒ m,démontrer qu’il existe un triplet carrément magique unique.. Q2 Pour quelles valeurs de z existe-t-il au moins un triplet carrément magique? Démontrer que pour chacune de ces valeurs de z, il existe alors une infinité de triplets carrément magiques.
On choisit quatre nombres premiers p,q,r,s avec p < q < r < s puis on garde dans la série harmonique 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...les fractions < 1 dont le dénominateur est divisible exclusivement par un ou plusieurs de ces quatre nombres. La somme de la série des termes ainsi obtenus est égale exactement au nombre décimal 0,46875. Déterminer les quatre nombres p,q,r et s.
Q1 Démontrer qu'il existe au moins une suite de m entiers a1,a2,a3,...am > 0 strictement croissante et un entier p < m tels que, m étant compris entre 10 et 25, les p premiers termes, a1 à ap, forment une progression arithmétique de somme égale à 2016 et les m ‒ p + 1 termes, ap à am, prennent le relais avec une progression géométrique dont le dernier terme am est égal à 2016. Q2 Démontrer qu'il existe au moins une suite de n entiers b1,b2,b3,...bn > 0 strictement croissante et un entier q < n telle que, n étant compris entre 10 et 25, les q premiers termes, b1 à bq, forment une progression géométrique de somme égale à 2016 et les n ‒ q + 1 termes, bq à bn, forment une progression arithmétique dont le dernier terme bn est égal à 2016.
Q1 On considère une suite S de n entiers positifs distincts qui a la propriété suivante : à partir de deux éléments quelconques distincts de S, on sait toujours former une progression arithmétique avec un troisième élément choisi dans S. Déterminer la plus grande valeur possible de n et pour cette valeur de n, donner l'exemple d'une suite S dont le plus petit terme est égal à 2017.
Q2 Même question que Q1 avec une progression géométrique qui se substitue à la progression arithmétique.
Claude Felloneau,Jean Moreau de Saint Martin,Daniel Collignon et Gaston Parrour ont résolu le problème en démontrant qu'il y a au maximum cinq termes aussi bien dans une progression arithmétique que dans une progression géométrique qui satisfont les conditions de l'énoncé.
Démontrer que tout entier naturel N peut s’écrire par un choix convenable d'un nombre premier p et de signes + et - sous la forme: N = +/- 2 +/- 3 +/- 5 +/- 7 +/- 11 ....+/- p où 2,3,5,7,11,...p sont tous les nombres premiers de 2 à p.
Démontrer la propriété suivante: Tout nombre n dont le carré se compose(1) des carrés de deux nombres entiers consécutifs m et m+1 est égal à la somme des carrés de trois nombres entiers x,y et z dont deux au moins sont consécutifs. Application numérique : déterminer par ordre croissant les dix premiers entiers n supérieurs à 1 qui ont cette propriété ainsi que les entiers m, m+1, x, y, z correspondants. Source: Nouvelles annales de mathématiques (NAM) - Année 1882
Pour un entier k donné > 1, on s'intéresse à tout ensemble Ek de k entiers naturels distincts strictement positifs dont le produit est multiple de toutes les sommes de ces mêmes entiers pris deux à deux. Par exemple pour k = 2, l'ensemble E2 ={3,6} convient car 3*6 = 18 = 2*(3+6). Q₁ Démontrer que quel que soit k, il est toujours possible de constituer un tel ensemble. Q₂ Trouver un ensemble E12 de 12 termes dont le plus grand est strictement inférieur à 48. Q₃ Trouver un ensemble Ek qui a au moins 48 termes et dont la somme des termes est égale à 4802.
Trouver sans l'aide d'un quelconque automate le plus petit entier n > 0 tel que l'entier n² ‒ 79n + 1601 est égal au produit de quatre facteurs premiers pas nécessairement distincts.
Problème proposé par Raymond Bloch On s'intéresse aux suites de nombres premiers (NP) qui forment des progressions arithmétiques (PA) croissantes de raison r qui ont les caractéristiques suivantes: 1) pour chaque raison r, on recherche les suites de même longueur l(r) la plus grande possible, 2) parmi celles-ci, on retient la suite S(r) dont le premier terme est le plus petit possible. On construit ainsi neuf suites du type S(r) pour r prenant successivement les valeurs 30, 36, 48, 50, 60, 150, 210, 400 et 420. Classer ces suites selon l'ordre croissant du nombre de termes qu'elles contiennent.
On désigne par S(n) la somme des chiffres de l'entier n. Démontrer que pour tout entier m > 0 , on sait trouver un entier n tel que S(n2) = m*S(n). Par exemple pour m = 4, on obtient n = 13 tel que S(169)/S(13) = 16/4 = 4 Application numérique: m = 2017
Source: Les Reid - Missouri State University - Challenge problem- Academic Year 2013-2014 Problem n°12
1ère énigme Avec les quatre opérations élémentaires +, - , * ,/ et des parenthèses mises en tant que de besoin,à l'exclusion de tout autre symbole tel que exposant,racine carrée, factorielle,... trouver les formules, les plus économiques en nombre de caractères utilisés,qui font intervenir des nombres à un seul chiffre (les concaténations sont donc interdites) et donnent un résultat égal à 2017,respectivement à partir : 1) des neuf chiffres de 1 à 9 pris dans cet ordre.Par exemple pour obtenir 101, on pourrait écrire 101 = (1 + 2 + 3)* 4 - 5*(6 - 7) + 8*9 en utilisant 21 caractères. 2) du plus petit nombre possible de chiffres prélevés dans l'ordre parmi les chiffres de 1 à 9, chacun d'eux étant utilisé une fois et une seule.Par exemple,avec 101 = 2 + (3 + 8)*9, on a utilisé les seuls chiffres 2,3,8 et 9 avec 9 caractères au total. 3) des seuls chiffres qui figurent dans 2017, chacun d'eux étant utilisé au moins une fois et autant de fois que nécessaire, 4) d'un seul chiffre choisi dans l'ensemble des chiffres de 1 à 9 et utilisé autant de fois que nécessaire. On retiendra le chiffre qui donne la formule la plus économique.Par exemple, pour obtenir 101 on peut additionner 101 fois le seul chiffre 1 mais cette expression est évidemment très coûteuse avec ses 201 caractères et la formule 101 = 3*3*3*(3 + 3/3) - 3 - 3 - 3/3 écrite avec le chiffre 3 et 21 caractères est plus économique sans être optimale.
2ème énigme (proposée par Pierre Leteurtre) L'entier N s'écrit 641 en base b et 1201 en base b ‒ 6. Déterminer respectivement les trois écritures de N en base b ‒ 8, en base b + 12 et en base b + 13. Quel est l'intruse dans ces cinq écritures?
3ème énigme (proposée par Pierre Leteurtre) Exprimer le nombre premier 2017 sous la forme de la somme d'un nombre maximum: 1) de nombres premiers distincts p,q,r,s,t,u,....;2017 = p + q + r + s + ... 2) de produits de nombres premiers p,q,r,s,t,.. tous distincts, pris 2 à 2 : 2017 = pq + rs ou 2017 = pq + rs + tu ou 2017 = pq + rs + tu + vw, etc.... 3) de produits de nombres premiers p,q,r,s,t,..tous distincts, pris 3 à 3 :2017 = pqr + stu,etc..
4ème énigme (proposée par Raymond Bloch) Quels sont les entiers impairs obtenus en divisant par 267 un entier de six chiffres formé par la juxtaposition de deux entiers consécutifs, placés en ordre croissant de gauche à droite ?
5ème énigme (proposée par Raymond Bloch) Trouver un carré parfait dont la somme des chiffres est 2017.
On désigne par S(n) la somme des chiffres de l'entier n. Q1 Trouver l'entier n positif à 7 chiffres tel que le rapport n/S(n) est le plus petit possible. Q2 Même question avec un entier n à 2017 chiffres dans les trois cas suivants: a) le chiffres de n sont quelconques, b) les chiffres de n sont > 0, c) les chiffres de n sont choisis dans l'ensemble {2,0,1,7}.
Q1 Vérifier avec l'aide d'un automate qu'il existe cinquante entiers consécutifs tels qu'aucun d'eux n'est divisible par la somme de ses chiffres [*] Q2 Démontrer que pour tout entier positif n , il existe une suite de n entiers consécutifs positifs tels qu'aucun d'eux n'est divisible par la somme de ses chiffres. [*****] Nota: ce problème fait suite aux problèmes A1881 et A1883
Q1 Trouver le plus petit entier n positif tel que n2 ‒ 1 a 22 diviseurs. Q2 Trouver le plus petit entier n positif tel que n2 ‒ 1 a 10 diviseurs et n2 ‒ 4 en a 48. Q3 Trouver l'entier n, 0 < n ≤ 2017, tel que n2 ‒ 1 a le plus grand nombre possible de diviseurs.
Deux rationnels et mis sous forme de fractions irréductibles, sont dits "cousins" si Démontrer que si 0 ≤ α < β sont deux rationnels, il existe une suite croissante de rationnels commençant par α et finissant par β dans laquelle deux rationnels voisins sont toujours cousins. Par exemple avec α = 2/5 et β = 13/11 on a la chaîne de cousinages
Q1 Déterminer le plus grand commun diviseur des deux nombres : 2017! et 2015! − 1 Q2 Pour tout entier k tel que 1 < k < 2017, déterminer en fonction de k le reste de la division de (k − 1)!*(2017 − k)! par 2017. Nota: La factorielle de n qui s'écrit n!, désigne le produit des n premiers nombres entiers 1*2*3*...*(n − 1)*n
Démontrer qu'il existe une infinité de nombres premiers p tels que dans la période du développement décimal de 1/p le nombre total des chiffres ≤ 4 est égal au nombre total des chiffres > 4.
Tous les nombres ci-après sont des nombres entiers positifs qui ne commencent jamais par 0. Q1 : ab57 est un nombre de quatre chiffres divisible par 23. Quels entiers s'écrivent ab ? Q2 : abc205 est un nombre de six chiffres divisible par 139. Quels entiers s'écrivent abc ? Q3 : abcde37 est un nombre de sept chiffres divisible par 13. Quel est le plus petit entier qui s'écrit abcde37 ? Q4 : abc314 est un nombre de six chiffres divisible par 48. Quels entiers s'écrivent abc ? Q5 : abcd9e41f est un nombre de neuf chiffres divisible par 831168. Quels sont les chiffres a,b,c,d,e et f? Nota:comme les cinq questions se résolvent trivialement avec un automate,seul un traitement manuel mérite d'être pris en considération.
Recette n°1
On choisit un entier p quelconque >= 1015.
Démontrer qu'il existe toujours dans p une chaîne de chiffres
consécutifs dont la longueur maximale est de 16 et telle que le produit
des chiffres est un carré parfait.
Recette n°2
On choisit deux nombres premiers p et q qui ont les propriétés suivantes :
- q est le plus petit entier tel que parmi q diviseurs de p! on en trouve toujours un ou plusieurs dont le produit est égal à un cube parfait.
- q est cousin* de p, c'est à dire que =4
Quelles sont les valeurs de p et de q ?
* Si leur différence était égale à 2, ils seraient jumeaux.
Q1 Déterminer trois entiers positifs tels que la différence de deux termes quelconques divise chacun d'eux mais ne divise pas le troisième. Q2 Déterminer quatre entiers positifs tels que la différence de deux termes quelconques divise chacun d'eux mais ne divise pas les deux autres. Q3 Prouver que l'on sait trouver 2017 entiers positifs tels que la différence de deux termes quelconques divise chacun d'eux mais ne divise pas les 2015 autres.
Q1 Soit un nombre entier p strictement positif.On considère la suite de nombres réels dont les deux premiers termes sont u1 = π (nombre pi) et u2 = 2017 et pour n > 2 le terme général un est défini par la relation un = p(un-1 + p)/un-2. Exprimer le terme u2017 en fonction de p. Q2 On considère une deuxième suite de nombres réels dont les deux premiers termes sont v1 = 2017 et v2 = q (nombre irrationnel) et pour n > 2 le terme général vn est défini par la relation: vn = (vn-1 − 1).(vn-2 − 1) /(vn-2 − vn-1− 1). Exprimer le terme v2017 en fonction de q.
Q1 Quand on divise cet entier m respectivement par les entiers 289,1010 et 1292, la somme des trois restes ainsi obtenus est égale à ce même entier. Que vaut m? Q2 Quand on divise cet entier n respectivement par les entiers 288,500,1010 et 1028, la somme des quatre restes ainsi obtenus est égale à ce même entier. Que vaut n ?
1ère énigme [*] Avec les quatre opérations élémentaires +, - , * ,/ et des parenthèses mises en tant que de besoin,à l'exclusion de tout autre symbole tel que exposant,racine carrée, factorielle,... trouver les formulesqui font intervenir des nombres à un seul chiffre (les concaténations sont donc interdites) et donnent un résultat égal à 2018,respectivement à partir : 1) des neuf chiffres de 1 à 9 pris dans cet ordre.Par exemple pour obtenir 101, on pourrait écrire 101 = (1 + 2 + 3)* 4 - 5*(6 - 7) + 8*9 2) du plus petit nombre possible de chiffres prélevés dans l'ordre parmi les chiffres de 1 à 9, chacun d'eux étant utilisé une fois et une seule.Par exemple,avec 101 = 2 + (3 + 8)*9,les seuls chiffres 2,3,8 et 9 ont été utilisés. 2ème énigme [**] Nous sommes deux nombres entiers pairs semi-premiers à quatre chiffres. Nos miroirs lus de droite à gauche,plus grands que nous,sont aussi des nombres pairs semi-premiers. L'écart entre chacun de nous deux et son miroir est le carré d'un entier 3-presque premier. Quel est le plus petit de nous deux? 3ème énigme [* et ***] 1) Exprimer 2018 comme somme d'un nombre minimal d'entiers palindromes en base 10. 2) Déterminer le nombre minimal d’entiers palindromes en base 10 dont la somme est égale à 20186 = 67534699441268828224. 4ème énigme [***] La suite 1,3,4,9,10,12 contient les entiers positifs qui sont des puissances de 3 telles que [1,3,9,27,81,..] ainsi que les sommes de puissances distinctes de 3 telles que [4 = 1+ 3, 10 = 1+9, 12 = 3+9,..]. Calculer le 2018ième terme de la suite.
Problème proposé par Raymond Bloch Trouver une suite de 60 entiers distincts compris entre 1 et 2018 dont la somme est égale à leur plus petit commun multiple
On s'intéresse au coefficient central de la formule du binôme de Newton: pour k entier > 0, C(2k,k) = 2k!/k!2 avec factorielle de x = x! = 1*2*3*...*(x − 1)*x Q1 Démontrer qu'il existe un entier k1 tel que C(2k1,k1) se termine par 2018 zéros. Q2 Démontrer qu'il existe un entier k2 > k1 tel que C(2k2,k2) se termine par un seul zéro. Q3 Démontrer qu'il existe un entier k3 > k2 tel que C(2k3,k3) se termine par un chiffre distinct de 0.
Application numérique: déterminer le plus petit entier k₁ tel que C(2k1,k1) se termine par 3 zéros, puis le plus petit entier k2 > k1 tel que C(2k2,k2) se termine par un seul zéro et enfin le plus petit entier k3 > k2 tel que C(2k3,k3) se termine par un chiffre différent de 0.
Q1 Démontrer que tout entier n peut être tricoté avec deux progressions arithmétiques de trois entiers appelées "mailles" {a1,a2,a3} et {b1,b2,b3} telles que n = a1b1 + a2b2 + a3b3. Q2 Démontrer qu'il existe un nombre fini d'entiers k > 3 tels que tout entier n peut être tricoté avec deux mailles de k entiers chacune telles que n =a1b1 + a2b2+ .....+ akbk. Application numérique: donner des exemples de tricotage des entiers 2017 et 2018 pour k = 3 et pour les valeurs de k déterminées dans Q2.
Déterminer le plus petit entier n > 1 tel que le phi du sigma de son tau est égal à la fois au sigma du tau de son phi et au tau du phi de son sigma. Pour les plus courageux : déterminer deux autres entiers p et q qui ont la même propriété. Nota La fiche nutritionnelle du phisteau fait apparaître trois composantes φ,σ,τ: - φ(n) = phi(n) = nombre d’entiers compris entre 1 et n inclus et premiers avec n (indicatrice d’Euler de l’entier n), - σ(n) = sigma(n) = somme des diviseurs de n, y compris 1 et n lui-même, - τ(n) = tau(n) = nombre de diviseurs de n.
Jean Moreau de Saint Martin,Marc Humery,Pierre Henri Palmade,Francesco Franzosi,Paul Voyer,Thérèse Eveilleau,Marc Foubert,Bernard Vignes,Patrick Gordon,Jean-Louis Legrand,Pierre Leteurtre,Jacques Guitonneau,Antoine Verroken ont résolu le problème et obtenu le premier entier n = 34 qui répond à la première question. Les plus courageux ont obtenu d'autres entiers qui ont la même propriété : 36,96, 128 et 468 tous inférieurs à 500. Ces résultats pourraient laisser croire que les entiers qui satisfont les conditions de l’énoncé sont de plus en plus rares quand n croit. En effet comme τ(n) est significativement plus petit que σ(n) et φ(n), on a le sentiment (à tort) que pour n grand , φ(σ(τ(n))) est toujours inférieur aux deux autres fonctions σ(τ(φ(n))) et τ(φ(σi(n))).On serait alors tenté de dire que les solutions sont en nombre fini. Il n’en est rien si l'on regarde les résultats obtenus par David Draï qui a recensé 28 entiers < 1000000 qui satisfont les deux égalités φ(σ(τ(n))) =σ(τ(φ(n))) = τ(φ(σi(n))) . On constate que dans la factorisation de ces 28 entiers la grande majorité d’entre eux ont des facteurs premiers tous < 100 et l’on retrouve toute la panoplie des facteurs premiers < 100. Peut-on donc raisonnablement conjecturer que le nombre de solutions à ce problème est infini ?
Q₁ Trouver un entier n1 qui est le multiple de trois nombres premiers distincts p, q et r dont les développements décimaux des inverses 1/p, 1/q et 1/r admettent tous trois la même période égale à 13. Q₂ Trouver le plus petit entier n2 multiple de huit nombres premiers distincts dont les développements décimaux des inverses admettent respectivement les périodes égales à 1,2,3,4,5,6,7,8. Déterminer la période du développement décimal de 1/n2 Q₃ Trouver le plus petit entier n3, le nombre premier p et le nombre q produit de deux nombres premiers distincts tels que les développements décimaux périodiques de n3/p et n3/q après la virgule sont respectivement égaux à 064516129032258 et 329597890573500
Zig dispose d’une calculette de marque déposée @Méphisto dont le clavier comporte trois touches qui permettent d’obtenir à partir d’un entier quelconque n strictement positif affiché à l’écran : 1) φ(n), fonction d’Euler, le nombre d’entiers qui sont strictement inférieurs à l’entier n et sont premiers avec lui. 2) σ(n) la somme des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même. 3) τ(n) le nombre des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même. Q1 Démontrer que les deux nombres entiers n et n + 2 sont des nombres premiers jumeaux si et seulement si la somme de leurs σ est égale au double du plus grand d’entre eux et la somme de leurs φ est égale au double du plus petit. Q2 Démontrer qu’un entier n est un nombre premier si et seulement si φ(n) divise n – 1 et n + 1 divise σ(n). Q3 Trouver au moins cinq entiers n positifs < 2021 tels que φ(σ(n)) = n Nota : les trois questions sont indépendantes
Trouver les entiers à n chiffres (n > 2) de la forme avec les chiffres a,b,c,d,…et g non nuls mais pas nécessairement différents entre eux tels qu’en intercalant le même nombre k de zéros entre a et b, b et c,…,f et g, on obtient a) un carré parfait, b) un cube parfait .
Vous choisissez un entier naturel au hasard. La probabilité pour qu'il soit divisible par 2006 est évidemment très faible.
Trois
exemples simples vont nous montrer qu'il est possible de trouver des
nombres entiers divisibles par 2006 à partir de nombres choisis au
hasard.
Exemple n°1
Vous choisissez au hasard 2006 chiffres (i = 1 à 2006) non nuls et vous fabriquez ainsi un entier N à 2006 chiffres sous la forme avec 1 9.
Si
N est divisible par 2006, vous êtes comblé par la chance. Démontrez que
si N n'est pas divisible par 2006 , vous pouvez remplacer certains des
chiffres par des zéros et obtenir un nouveau nombre non nul divisible par 2006.
Exemple n°2
Vous choisissez au hasard deux nombres entiers a et b l'un et l'autre
> 2006. Vous fabriquez un entier N à a+b chiffres en alignant a fois
le chiffre 1 puis b fois le chiffre 0. N est alors sous la forme
111?1100?.00. Démontrez que par suppression d'un certain nombre de
chiffres 1 et d'un certain nombre de chiffres 0, vous pouvez toujours
obtenir un nouvel entier N' < N divisible par 2006.
Exemple n°3
Vous choisissez au hasard 11 entiers naturels positifs (i = 1 à 11). Démontrez qu'il existe 11 entiers qui prennent chacun l'une des trois valeurs ? 2 ou 0 ou 2 tels que la somme des pondérés par les soit divisible par 2006. En d'autres termes , définis sur [-2,0,2] tels que .
Si on souhaite varier les plaisirs avec les grilles de Sudoku, rien de plus simple que de garder son crayon et sa gomme, de tracer une grille vierge à 9x9 cases et de se lancer dans la résolution des exercices suivants (les tout premiers sont les plus faciles).
On suppose que les 81 cases sont toutes des carrés de dimension unité. Deux cases sont dites adjacentes si elles ont un côté commun.
Les quinze digressions se terminent par la résolution de six grilles de Sudoku..
Digression n°1
On remplit 40 cases de la grille avec des croix et les 41 cases restantes avec des étoiles. On prend deux cases quelconques. Si les deux symboles qu'elles contiennent sont les mêmes, on les remplace par un seule croix inscrite dans l'une quelconque des deux cases. S'ils sont différents, on les remplace par une seule étoile .On élimine ainsi 80 symboles. Quel est le dernier symbole figurant dans la grille ?
Généralisation avec une grille remplie initialement avec 2k croix et 81-2k étoiles (k entier quelconque inférieur ou égal à 40).
Digression n°2
Toutes les cases de la grille sont remplies avec les entiers pris de 1 à 81 dans le désordre .Le plus grand entier de chaque ligne est marqué en bleu et le plus grand entier de chaque colonne est marqué en rouge. Les neuf nombres marqués en bleu sont sur la diagonale principale. Où se trouvent les neuf nombres marqués en rouge sachant qu'ils se trouvent sur des lignes différentes ?
Digression n°3
On inscrit une croix au centre de chacune des 81 cases de la grille. Cinq croix sont choisies au hasard. Montrer qu'il existe au moins un segment qui joint deux d'entre elles et qui contient au moins une troisième croix.
Digression n°4
On remplit la grille en inscrivant les nombres entiers i + j - 1 à l'intersection de la ligne n°i et de la colonne n°j. Quel est le plus petit produit de neuf nombres de la grille sachant qu'il n'y a jamais deux de ces nombres sur la même ligne ou sur la même colonne ?
Digression n°5
On remplit les 81 cases de la grille avec l'une quelconque des valeurs ?1, 0 et 1.Les 18 sommes calculées sur les 9 lignes et sur les 9 colonnes peuvent elles être toutes différentes entre elles ?
Digression n°6
On inscrit les entiers 1 à 81 dans toutes les cases de la grille. Montrer qu'il existe deux cases adjacentes dont l'écart entre les deux nombres qu'elles contiennent est au moins égal à 9?
Digression n°7
On inscrit les entiers 1 à 81 dans toutes les cases de la grille. On calcule toutes les sommes des nombres de deux cases adjacentes. Leur valeur maximale est M. Comment arranger les 81 nombres pour que M soit la plus petite possible ?
Digression n°8
On inscrit huit croix dans huit cases de la grille. On convient ensuite qu'une case blanche peut recevoir une croix si elle est adjacente à au moins deux cases déjà marquées d'une croix. Peut-on remplir de croix la totalité de la grille après un choix convenable des huit premières croix?
Digression n°9
Une croix est inscrite dans la case centrale de la grille et toutes les autres cases sont blanches. Chacun à son tour, deux joueurs A et B mettent une croix dans une case blanche adjacente à celle qui a été marquée d'une croix au tour précédent. Lorsqu'un joueur ne peut plus jouer, il perd la partie. A joue le premier. Qui gagne la partie ?
Digression n°10
On souhaite réaliser le quadrillage de la grille en traçant exclusivement des carrés de dimension n x n (n compris entre 1 et 9) sachant qu'on peut faire un panachage avec des carrés de dimensions différentes. Quel est le nombre minimal de carrés qu'il faut tracer?
Nota :on ne tient pas compte du fait que certains traits de la grille réelle sont renforcés pour délimiter les 9 carrés 3x3.
Digression n°11
On trace des droites dans le plan de la grille jusqu'à ce que chacune des 81 cases ait des points intérieurs sur au moins une de ces droites. Combien y a-t-il de droites au minimum ?
Digression n°12
Quel est le nombre maximum de croix que l'on peut inscrire au centre de chacune des cases de la grille de telle sorte que les distances qui séparent deux croix quelconques sont toutes distinctes entre elles ?
Donner une configuration correspondant à ce nombre maximum de croix.
Digression n°13
On relie entre elles les 81 cases de la grille par des passerelles selon le schéma ci-après :
Chacun à son tour, deux joueurs A et B suppriment une ou deux passerelles à la condition que toutes les cases restent connectées entre elles. Le perdant est celui qui n'a plus de liberté de man?uvre et se trouve obligé d'interrompre la connexion des cases. A joue le premier. Qui gagne la partie ?
Digression n°14
Six croix désignées par et sont inscrites au centre de six cases de la grille. La distance qui sépare est égale à i + j pour i et j variant de 1 à 3. Comment sont placées les six croix ?
Digression n°15
Soient 18 nombres entiers relatifs tous distincts entre eux . On remplit la grille en inscrivant le nombre à l'intersection de la ligne n°i et de la colonne n°j. Il apparaît que les produits des nombres d'une même ligne sont tous égaux à une même constante C. Quelles sont les valeurs des produits des nombres apparaissant sur une même colonne ?
Sources : olympiades nationales et internationales de mathématiques (n°4,5,6,7,9,10), Olymon(n°11), Tournoi des Villes (n°13), JM Ferrard (n°3,14), Mathematical miniatures de Svetoslav Savchev et Titu Andreescu (n°15).
Nota : pour les plus courageux, la majorité des exercices peuvent être traités avec une grille (n,n) n entier quelconque, le cas n = 9 étant un cas particulier.
Par ailleurs,en ce qui concerne les digressions n°9 et 10 on peut se reporter respectivement au problème n°1 du dossier d'Animath ofm2004-2005d1 et au problème n°3 du dossier d'Animath ofm2003-2004d3
Pour les grilles de Sudoku n°32 à 37, les solutions sont données dans les rubriques C241 et C242
On considère la fraction F =101010101 / 110010011 dans laquelle le numérateur et le dénominateur sont deux nombres entiers exprimés en base 2. On calcule ces deux termesdans une base quelconque b>2. Soit r(b) la valeur de F ainsi obtenue dans cette base.
Démontrer que pour une base donnée b, si on remplace le 1
central du numérateur et du dénominateur par le même nombre impair de 1, la
valeur de r(b) ne change pas.
Exemple : ainsisi la base b
est égale à 10, on a r(10) = 101010101 / 110010011 = 341 / 403 = 11 / 13,puis avec 3 chiffres 1 au centre: 10101110101 / 11001110011 = 1397 / 1651 = 11 / 13 et avec 5 chiffres 1 au centre: 1010111110101 / 1100111110011 = 5621 / 6643 = 11 / 13.
Déterminer tous les nombres entiers N à 2 chiffres de la
forme N = 10a + b avec a et distincts tel que pour tout entier relatif x non nul, la différence xa - xbest divisible par N.
Trouver le plus petit entier k tel que tout sous-ensemble de
k termes choisis parmi les entiers naturels de 1 à 50 contienne deux nombres
distincts a et b tels que a + b divise ab.
En utilisant les symboles traditionnels de
l'addition (+), de la soustraction ( -), de la multiplication (*), de
la division ( / ) ainsi que ceux de la factorielle ( ! ) et de la
racine carrée ( ), trouver les formules qui permettent de calculer les nombres :
71 à partir des
chiffres 1 et 7,
19 à partir des
chiffres 1,2 et 3
181 à partir
des chiffres 2,5 et 7
Quelques précisions:
1) Les concaténations de chiffres sont interdites (par
exemple dans le premier cas la concaténation de 1 et 7 qui donnerait la
solution triviale 71).
2) Un nombre (ou une expression) peut figurer en tant
qu'exposant d'une puissance.
On écrit le millésime a = 2007 sur une première ligne. Puis on écrit les deux nombres a+1= 2008 et a2 = 4 028 049 sur une deuxième ligne. On poursuit de la même façon ligne
après ligne, en écrivant pour chacun des termes de la k ème ligne pi (i variant de 1 à 2k ), les nombres pi + 1 et pi^2 sur la (k+1)-ième ligne. Avec n lignes, on dispose ainsi d'un arborescence contenant 2n branches qui partent du sommet commun a.
Est-il
possible de rencontrer deux fois le même nombre sur une même ligne?
Si
oui, quels sont ce nombre et le numéro de la ligne? Sinon, pourquoi ?
Généralisation : on remplace a par un entier quelconque >1.
Lors
des dernières fêtes de Pâques, Diophante a aligné sur une même file
dans la grande allée du jardin 37 oeufs de Pâques tous de tailles
différentes.
Chacun de ses
petits-enfants, de l'aîné au plus jeune, a ramassé à tour de rôle le
plus grand nombre possible d'oeufs sous la condition qu'ils soient
retirés à partir du début de la file à gauche dans un ordre de taille
croissante ou décroissante. Par exemple dans l'exemple illustré
ci-dessus, on peut prendre au maximum 5 oeufs. Ils sont numérotés 2, 3,
4, 6, 9 et leur taille va en croissant.
Voulant
s'assurer que tous les enfants aient au moins un oeuf, Diophante avait
préalablement agencé les oeufs de telle sorte qu'à chaque tour le plus
petit nombre possible d'oeufs soit ramassé.
Quel est le nombre des petits-enfants de Diophante ?
Les longueurs des côtés d'un
quadrilatère ABCD sont des valeurs entières a, b, c et d toutes distinctes
entre elles. Soit N = a2 + b2 + c2 + d2. Démontrer que 8N peut toujours s'exprimer sous la forme de
la somme de 7 ou de 8 carrés d'entiers tous distincts deux à deux.
Montrer que si la différence des cubes de deux entiers consécutifs est le carré d'un entier N, alors N est la somme des carrés de deux entiers consécutifs.
Selon la conjecture d'Erdös-Straus, pour tout
entier positif n >1, il existe une solution en x, y et z entiers
positifs de l'équation .
Dans le paragraphe 4.5 Les fractions égyptiennes de la rubrique des problèmes non résolus, il est mentionné qu'on connaît des solutions chaque fois que n est différent de 24k+1 avec k entier positif.
Certaines informations font état que des solutions sont connues pour tout n différent de 1260k+1. Sauriez vous le démontrer ?
Fabien Gigante a donné une liste plus étendue mais encore partielle en accord avec le théorème de Schinzel. Il a par ailleurs repéré que la mention de 1260k + 1 résulte d'une confusion avec une conjecture de Sierpinski selon laquelle 5/n peut s'écrire sous la forme 5/n = 1/x + 1/y + 1/z. Il en donne la démonstration.
1 ère question : il n'y a pas de solution. En
effet, puisque n<=2007, nous avons nécessairement
S(n)<=S(1999)=28 et donc n>=1979.
On vérifie que 1979 ne répond pas au problème.
Pour 1980<=n<=1989, nous aurions 1980+x+18+x=2007, ce qui est impossible
Pour 1990<=n<=1999, nous aurions 1990+x+19+x=2007, ce qui est impossible
Enfin pour n>=2000, nous aurions 2000+x+2+x=2007, ce qui est egalement impossible
2ème question. Dans S(n)+S(2)(n)+S(3)(n)=2007, dénommons S(n) par m.
Nous avons alors, m+S(m)+S(2)(m)=2007.
Nous en déduisons que m<=2007 ==> S(m)<=28 ==> S(2)(m)<=10 ==> m >= 1969
On vérifie que m=1969 ne répond pas au problème et que le plus petit m satisfaisant la relation est m=1977 (1977+24+6=2007).
Des lors, le plus petit n vaut 69.....9 (9 repris 219 fois)=7*10^219-1
3 ème question. De la même manière, nous obtenons
que le plus petit m vérifiant la relation est 216 (216+199*9=2007). Des
lors, le plus petit n vaut 9...9 (9 repris 24 fois)=10^24-1
2ème jonglerie
Puisque n<m=S(n)^2 <= (k(n)*9)^2=81*k(n)^2
avec k(n)=nombre de chiffres de n=plus petit entier plus grand que
log10(n), nous en déduisons que n/k(n)^2 < 81 et donc que n<1000.
Puisqu'alors k(n)<=3, nous pouvons légèrement raffiner en affirmant
que n est un carré inferieur à 729. Un examen des différents carrés
fournit n=169 et m=256
Solution de Michel Boulant
1ère jonglerie
1 ère question : Pas de solution pour S(n)+n=2007
2 ème question : J'ai trouvé pour le plus petit entier de S(n)+S2(n)+S3(n)=2007 le nombre
69999...(219 neuf) qui donne 1977+24+6
3 ème question : Pour la même question avec 200 termes: 999..(24 neuf) qui donne:216+9+9+9.....
2ème jonglerie
Un seul couple trouvé S(13²)=16 et S(16²)=13. Il n'y en a pas d'autres. Pour les
nombres de 5 chiffres et plus, S(n) vaut 9*5=45 au maximum et 45² donne un
Prenez une grande feuille de papier et écrivez tous les entiers de 1 à 2007 dans l'ordre suivant : d'abord le nombre 1, puis tous les nombres premiers dans l'ordre croissant, puis tous les doubles des nombres premiers pris toujours dans l'ordre croissant,puis les triples des nombres premiers pristoujours dans l'ordre croissant à l'exception de ceux qui ont été écrits précédemment (6 par exemple),puis les quadruples des nombres premiers....et ainsi de suite.
Quels sont les cinq derniers nombres que vous allez écrire ?
Dans
la séquence de dix chiffres tous différents 1238965740 intercaler de deux manières différentes trois signes de multiplication
de manière à obtenir quatre nombres a,b,c,det e,f,g,h tels que leurs produits respectifs soient égaux à un même
nombre strictement positif, c'est à dire a*b*c*d = e*f*g*h = P > 0.
Trouvez le plus petit entier naturel divisible par 2007 et qui commence par 2008 et finit par 2006.
Généralisation :
on recherche le plus petit entier naturel N qui est divisible par un
entier n, commence par l'entier a et finit par l'entier b (n, a et b
donnés à l'avance). Discuter de l'existence de N. S'il existe, quelle
est la démarche pour le déterminer?
Problème n°2 : Bien plus grand qu'un gogol !
Vous
calculez avec le plus puissant des ordinateurs la factorielle de 2008
qui est le produit des 2008 premiers entiers naturels. Ce nombre est
évidemment colossal. D'après la formule de Stirling, il est équivalent
à 105762, nombre bien plus grand qu'un gogol ( 10100).
Vous le divisez par le nombre transcendant e = 2,718281828... et vous
retenez l'entier N le plus proche du quotient. Prouvez que N est
divisible par 2007.
Généralisation : démontrez que pour tout n > 1, l'entier le plus proche du quotient de n ! par e est divisible par n- 1.
Problème n°3: Les entiers 19 et 2007 font bon ménage.
Ce problème est proposé par Pierre Henri Palmade
Soit a la plus grande racine de l'équation x3 - 3x2 + 1 = 0.Montrez que la partie entière de a2007 est divisible par 19.
Soit l'équation (E) : dans laquelle chacune des lettres a, b, c, d, e, f, g, h et i représente un chiffre différent choisi parmi les neuf chiffres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9 et p est un entier positif. Trouver les valeurs possibles du couple (p,i) et pour chacune d'elles donner une solution de l'équation (E) en a, b, c, d, e, f, g, h.
Prenez un entier quelconque : 11 par exemple et multipliez entre eux les dix entiers consécutifs 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. Vous obtenez 670 442 572 800. Le nombre se termine logiquement par deux zéros qui proviennent de l'entier 20 et de la multiplication de 12 par 15. Eliminez ces deux zéros. Le dernier chiffre est un « 8 » qui est un chiffre pair.
Recommencez la multiplication de dix entiers consécutifs avec un nombre de départ un peu plus grand. Le dernier chiffre qui précède les zéros finaux est toujours pair.
Quel est le plus petit entier, s'il existe, qui vous permet de « commettre votre premier impair » ? Source : Harold Reiter
Une suite de 10 entiers consécutifs est divisible au moins par 28. Il faudra alors la multiplication de 8 puissances de 5 pour transformer ces nombres pairs en zéros. En choisissant 57=78125 et la suite 78117 à 78126, on a bien 8 puissances de 2 et 8 puissances de 5 (la huitième étant contenue dans 78120) . Le premier chiffre avant les 8 zéros du produit forcément impair est égal à 9 qui est le dernier chiffre du produit 7*9*1*3 = 219.
La séquence des sept entiers consécutifs 9, 10, 11, 12, 13, 14 et 15 a la curieuse propriété que les sommes des chiffres de leurs carrés respectifs 81, 100, 121, 144, 169, 196 et 225 sont elles-mêmes des carrés parfaits : 9, 1, 4, 9, 16, 16 et 9.
Existe-t-il d'autres séquences de 7 nombres entiers consécutifs positifs dont la somme des chiffres de chacun de leurs carrésest elle-même un carré parfait ?
Question n°1:
Trouver tous les entiers à 2 chiffres ou plus inférieurs à 108 qui sont de la forme N = tel que N est la somme
des puissances croissantes de ses chiffres : N = a + b2 + c3 + d4 + ...
Question n°2:
Trouver tous les entiers à 2 chiffres ou plus de la forme N = tel que N = aa + bb + cc + dd + ...
Ce nombre entier A a 2008 chiffres. Vous le passez à
la moulinette avec la recette suivante : vous mettez le dernier chiffre
en première position et vous obtenez un nombre B que vous élevez au
carré pour obtenir un nombre C. Vous mettez le premier chiffre de C en
dernière position et vous obtenez un nombre D qui, ô miracle, est le
carré de A. Quelles sont les valeurs possibles de A ?
Source : liste des problèmes présélectionnés aux Olympiades internationales de mathématiques 2003.
On considère les deux nombres à 2008 chiffres chacun A =
9 810 810 ......810 (avec le chiffre 9 qui précède 669 fois 810)et B = 9 568 568 .......568 avec le
chiffre 9 qui précède 669 fois 568).
Quel est le plus grand des deux termes A/B ou 81/79 ?
On considère la séquence des nombres entiers constituée exclusivement de nombres premiers qui vérifient l'une ou l'autre de ces deux relations pn = 2pn-1 + 1 ou pn = 2pn-1 - 1 avec p1 nombre premier et n entier quelconque > 1. Par exemple :p1 = 2, p2 = 3, p3 = 7 et p4 = 13.
2ème séquence:
On considère la séquence strictement croissante constituée par les carrés parfaits d'entiers naturels tels que la différence de deux termes consécutifs
est un nombre premier ou le carré d'un nombre premier.Par exemple : c1 = 64, c2 = 81 et c3 = 100.
3ème séquence :
On considère la séquence strictement croissante des nombres entiers triangulaires qui forment une progression géométrique.Par exemple : t1 = 1, t2 = 6 et t3 = 36.
Nota : on rappelle que le n-ième nombre triangulaire est égal à la somme des n premiers entiers naturels.
Démontrez
que chacune de ces trois séquences n'a jamais un nombre infini de
termes. Indiquez les séquences les plus longues que vous avez trouvées.
Pour les plus courageux, généralisation dans la 1 ère séquence avec les deux relations de la forme pn = 2pn-1 + 2k+1 ou pn = 2pn-1 - (2k+1). Discutez en fonction de k entier > 0.
Q1 : Démontrer qu’il existe un seul chiffre impair x distinct de 5 tel que l’entier N = 38xxx....xxx obtenu par concaténation de A = 38 et d’un nombre quelconque de chiffres x est toujours composé. Q2 : Prouver (sans l’usage d’un quelconque automate) que les quatre nombres suivants sont composés: - N = 34 867 844 010 000 008 101 (nombre à 20 chiffres) - N = 20112012 + 20112011 + 1 - N = 162011 + 222011 + 562011 + 772011 - N = 414 + 615 + 330 Q3 : Les termes de la suite an sont des nombres entiers strictement positifs et pour tout n>=1,an+1 = an2 + 5an + 1. Est-il possible qu’avec un nombre a0 convenablement choisi, chaque terme de la suite soit un nombre composé ?
Autre solution
Soit un entier naturel n qui a la propriété [P] de diviser N = a37 - a pour tout entier a positif. Il ne peut pas être un carré parfait ou le multiple d'un carré parfait. Si c'était le cas, il serait divisé par le carré d'un nombre premier p (=2,3,5 ..). Dès lors p2 diviserait p37 - p ou encore p diviserait p36 - 1 ce qui est impossible. L'entier n est donc le produit de nombres premiers distincts.
Considérons 237 - 2 = 2.33.5.7.13.19.37.73.109. On vérifie que 337 = - 29 modulo 109 et 537 = - 5 modulo 73.Il en résulte que n ne peut pas être un multiple de 73 et de 109.
A l'inverse, les nombres premiers p = 2,3,5,7,13,19 et 37 ont bien la propriété [P] car pour chaque valeur de p il existe un entier k tel que k(p-1) + 1 = 37.
En effet pour p = 2, k =36 ; p = 3, k = 18 ; p = 5, k = 9, p = 7 ; k = 6, p = 13, k = 3 ; p = 19 , k =2 et p = 37 , k = 1.
On a alors ak(p-1)+1 - a = a(ak(p-1) - 1). Comme ap-1 = 1 modulo p d'après le petit théorème de Fermat, il en résulte que ak(p-1) = 1 modulo p.
n est alors un diviseur quelconque > 1 de l'entier A égal au produit des sept nombres 2,3,5,7,13,19 et 37
soit A = 2.3.5.7.13.19.37. = 1919190
On trouve ainsi aisément le plus grand palindrome 50505 = 3*5*7*13*37 qui divise N.
Par ailleurs il y a 27- 1 = 127 diviseurs de a37 - a quel que soit l'entier a positif.
Cette « oeuvre d'art » contemporaine
monumentale qui a la forme d'un parallélépipède rectangle est constituée
de 362 558 592 cubes multicolores de 1cm de côté
chacun. Les dimensions du parallélépipède
sont telles que chacune des grandes diagonales traverse intérieurement 2008
cubes. Quelles sont les dimensions de l'oeuvre d'art ?
Nota : il existe un modèle réduit de cette oeuvre à l'échelle
de 1/10 avec des cubes de 4 mm de côté.
Dans une base b, je considère un entier m
à deux chiffres entre lesquels j'intercale un chiffre x pour obtenir un
entier n à trois chiffres tel que m*n = 2008. Les entiers m et n
s'écrivent avec les chiffres 0 à 9 qui ont leur valeur habituelle.
Trouver b,m et n.
Traditionnellement quand un article devient périmé, le
commerçant le brade. Nous faisons de même avec le millésime 2008 qui n'aura
plus cours dans un mois et qui figure dans les énoncés de plusieurs exercices
en stock dans les tablettes de Diophante. Faîtes votre choix :
1-L'entier N = 1000......01 qui a 2008 chiffres dont deux
« 1 » encadrant 2006 chiffres « 0 » est-il premier ou
composé ?
2-Existe-t-il un entier N divisible par 52008 qui a2008
chiffres a) tous impairs ? b) sans un seul zéro ?
3-Existe-t-il au moins un nombre entier divisible par
2008 et dont la somme des chiffres est égale à 2008 ?
4-Existe-t-il une séquence de 2008 entiers consécutifs
qui contient exactement 28 nombres premiers ?
5-Parmi les entiers naturels 1,2,3,...,2008, constituer un sous-ensemble aussi grand que possible, sans que deux quelconques de ses éléments aient 6 ou 11 pour différence ?
6-Existe-t-il 2008 nombres entiers strictement positifs
tels que deux d'entre euxont au moins
un facteur commun > 1 et tout sous-ensemble de k entiers (k>2)a 1 comme seul facteur commun?
Nota :
-Les exercices ne sont pas nécessairement classés selon
le niveau de difficulté.
-Les lecteurs avertis feront valoir à juste titre que
ces « soldes » peuvent très bien être remis au goût du jour en 2009 ou à défaut en 2010 et au delà. Ils sont libres d'établir toutes les
généralisations qu'ils jugent intéressantes.
Cet entier N à 2009 chiffres comporte 200 fois au moins
chacun des dix chiffres de 0 à 9. Démontrer que N a un multiple inférieur à sa
puissance quatrième qui comporte dans sa représentation décimale au plus quatre
chiffres distincts.
Source: liste des problèmes présélectionnés pour les Olympiades internationales de mathématiques 2005
Dans mon jardin, n (compris entre 25 et 50) pots de géranium sont régulièrement espacés le long d’une allée circulaire.En ces temps de sécheresse, je décide de les arroser en parcourant l’allée autant de fois que nécessaire selon la régle suivante : - j’arrose un premier pot puis je passe un pot, - j’arrose un deuxième pot puis je passe deux pots, ........ - j’arrose un kième pot puis je passe exactement k pots, etc.... Je parviens à arroser tous les géraniums et je m’arrête quand ils ont été arrosés au moins une fois. Combien y a-t-il de pots? Combien de pots ont été arrosés deux fois ou plus ?
Comment s’appellent les entiers naturels qui sont absents de
la séquence définie par la relation un= où[] désigne la
partie entière par défaut et n prend les valeurs entières 1, 2, ….,n,… ?
Ceux qui sont absents de la séquence déterminée par la
relation vn= ? Ceux qui sont absents des séquences déterminées par les
relations wn,k= définies respectivement pour k = 2,3,4?
Vous écrivez les entiers 1 et 2 sur une première rangée n°1 puis
leur somme 3 sur une deuxième rangée n°2. Vous continuez avec les entiers 4 et
5 sur la rangée n°1 puis leur somme 9 sur la rangée n°2.A chaque étape, vous mettez sur la rangée n°1
les deux premiers entiers naturels qui n'ont pas encore été inscrits sur l'une
ou l'autre des deux rangées et vous écrivez leur somme sur la rangée n°2. Vous
obtenez ainsi :
Rangée n°1 : 1,
2, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12,...
Rangée n°2 : 3,
9, 13, 18, 23,....
Sur quelle rangée apparaît le nombre 2008 ? Quel est le
2008ième terme de la rangée n°1 ? Quelle est le 2008ième
terme de la rangée n°2?
Je dispose de deux magnifiques collections de soldats de plomb de 2008 figurines chacune. Dans chaque collection, les figurines sont numérotées de 1 à 2008.
L'artisan qui les a fabriquées est féru d'arithmétique : dans la première collection qui représente tous les personnages de la Grande Armée de Napoléon, le poids
pi en grammes de la figurine n° i est égal au nombre de diviseurs d(i) de son numéro d'ordre (y compris 1 et le numéro lui-même), tandis que dans la seconde qui représente la Grande Armée de Darius II, le poids qj en grammes de la figurine n° j est égal à la partie entière par défaut du quotient de 2008 par j, c'est à dire .
Je prête à mon petit-fils la plus lourde et la plus légère des figurines de la Grande Armée de Napoléon ainsi qu'une figurine de la Grande Armée de Darius II. Je constate avec une balance Roberval à deux plateaux que les 2006 figurines napoléoniennes ont le même poids total que les 2007 figurines de l'armée perse.
Quels sont les numéros des figurines que j'ai prêtées à mon petit-fils ? Justifiez votre réponse.
1) Trouver le plus petit entier naturel k tel qu'il existe
un entier inférieur ou égal à 2009kqui a plus d'un
million de diviseurs.
2) Existe-t-il au moins un entier naturel n dont la
somme des diviseurs y compris 1 et lui-même est égale à 2009 ?
3) Trouver le maximum d'entiers naturels dont la somme des
diviseurs y compris 1 et chacun de ces entiers est égale à un même nombre
inférieur à 2009.
4) Trouver le plus grand entier qui est divisible par tous
les entiers inférieurs ou égaux à sa racine neuvième.
Pour les plus courageux : trouver
les plus grands entiers qui sont respectivement divisibles par tous les entiers
inférieurs ou égaux à leur racine kième (k = 2,3,...,10)
Nota : un ordinateur ou une
calculatrice programmable donnant très aisément les réponses à la plupart des
questions, seule la recherche manuelle mérite d'être retenue.
J'ai sous les yeux une collection de nombres entiers
naturels tous impairs dont la somme est inférieure à 2008. Quand je les prends
deux par deux, leurs différences sont toutes distinctes. Quel est le nombre
maximum de termes dans cette collection ?
Ce problème a été posé en langue anglaise sur le site de Carlos
Rivera - The prime puzzles and problems competition http://www.primepuzzles.net/ - sous le
numéro Puzzle 473.
Par ailleurs Jean Drabbe signale que le troisième exercice a fait l'objet d'une analyse fouillée de Richard Hoshino disponible sur le site de Crux Mathematicorum sous le titre "Astonishing Pairs of Numbers" (pages 39 à 44):http://journals.cms.math.ca/cgi-bin/vault/public/view/CRUXv27n1/body/PDF/page34-47.pdf?
Trouver sur un coin de table, entre la poire et le fromage, tous les entiers n > 0 tels qu’il existe n entiers consécutifs dont la somme des carrés est un nombre premier.
Ce
problème est proposé par Jean Moreau de Saint Martin
Hippolyte
dit à Diophante, un beau matin : ``J'ai réussi à démontrer la conjecture de
Legendre !''
Cette
conjecture énonce qu'entre deux carrés parfaits consécutifs, on trouve toujours
au moins un nombre premier.``Très bien,'' répond Diophante, ``je vais pouvoir
laisser mon nom à un nombre remarquable : le nombre de Diophante D, nombre réel tel que, en l'élevant n fois au
carré, la partie entière de D^(2^n) est toujours un nombre premier.''
1)
Que pensez-vous de cette prétention ? Comment Diophante peut-il s'y prendre
pour fabriquer un nombre D (ou même plusieurs) ?
2) En
réalité, la conjecture de Legendre n'est toujours pas prouvée. Mais les progrès
faits dans la connaissance de la répartition des nombres premiers ont montré
(théorème d'Ingham, 1932) qu'entre deux cubes parfaits consécutifs assez grands
* on trouve toujours au moins un nombre premier. Montrez qu'il existe un nombre
M appelé nombre de Mills tel que, en l'élevant n fois au cube, la partie
entière de M^(3^n) est toujours un nombre premier.
* Ce qui veut dire
plus grands qu'une certaine limite, dont on peut seulement dire qu'elle est finie.
Trouver une suite de longueur minimale constituée d'entiers
positifs dont le produit est multiplié par 2009 quand chaque terme est
incrémenté d'une unité.
Les choux désignent l'exposant de la plus grande puissance de 2 qui divise 2009! (factorielle 2009) et les carottes le nombre de 1 dans la représentation binaire de 2009. Quel bon potage vais-je obtenir en additionnant les choux et les carottes ? Généralisation pour n quelconque.
Choux(n)= l'exposant de la plus grande puissance de 2 qui divise n !
Choux(n) est donc le nombre de 0 qui finissent l'écriture en base 2 du nombre n !
Carottes(n) est le nombre de 1 dans la représentation binaire de n.
On vérifie que Choux(n) + Carottes(n)= n pour n dans {1 ;2} puis on le vérifie pour tout n par récurrence.
Supposons le résultat vrai pour n.
1) Supposons que n est pair. La représentation binaire de n finit alors par un 0 et on a Carottes(n + 1)=Carottes(n) + 1.
On a (n + 1) !=n ! x (n + 1) où n ! se termine par Choux(n) fois le chiffre 0 et n + 1 par un 1. Le produit se termine donc par Choux(n) fois le chiffre 0, ce qui s'écrit Choux(n + 1) = Choux(n).
On a donc Carottes(n +1) + Choux(n + 1)=Carottes(n) + 1 + Choux(n)=n + 1.
2) Supposons maintenant que n est impair. Sa représentation binaire se termine donc par k fois le chiffre 1 avec k>0. Le k + 1 -ème chiffre en partant de la droite est un 0.
n + 1 va alors se terminer par un chiffre 1 suivi de k chiffres 0. On a donc :
Carottes(n + 1)=Carottes(n) - k + 1 (car on a remplacé les k chiffres 0 par des 1 et un chiffre 0 par un 1).
D'autre part, le produit (n + 1) ! = n ! x (n + 1) est le produit d'un nombre qui se termine par Choux(n) chiffres 0 et d'un nombre qui finit par k chiffres 0. Ce produit finit donc par Choux(n)+ k chiffres 0. C'est-à-dire que Choux(n + 1) = Choux(n) + k.
On a donc Carottes(n + 1) + Choux(n + 1)=Carottes(n)-k + 1+ Choux(n) + k = Carottes(n) + Choux(n) + 1 = n + 1.
On
dit qu'une suite de k entiers positifs consécutifs est constituée de k moutons
blancs s'il n'existe aucun mouton noir qui est relativement premier avec
les k-1 autres termes. Quelle est la plus petite valeur de k pour laquelle il
puisse exister une suite de k moutons blancs ? Pour cette valeur de k, donner
la suite dont le premier terme est le plus petit possible.
Deux petites annonces sont parues dans le dernier numéro de
la gazette MNP (Mordus de Nombres Premiers) :
- cherche suite de nombres premiers (NP), pas
nécessairement distincts, telle que rapport de leur produit à leur somme = 10.
Même question si rapport = 2009.
- cherche suite la plus longue possible de NP pas nécessairement
distincts dont somme de trois quelconques d'entre eux est NP et dont plus grand
terme est plus petit possible.
Pourriez-vous répondre favorablement à ces deux petites
annonces ?
Q1
Existe-t-il six entiers naturels a, b, c, d, e et f tous distincts entre eux et
inférieurs à 2009tels que a divise b2 + b + 1, b divise c2 + c + 1, c divise d2 + d + 1, d divise e2 + e + 1, e divise f2 + f + 1 et f divise a2 + a + 1 ?
Q2
Trouver tous les entiers naturels a, b et c , a > b > c,tels que a divise bc - 1, b divise ca - 1 et
c divise ab - 1.
Q3
Trouver tous les nombres premiers a, b et c tels que a divise bc + 1 , b divise ca + 1 et c divise ab + 1
1)Trouver une collection de 2009 fractions unitaires,
distinctes ou non, dont la somme est égale à 1 et dont les dénominateurs sont
des carrés parfaits.
2)Pour quelles valeurs de l'entier n, existe-t-il une
collection de n fractions unitaires, distinctes ou non, dont la somme est égale
à 1 et dont les dénominateurs sont des carrés parfaits.
Source : d'après concours général de mathématiques
puis le produit π de ces mêmes termes 
.
où 
désigne l’ensemble des diviseurs de n,y compris 1 et n.
, e et 
?
et 
mis sous forme de fractions irréductibles, sont dits "cousins" si 
=4
était égale à 2, ils seraient jumeaux.
(i = 1 à 2006) non nuls et vous fabriquez ainsi un entier N à 2006 chiffres sous la forme 
avec 1 
9.
par des zéros et obtenir un nouveau nombre non nul divisible par 2006.
(i = 1 à 11). Démontrez qu'il existe 11 entiers 
qui prennent chacun l'une des trois valeurs ? 2 ou 0 ou 2 tels que la somme des 
pondérés par les 
soit divisible par 2006. En d'autres termes , 
définis sur [-2,0,2] tels que 
.
et 
sont inscrites au centre de six cases de la grille. La distance qui sépare 
est égale à i + j pour i et j variant de 1 à 3. Comment sont placées les six croix ?
. On remplit la grille en inscrivant le nombre 
à l'intersection de la ligne n°i et de la colonne n°j. Il apparaît que les produits des nombres d'une même ligne sont tous égaux à une même constante C. Quelles sont les valeurs des produits des nombres apparaissant sur une même colonne ?
), trouver les formules qui permettent de calculer les nombres :
est un entier p. Quelles sont les valeurs possibles de p ?
est un entier, alors 2 + 2 
est le carré parfait d'un entier p.
est un multiple de 
, alors 
est le carré parfait d'un entier p.
.
dans laquelle chacune des lettres a, b, c, d, e, f, g, h et i représente un chiffre différent choisi parmi les neuf chiffres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9 et p est un entier positif.
tel que N est la somme 
tel que N = aa + bb + cc + dd + ...
où
? Ceux qui sont absents des séquences déterminées par les
relations wn,k= 
définies respectivement pour k = 2,3,4?
.
