Plus de 3000 récréations et problèmes mathématiques !
Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.
Les problèmes ouverts iront dans les archives quand ils seront résolus par les lecteurs ou quand ils seront restés plus de 4 mois en problèmes ouverts non résolus.
Problème proposé par Bernard Vignes Trouver la plus petite fraction irréductible a/b strictement positive appelée « graine d’entiers » qui remplit les deux conditions ci-après: 1°) pour tout n ≥ 0, l’expression E(n) = n11/44 ‒ n7/28 ‒ n5/20 + n3/12 ‒ a*n/b prend des valeurs entières, 2°) il existe une valeur n₀ > 1 telle que E(n₀) = 2021.
A- Le classique parmi les classiques A1 Avec les quatre opérations élémentaires +, - , x ,/ et des parenthèses mises en tant que de besoin,à l'exclusion de tout autre symbole tel que exposant,racine carrée, factorielle,... trouver une formule qui fait intervenir des nombres à un seul chiffre (les concaténations sont donc interdites) et donne un résultat égal à 2022 à partir : des neuf chiffres de 1 à 9 pris dans cet ordre [*] Par exemple pour obtenir 101, on pourrait écrire 101 = (1 + 2 + 3) x 4 – 5 x (6 - 7) + 8 x 9. Pour les plus courageux : trouver le plus petit entier >2022 qui ne peut pas s’exprimer de cette manière.[****] A2 Pierre Leteurtre propose de modifier les règles en autorisant la concaténation des chiffres (par exemple 12 x 3 + 45 = 81) et en adoptant la notation polonaise inverse qui évite les parenthèses. Trouver les formules qui permettent d’obtenir 2022 [**] B- Le kième parmi d’autres B1 Je suis le quatrième entier de la suite strictement croissante S₁ des entiers positifs à quatre chiffres dont trois chiffres sont identiques, chacun d’eux étant multiple d’un nombre premier permutable à trois chiffres. Par exemple 7775 = 25 x 311 appartient à S1. Qui suis-je ? Donner tous les termes de S1 ?[**] Nota : un entier premier permutable reste premier quand on effectue une permutation quelconque de ses chiffres. B2 Je suis le dixième terme de la suite strictement croissante S2 des entiers positifs tels que moi-même et les trois entiers consécutifs venant après moi sont respectivement divisibles par la somme de leurs chiffres. Par exemple l’entier 510 appartient à S₂ avec 510, 511, 512 et 513 respectivement divisibles par 6, 7, 8 et 9. Qui suis-je ? Donner les huit premiers termes de S2.[*] B3 J’appartiens à la suite strictement croissante S3 des entiers supérieurs d’une unité au produit de deux nombres premiers consécutifs. Par exemple l’entier 324 fait partie de S3 avec 324 = 17.19 + 1. Cinquante et un entiers à quatre ou cinq chiffres de cette suite sont supérieurs à moi. Qui suis-je ? Donner mon rang dans S3[*]
Déterminer six entiers distincts strictement positifs de somme minimale tels que le produit de leurs factorielles est un carré parfait. Pour les plus courageux : pour tout entier k ≥ 2, sait-on trouver k entiers distincts strictement positifs dont le produit des factorielles est un carré parfait ?
Hippolyte fait la division de l'entier m par l'entier n avec
n<=25. Il obtient dans la représentation décimale de m/n les
quatre chiffresa,....2006....
Diophante lui fait remarquer qu'il a fait une erreur de
calcul. Pourquoi ?
Zig cherche trois suites d’entiers dont le premier terme est 1 et qui lui permettent d’atteindre respectivement le plus rapidement possible les trois cibles 999 999, 1 000 000 et 1 000 001 selon la règle suivante : chaque terme après le premier est égal soit au terme précédent soit à la somme de tous les termes précédents. Q1 Aidez Zig à trouver les nombres minimaux m1,m2 et m3 de termes de ces trois suites. Q2 Pour les plus courageux : déterminez les nombres de suites qui permettent d’atteindre les trois cibles respectivement avec m1,m2 et m3 termes.
Déterminer en fonction de l’entier N le nombre de couples d’entiers p et q, 2 ≤ q < p ≤ N, qui se tiennent par la barbichette : p divise q3 – 1 et q divise p – 1.
On désigne par S(x) la somme des chiffres d’un entier positif x en représentation décimale. Pour tout x, on s’intéresse aux ratios r2(x) = S(x)/S(2x) et r3(x)= S(x)/S(3x) Q1 Prouver que r2(x) ≤ 5. Cette borne 5 peut-elle être améliorée ? Q2 Prouver que r3(x) n’admet pas de borne supérieure.
1er zakouski Zig choisit deux nombres premiers distincts p et q et demande à Puce de déterminer le plus petit entier positif a tel que le reste de la division de aq par p est égal à 1 puis le plus petit entier positif b tel que le reste de la division de bp par q est égal à 1. Aidez Puce à calculer aq + bp en fonction de p et de q. Application numérique p = 43 et q = 47
2ème zakouski Zig demande à Puce de recenser tous les entiers compris entre 4088484 et 4092529 (bornes exclues) puis de calculer les produits de ces entiers pris deux à deux. Aidez Puce à trouver deux produits identiques ou à démontrer qu’ils n’existent pas.
3ème zakouski. Zig demande à Puce de déterminer l’ensemble (E) des entiers naturels n strictement positifs qui sont divisibles par tous les entiers impairs dont les carrés sont strictement inférieurs à n. Aidez Puce à déterminer le plus grand élément de (E).
Problème proposé par Bernard Vignes Q1 On s’intéresse aux progressions arithmétiques d’entiers distincts non nuls tels que dans chacune d’elles les inverses de ces entiers constituent,pas nécessairement dans le même ordre: 1er cas : une progression arithmétique, 2ème cas : une progression géométrique. Dans chacun de ces deux cas, déterminer le nombre maximum Ma de termes de ces progressions et trouver si elle existe une progression de Ma termes contenant l’entier 2024 . Q2 On s’intéresse aux progressions géométriques d’entiers distincts non nuls tels que dans chacune d’elles les inverses de ces entiers constituent: 1er cas : une progression arithmétique, 2ème cas : une progression géométrique. Dans chacun de ces deux cas, déterminer le nombre maximum Mg de termes de ces progressions et trouver si elle existe une progression de Mg termes contenant l’entier 2024 .
Parmi ces sept expressions n3 ‒ n – 3, n3 ‒ n – 5, n3 ‒ n – 11, n3 ‒ n – 17, n3 - n - 29, n3 ‒ n – 47 et n3 ‒ n – 89, six d’entre elles donnent au moins un carré parfait pour certaine(s) valeur(s) de n. Déterminez le mouton noir qui ne donne jamais un carré parfait quel que soit n. Justifiez votre réponse
Une suite d’entiers est définie par un = n2022 + a, a étant un entier donné. Comment doit-on choisir a pour que, quel que soit n, les entiers un et un+1 soient premiers entre eux ?
Zig écrit au tableau noir les puissances successives de 2 : 20 = 1,21 = 2, 22 = 4,….jusqu’à 221 = 2 097 152. Puce choisit alors deux nombres qu’il efface en les remplaçant par leur différence (qui est toujours non négative).Il poursuit le processus vingt et une fois et un seul nombre N reste sur le tableau. Q1 Zig demande à Puce d’obtenir le nombre N = 1234567. Aidez Puce à obtenir cet entier ou sinon démontrez que c’est impossible. Q2 Dénombrez toutes les valeurs possibles de N. Justifiez votre réponse.
Soient deux nombres réels x et y strictement positifs. A l’aide de y, on peut effectuer l’une des opérations suivantes sur x: - lui ajouter y et x devient x + y, - lui soustraire y et x devient x – y, - le multiplier par y et x devient yx, - le diviser par y et x devient x/y. Q1 Soit y = 7. Déterminer toutes les valeurs du nombre réel strictement positif z tels qu’après trois opérations successives, on sait retrouver z. Q2 On choisit z = 2022. Déterminer toutes les valeurs possibles de y > 0 qui permettent de retrouver z après trois opérations successives.
Problème proposé par Raymond Bloch Les nombres entiers n, n+1,…, 2n sont écrits sur (n+1) cartes, n ≥ 100. On partage les cartes en deux tas. Prouver qu’au moins un des deux tas contient deux cartes dont la somme des nombres est un carré parfait.
Déterminer deux entiers positifs inférieurs à 2022 dont la somme des inverses des diviseurs de chacun d'eux est égale à 3. Pour les plus courageux disposant d’un automate : vérifier que dans l’intervalle [1,100000],ces deux entiers sont les seuls qui ont cette propriété.
Problème proposé par Bernard Vignes Q1 Déterminer le plus petit entier n > 0 tel que n2022 + n2023 + n2024 + n2025 est divisible par 2310. Q2 Déterminer le plus petit entier n > 0 tel que n3 + n2 + n + 1 est divisible par : a) le produit des six premiers nombres premiers 2,3,5,7,11 et 13 b) le produit des sept premiers nombres premiers 2,3,5,7,11,13,17 Q3 A l’entier ni > 0, on associe l’entier si = ni2022 + ni2023 + ni2024 + ni2025.Déterminer les cinq plus petits entiers distincts ni (i = 1 à 5) tels que le plus grand commun diviseur des si ( i = 1 à 5) est lui-même divisible par 1001.
On dit qu’un ensemble E de n entiers strictement positifs est bien verrouillé si pour toute paire d’entiers (a,b) de E le carré de leur différence (a – b)² divise leur produit ab. Prouver que, quel que soit l’entier n > 1, on sait trouver un ensemble E bien verrouillé. Application numérique : donner l’exemple d’un ensemble E bien verrouillé de six entiers.
Q1 On considère la suite d’entiers ai définis par son premier terme a1 et la relation de récurrence : Déterminer les deux derniers chiffres du 2022ième terme a2022.
Q2 Soit l’entier N de 2022 chiffres qui contient exclusivement le chiffre 1 : 111….11. Prouver que le chiffre 1 apparaît au moins une fois après le point décimal de la racine carrée de N et déterminer la position qu’il occupe pour la première fois.
Nous dirons que lorsqu’on divise un nombre entier n > 0 par son nombre de diviseurs positifs (y compris 1 et n), le quotient s’appelle le descendant du nombre n. Un nombre entier sera dit gentil si son descendant est entier. Q1. Quels sont les quatre plus petits carrés parfaits gentils ? Q2. Quels sont les quatre plus petits cubes parfaits gentils ? Q3. Donner le plus petit nombre entier qui est cinq fois gentil, tel que le descendant du descendant du descendant du descendant du descendant est entier, tous les descendants étant deux-à-deux distincts puis le plus petit nombre entier qui est six fois gentil.
Zig marque les entiers 20 et 23 au tableau noir et invite Puce à écrire à partir de ces deux entiers une suite S de nombres entiers qui obéissent à la règle suivante : à chaque tour, si deux entiers distincts a et b figurent dans S, Puce peut ajouter sur le tableau noir un entier égal à la somme du plus grand commun diviseur et du plus petit commun multiple de a et de b. Zig met Puce au défi de trouver dans S un entier N multiple du millésime 2023. Aidez Puce à prouver l’existence de N. Pour les plus courageux : donnez le nombre de tours qui vous ont permis d’obtenir N.
On considère la suite S de nombres entiers positifs de terme général ai définie par la relation de récurrence suivante : ai+1 est le carré du nombre de diviseurs positifs de ai (1 et ai compris). Par exemple si a1 = 27, alors a2 = 42 = 16 avec 27 qui a quatre diviseurs positifs 1,3,9,27. Q1 Démontrer que pour tout premier terme a1 > 1, la suite S est constante à partir d'un certain rang et que cette valeur limite est indépendante de S. Q2 Donner l’exemple d’une suite S dont le premier terme est > 1 et qui a exactement 8 termes y compris le dernier terme qui est constant..
Le classique parmi les classiques :avec les quatre opérations élémentaires +, - , x ,/ et des parenthèses mises en tant que de besoin, à l'exclusion de tout autre symbole tel que exposant, racine carrée, factorielle,... trouver une formule qui donne un résultat égal à 2023 et fait intervenir : 1) les neuf chiffres de 1 à 9 pris dans cet ordre, les concaténations étant interdites. Par exemple pour obtenir 101, on pourrait écrire 101 = (1 + 2 + 3) x 4 – 5 x (6 - 7) + 8 x 9. 2) le plus petit nombre possible de chiffres distincts pris dans l’ordre parmi l’ensemble des chiffres de 1 à 9, les concaténations étant interdites. Par exemple pour obtenir 101, on pourrait écrire 101 = – 1 + 5 x 6 + 8 x 9 3) le plus petit nombre possible de chiffres distincts pas nécessairement pris dans l’ordre parmi l’ensemble des chiffres de 1 à 9, les concaténations étant autorisées. Par exemple pour obtenir 101, on pourrait écrire 101 = 89 + 3 x 4
Problème proposé par Raymond Bloch Puce a divisé l’entier naturel p par l’entier naturel q ≤ 80.La séquence des chiffres 2,0,2,3 est apparue dans cet ordre quelque part après la virgule dans la représentation décimale du quotient. Prouver que Puce a commis une erreur de calcul.
Q1 Déterminer quatre entiers a,b,c,d écrits avec les dix chiffres de 0 à 9 utilisés une fois et une seule tels que les produits a*b et c*d sont égaux et sont dans le premier cas : minimaux et dans le deuxième cas : maximaux. Q2 Déterminer le plus petit entier égal au produit de nombres premiers écrits, premier cas : avec tous les chiffres de 1 à 9, deuxième cas : avec tous les chiffres de 0 à 9. Même question avec le plus grand entier égal au produit de nombres premiers écrits dans le premier cas : avec tous les chiffres de 1 à 9 et dans le deuxième cas avec tous les chiffres de 0 à 9. Nota : dans tous les cas chacun des chiffres est utilisé une fois et une seule Q3 Déterminer le plus grand entier N dont tous les chiffres sont distincts tel que la somme de N et de l’entier égal à N écrit de droite à gauche n’a aucun chiffre commun avec N. Q4 Calculer x tel que : avec une infinité de radicaux imbriqués les uns dans les autres à l’intérieur de la première racine carrée. Q5 Exercice proposé par Raymond Bloch Trouver tous les nombres entiers de quatre chiffres [abcd],tels que : [abcd] = (a + b)(a + c)(a + d)(b +c )(b + d)(c + d)
Nota: dans toutes les questions, aucun entier ne commence par 0.
On considère la suite des nombres entiers définie pour tout n ≥ 2 par la relation de récurrence : a(n) = 4a(n-1) – a(n-2) avec a(0) = 1 et a(1) = 2. Q1 Déterminer un facteur premier impair de a(2015) Q2 Déterminer deux facteurs premiers impairs de a(2023) Source de Q1 : Putnam 2015 – A2
Pour tout entier k > 0 fixé à l’avance, on s’intéresse aux collections de nombres premiers (pas nécessairement distincts) qui ont la propriété (Pk) suivante : le produit de leurs termes vaut k fois leur somme. Q1 Trouver une collection qui contient au moins cinq nombres premiers distincts et possède la propriété Pk avec l’entier k le plus petit possible. Q2 Prouver qu’il existe une seule collection qui a la propriété P10. Q3 Déterminer toutes les collections qui ont la propriété P44. Q4 [avec l’aide éventuelle d’un automate] : Existe-t-il un entier k tel que l’on sait trouver quatre collections différentes de nombres premiers pas nécessairement distincts dont le produit des termes vaut k fois la somme ? Même question avec cinq collections distinctes.
Problème proposé par Bernard Vignes Démontrer qu'on sait trouver : 1) 80 entiers consécutifs positifs ou non m, m+1,...,m + 79 tels que les entiers f(m) = m2 − 79m + 1601 sont tous des nombres premiers, 2) 80 entiers consécutifs positifs n ,n + 1,...,n + 79 tels que les entiers g(n) = n2 − 79n + 1601 sont tous des nombres composés (i.e. non premiers)
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Problème proposé par Pierre Leteurtre Prouver que quel que soit n entier > 0, l’entier (n + 1)5 – n5 ainsi que ses facteurs premiers, s’il est un nombre composé, sont tous congrus à 1 modulo 10.
Problème proposé par Bruno Langlois Tout le monde a noté que :2023 = (2 + 0 + 2 + 3)×(22+ 02+ 22+ 32)2 Trouver tous les entiers naturels qui vérifient la même propriété que 2023.
La suite S1 contient les nombres de chiffres des puissances successives de 10 (10k pour k = 1,2,3,…) exprimées en base 2.Par exemple pour k = 1, 10 en base 2 s’écrit 1010 qui a 4 chiffres. Pour k = 2, 100 en base 2 s’écrit 1100100 qui a 7 chiffres… La deuxième suite S2 contient les nombres de chiffres des mêmes puissances de 10 exprimées en base 5. Par exemple pour k = 1, 10 en base 5 s’écrit 20 qui a 2 chiffres et pour k = 1, 100 en base 5 s’écrit 400 qui a 3 chiffres…. Q1 Prouver que tout entier > 1 apparaît exactement une fois dans l’une de ces deux suites Q2 A quelles suites appartiennent successivement les entiers 2022,2023 et 2024 ?
Diophante écrit au tableau l’entier 7 et un nombre réel x > 1. A chaque étape, Zig choisit un nombre non nul déjà écrit au tableau et écrit son inverse ou bien choisit deux nombres pas nécessairement distincts déjà écrits au tableau et écrit leur somme ou bien leur différence. Prouver qu’après un nombre fini d’étapes Zig sait calculer le nombre x7 puis déterminer le nombre minimal d’étapes qui lui permettent de l’obtenir.
On désigne par sdc(x) la somme des chiffres de l’entier positif x. Q1 Trouver un entier positif m tel que m majoré de 10% est toujours un entier m’ et sdc(m’) est inférieur de 10% à sdc(m) [**] Q2 Trouver le plus petit entier n tel que n majoré de 10% est toujours un entier n’ et sdc(n’) est inférieur de 11% à sdc(n) [****]
On désigne par τ(n), tau de n, le nombre de diviseurs de n, y compris l’entier 1 et l’entier n lui-même. Pour tout entier a ≥ 2 fixé à l’avance, Zig marque de l’intérêt pour les entiers n et leurs tau tels que la puissance d’ordre a de τ(n) est un multiple de n, à savoir τ(n)a = k.n avec k entier ≥ 1 Q1 Prouver que pour tout a ≥ 2, il existe au moins un entier n et un entier k ≥ 1 tels que τ(n)a = k.n.[**]
Q2 a = 2. Déterminer tous les entiers n tels que τ(n)2 = 2n [**]
Q3 a= 3. Prouver qu’il existe au moins deux entiers n tels que τ(n)3 = n [***] Déterminer tous les entiers n tels que τ(n)3 = 4n [****](1)
Q4 a = 4 Prouver qu’il existe au moins trois entiers n tels que τ(n)4 = n [**] Prouver qu’il existe au moins deux entiers n tels que τ(n)4 = 20n [***] Prouver qu’il existe au moins quatre entiers n tels que τ(n)4 = 28n [***] Prouver qu’il existe au moins huit entiers n tels que τ(n)4 = 32n [***]
Q5 a= 5 Prouver qu’il existe au moins deux entiers n tels que τ(n)5 = 22n [***]
(1) Nota : problème N2 de la liste des problèmes présélectionnés aux Olympiades Internationales de Mathématiques 2000
Problème proposé par Kaustuv Sengupta Est-il vrai que pout tout entier n ≥ 2, l’entierest divisible par 6 ? Nota : ⌊x⌋ désigne la partie entière par défaut de x. Par exemple ⌊3,905⌋ = 3 et ⌊‒ 2,37 ⌋ = ‒ 3
- Trouver les nombres premiers p tels que 4p + 1 et 7p - 4 sont l'un et l'autre des nombres premiers. - Trouver les nombres premiers p tels que 2p2 + 13 est un nombre premier. - Trouver les nombres premiers p tels que p2 est la somme des carrés de cinq nombres premiers pas nécessairement distincts. - Trouver tous les entiers positifs n tels que n5 + n4 + 1 est la puissance d'un nombre premier p.
Pour tout entier n ≥ 1 , on calcule le déterminant D de la matrice carrée M de dimension n dont le terme général m(i,j) est égal au plus grand commun diviseur (PGCD) des entiers i et j avec 1≤ i,j ≤ n.
Par exemple, pour n = 3, on a la matrice dont le déterminant est égal à 2.
Déterminer n quand D = 184320. Source : exercice proposé à des candidats passant les oraux des concours des grandes écoles d’ingénieurs
Q1 Soit le polynôme P(n) = n17 + n + 1 défini pour tout entier n. Déterminer les valeurs de n > 1 pour lesquelles P(n) est un nombre premier. Q2 Trouver le plus petit nombre premier p1 dont la somme des chiffres est un nombre premier p2 dont la somme des chiffres est un nombre premier p3 dont la somme des chiffres est un nombre premier p4 ≠ p3 Pour les très courageux avec l’aide d’un très puissant automate : trouver le nombre premier p0 dont la somme des chiffres est p1
Q3 Un nombre entier à k chiffres est appelé « bi-premier » si les k – 1 paires de chiffres consécutifs forment une suite de k – 1 nombres premiers distincts.Par exemple 173 est bi-premier tandis que 1313 et 196 ne le sont pas.
Déterminer le plus grand entier bi-premier et vérifier que c’est un nombre premier. Nota : les trois questions sont indépendantes.
Q1 Trouver le plus petit entier pair strictement positif m de sorte que pour tout nombre premier p, l’entier p2 + m n’est jamais un nombre premier. Q2 Prouver qu’il existe une infinité de nombres entiers pairs positifs n de sorte que pour tout nombre premier p, l’entier p2 + n n’est jamais un nombre premier.
Dans tout nombre entier de sept chiffres, prouver qu’il est possible d’en retirer trois de sorte que le nombre formé des quatre chiffres restants soit bi-divisible (i.e. divisible si on le lit de gauche à droite, et aussi de droite à gauche) par un entier k à préciser.
Marie-Nicole Gras,Jean Moreau de Saint Martin ont prouvé qu'avec l'entier k prenant les valeurs 3 ou 11 il est toujours possible d'en retirer trois de sorte que le nombre résultant de quatre chiffres soit bi-divisible.
Pierre Leteurtre a obtenu les mêmes valeurs 3 ou 11 en admettant que les quatre chiffres restants pouvaient être permutés. ,
Puce a effacé les cinq chiffres a,b,c,d,e de l’entier ci-après qui est la factorielle d’un entier n. Aidez Zig à déterminer n et les cinq chiffres (sans l’aide d’un quelconque automate,cela va de soi !)
Soient φ(n) l’indicatrice d'Euler qui à tout entier naturel n non nul associe le nombre d'entiers compris entre 1 et n et premiers avec n et σ(n) la fonction sigma qui est la somme des diviseurs positifs de n. Q1 Pour tout entier k > 1, prouver qu’il existe une suite strictement croissante de k entiers positifs n1 < n2 < n3 < ....< nk telle que la suite correspondante φ(ni) soit strictement décroissante :φ(n1) >φ(n2) > φ(n3) > .......> φ(nk).
Q2 Pour tout entier k > 1, prouver qu’il existe une suite strictement croissante de k entiers positifs n1 < n2 < n3 < ....< nk telle que la suite correspondante σ(ni) soit strictement décroissante : σ(n1) > σ(n2) > σ(n3) > ..... σ(nk) ?
Q3 Pour k prenant respectivement les valeurs 2,3,4,5 et 6, trouver des suites strictement croissantes d’entiers positifs ni pour i variant de 1 à k telles que les suites correspondantes φ(ni) et σ(ni) soient l’une et l’autre strictement décroissantes.
Pour les plus courageux : peut-on affirmer que pour tout k > 1, on sait trouver une suite d’entiers positifs strictement croissante telle que les suites correspondantes φ(ni) et σ(ni) soient l’une et l’autre strictement décroissantes ?
a, b et c sont trois nombres premiers distincts tels que abc – 5ab + ac – bc – 5a + 5b – c = 1291 (R). Q1 Prouver que les triplets (a,b,c) qui satisfont la relation (R) sont en nombre fini. Q2 Déterminer respectivement les plus grandes valeurs possibles de a, b et c. Q3 Déterminer le nombre de triplets (a,b,c) qui satisfont la relation (R).
On s’intéresse à la suite S des nombres entiers de terme général s(n), qui sont les sommes des diviseurs non triviaux(1) des entiers naturels 1,2,3,… Par exemple s(24) = 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 = 35. Q1 Déterminer respectivement les plus petits entiers p, q et r tel que s(p) ≥ 10, s(q) ≥ 100 et s(r) ≥ 1000. Q2 Déterminer les entiers n qui ont au moins trois facteurs premiers distincts tels que s(n) < 100 Q3 Il existe dans S des termes qui apparaissent k fois avec k ≥ 0. Si on désigne par x(s) le nombre d’occurrences de la valeur s dans S, on calcule a = x(14), b = x(30), c = x(32), d = x(36), e = x(40), f = x(48), g =x(50), h = x(51), i = x(56), j = x(72). Vérifier que (a + b)*(c + d + e + f)*(g + h + i + j) = 2023(2)
(1) Nota : c’est à dire les diviseurs de n à l’exclusion de 1 et de n. (2) Tous les calculs peuvent être faits assez facilement à la main mais l’usage d’un automate n’est pas interdit.
Les PGCD de cinq entiers strictement positifs pris deux par deux sont les entiers 6, 2, 4, 3, 8, 5, 7, p, q, r écrits dans un ordre quelconque. Déterminer la valeur minimale s0 de s = p + q + r. Pour cette valeur s0, donner tous les triplets ordonnés (p, q, r) possibles et pour chacun d’eux rechercher les suites correspondantes de cinq entiers strictement positifs de somme minimale.
Problème proposé par Bernard Vignes Diophante demande à Zig d’établir la liste des entiers naturels pairs > 0 qui ne peuvent pas être égaux à la somme de deux entiers impairs composés > 0 ( i.e. non premiers) et à Puce la liste des entiers naturels pairs > 0 qui ne peuvent pas être égaux à la somme de deux entiers impairs semi-premiers > 0 (i.e. de la forme pq avec p et q nombres premiers distincts ou non). Les deux listes ont les mêmes termes à l’exception de deux entiers qui sont dans l’une et pas dans l’autre. Déterminer ces deux entiers. Qui les a écrits ?
Diophante passe en revue les dix mille premiers nombres entiers naturels 1,2,3,4,...10000 et repère tous ceux qui ont la propriété P(k) d'être la somme de deux carrés de nombres entiers de k façons différentes k=0,1,2,etc..
Par exemple: - 7 a la propriété P(0) car il est impossible de l'exprimer comme somme de deux carrés, - 10 a la propriété P(1) car 10 = 32 + 12 et c'est la seule décomposition possible, - 65 a la propriété P(2) car 65 se décompose de deux manières 65 = 82 + 12 = 72 + 42. Il en est de même de 50 = 52 + 52= 72 + 12,
- 8381 a la propriété P(3) car 8381 s'écrit de trois façons 8381 = 912 + 102 =852 + 342 = 702 + 592 .
Il constate que dans sa liste:
1) il n'y a pas quatre entiers consécutifs qui ont la propriété P(k) avec k>0. [*] 2) les nombres premiers ont la propriété P(0) ou P(1) mais jamais la propriété P(k) pour k>1. [**]
3) les nombres dont la factorisation contient les termes 3,7,11,... avec des exposants impairs c'est à dire de la forme avec k et p entiers , ont tous la propriété P(0). [****] 4) les plus petits entiers >2 qui ont respectivement la propriété P(1), P(2),P(3),P(4)....P(k),.. sont tous divisibles par 5. [****]
Ces quatre constatations sont-elles vraies pour tous les entiers naturels ?
Problème proposé par Dominique Roux Je remplis un tableau avec des progressions arithmétiques écrites ad infinitum les unes en dessous des autres. La kième progression (k = 1,2,3,.....) a pour premier terme 3k+1 et pour raison 2k+1.Démontrer que 2n+1 est premier si et seulement si n n'est pas dans le tableau.
Problème proposé par Michel Lafond On dit que des entiers naturels placés autour d’un cercle forment une ronde si deux nombres voisins ont toujours un diviseur commun supérieur à 1. Par exemple [10, 5, 60, 33, 6] placés aux sommets d’un pentagone forment une ronde. a) Soit l’entier A = 21 176 048 208 324. Former une ronde avec les 49 entiers compris entre A et A + 48. b) Trouver 50 nombres entiers naturels consécutifs pouvant être placés en ronde.
En réponse à la question a) Fabien Gigante a trouvé la ronde A + les termes de la séquence ci-après: 23,46,29,12,47,26,38,7,48,6,25,44,36,45,30,43,17,4,34,16,41,1,11,31,21,39,9,15,3, 27,33,5,19,40,18,42,24,35,13,2,20,10,22,28,14,32,8,37,0. La solution de Michel Lafond donne aussi la réponse à la question b).
Je calcule la somme des inverses des entiers qui vont de 1 à 2011 et j’obtiens une fraction irréductible a/b. Démontrer que 2011a – b est divisible par 2011 à la puissance 4.
Ces trois (joyeux) lurons sont des nombres rationnels.Un même entier est la somme de leurs opposés et la somme de leurs carrés.Démontrer que leur produit peut s’écrire sous la forme d’une fraction irréductible dans laquelle le numérateur est un carré parfait et le dénominateur est un cube parfait. Application numérique : trouver trois lurons tels que la fraction irréductible correspondante a pour numérateur 20112 ou pour dénominateur 20113.
N est un entier naturel multiple de 4. On recense tous les entiers qui lui sont inférieurs et n’ont pas de diviseur commun avec lui autre que 1.Démontrer que le nombre n de ces entiers est pair (n = 2m). On additionne les m plus petits termes puis les m plus grands.Démontrer que le rapport des deux sommes est une constante. Application numérique : N = 2012
En l'honneur de cette année bissextile,nous commençons par une première énigme qui porte sur l'une des particularités de son calendrier. En février 2012, il y aura cinq mercredis. Quelle est la première année du 22-ième siècle au cours de laquelle on observera le même phénomène ?
Poursuivons avec une inégalité diophantienne:quel est l'entier n tel qu'il existe exactement 2012 couples d'entiers naturels positifs ou nuls (x,y) satisfaisant l'inégalité x2 + y2 n ?
Passons ensuite à la suite bien connue de Conway 1,11,21,1211,111221,312211,... dans laquelle un terme se détermine en annonçant les chiffres formant le terme précédent.Il y a un terme qui contient 2012 chiffres. Quel est son rang ?
Terminons par un casse-tête d'Erich Friedman qui suggère un parcours diophantien pour passer de 2011 à 2012. Ce parcours est constitué de deux cercles reliés par un segment de droite.
A partir de l'entier 2011, il s'agit d'obtenir le résultat 2012 en passant autant de fois que nécessaire par les quatre points rouges auxquels sont associées les quatre opérations élémentaires (addition, soustraction, multiplication et division),chacune d'elles étant effectuée avec un entier naturel a,b,c,d. Au cours du parcours qui mène de 2011 à 2012,il est obligatoire d'effectuer au moins une fois chacune des quatre opérations et il est interdit de rebrousser chemin sur l'un quelconque des deux cercles.. Q1: Trouver quatre entiers distincts a,b,c,d >1 qui permettent d'obtenir 2012 avec le parcours le plus court possible. Q2: Trouver un parcours qui permet d'obtenir 2012 avec a,b,c,d distincts entre eux et choisis parmi l'ensemble des nombres premiers {2,3,5,7}.
Zig dispose d’une calculette de marque déposée @Méphisto dont le clavier comporte trois touches qui permettent d’obtenir à partir d’un entier quelconque n strictement positif affiché à l’écran : 1) φ(n), fonction d’Euler, le nombre d’entiers qui sont strictement inférieurs à l’entier n et sont premiers avec lui. 2) σ(n) la somme des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même. 3) τ(n) le nombre des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même.
Q₁ Démontrer qu’il existe une infinité d’entiers n strictement positifs tels que l’entier n égalise son sigma (σ) diminué de son phi (φ) et de son tau(τ).
Q₂ Démontrer qu’il existe au moins un entier n strictement positif tel que son double égalise son sigma (σ) augmenté de son phi(φ) et diminué de son tau(τ).
Q₃ Démontrer qu’il existe une infinité de paires d’entiers strictement positifs (m,n) tels que le rapport des deux entiers est l’inverse du rapport de leur sigma (σ).
Q₄ Soit un entier k > 1. Démontrer que l’équation σ(n) = n + k a un nombre fini de solutions. Application numérique : déterminer le plus grand entier n₀ tel que σ(n₀) = n₀ + 2021. Démontrer qu’il existe un entier n₁ > n₀ tel que φ(n₁) = n₁ – 2021
Zig dispose d’une calculette de marque déposée @Méphisto dont le clavier comporte trois touches qui permettent d’obtenir à partir d’un entier quelconque n strictement positif affiché à l’écran : 1) φ(n), fonction d’Euler, le nombre d’entiers qui sont strictement inférieurs à l’entier n et sont premiers avec lui. 2) σ(n) la somme des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même. 3) τ(n) le nombre des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même. Q₁ Démontrer qu’il existe une infinité d’entiers n strictement positifs tels que l’entier n égalise son sigma (σ) diminué de son phi (φ) et de son tau(τ). Q₂ Démontrer qu’il existe au moins un entier n strictement positif tel que son double égalise son sigma (σ) augmenté de son phi(φ) et diminué de son tau(τ). Q₃ Démontrer qu’il existe une infinité de paires d’entiers strictement positifs (m,n) tels que le rapport des deux entiers est l’inverse du rapport de leur sigma (σ). Q₄ Soit un entier k ≥ 1. Démontrer que l’équation σ(n) = n + k a un nombre fini de solutions. Application numérique : déterminer le plus grand entier n₀ tel que σ(n₀) = n₀ + 2021. Démontrer qu’il existe un entier n₁ > n₀ tel que φ(n₁) = n₁ – 2021
Des entiers naturels positifs sont assignés aux 26 lettres de l’alphabet a,b,c,d,...,x,y,z. A partir de ces nombres écrits sur une même ligne et pris dans l'ordre des lettres de l'alphabet, on construit une expression E en insérant entre eux les signes de l’addition (+), de la soustraction (–) et de la multiplication (*) avec éventuellement le signe (–) devant le premier d'entre eux et en mettant autant que de besoin des parenthèses pour préciser l’ordre dans lequel les opérations sont effectuées.L’expression E prend alors une valeur entière N.Quelle que soit la séquence des 26 entiers que l’on donne,démontrer que l'on sait trouver une expression E dont la valeur N admet un diviseur supérieur à 108.
Pourquoi Léon-François-Antoine dans le titre du problème? Ce sont les prénoms de L.F.A. Aurifeuille
(1822-1882) qui s'est intéressé aux factorisations des entiers de la forme 2^k1 + 1, 3^k2 + 1, 5^k3 - 1 pour certaines valeurs de k1,k2 et k3. Gérard P. Michon sur son site Numericana (rubrique Number Theory - Standard factorizations) évoque la vie de ce polytechnicien original qui a été un magicien réputé.
Q1 : Trouver tous les nombres premiers p,q et r avec p ≤ q ≤ r tels que les six entiers pq + r, qr + p, rp + q, pq + r2, qr + p2 et rp + q2 sont aussi des nombres premiers. Q2 : Trouver tous les nombres premiers p,q,r et s avec p ≤ q ≤ r ≤ s tels que les huit entiers pqr + s, qrs + p, rsp + q, spq + r, pqr + s2, qrs + p2, rsp + q2 et spq + r2 et les valeurs absolues des huit entiers pqr – s, qrs – p, rsp – q, spq – r, pqr – s2, qrs – p2, rsp – q2 et spq – r2 sont aussi des nombres premiers.
Pour les plus courageux disposant d'un automate: q1 : Trouver au moins deux ensembles de nombres premiers p,q,r et s avec p ≤ q ≤ r ≤ s tels que les huit entiers pqr + s, qrs + p, rsp + q, spq + r, pqr + s2, qrs + p2, rsp + q2 et spq + r2 sont aussi des nombres premiers. q2 : Trouver au moins deux ensembles de nombres premiers p,q,r et s avec p ≤ q ≤ r ≤ s tels que les valeurs absolues des huit entiers pqr – s, qrs – p, rsp – q, spq – r, pqr – s2, qrs – p2, rsp – q2 et spq – r2 sont aussi des nombres premiers.
Trois nombres premiers distincts a,b et c sont tels que: - la somme de deux d'entre eux est une puissance de 2 supérieure à 16 et inférieure à 2016, - ils consituent avec les quatre entiers a + b + c, a + b ‒ c, a ‒ b + c, ‒ a + b + c une suite de sept nombres premiers. Déterminer la valeur du plus petit des sept termes puis les valeurs de a,b et c.
On s’intéresse aux entiers naturels qui s’expriment de p· manières différentes comme somme de q carrés positifs. Pour une valeur de q, l’entier est appelé avalent ou monovalent ou polyvalent de type (p,q) selon que p = 0 ou 1 ou· > 1.Par exemple 9 est avalent de type (0,4) car 9 ne peut pas se décomposer en la somme de 4 carrés parfaits tous positifs, 5 est· monovalent de type (1,2) car 5 s’écrit de manière unique 1² + 2² et 65 est· bivalent de type (2,2) car 65 = 1² + 8 ² = 4² + 7 ². Dans cette première partie on retient les valeurs q ? 3 Q1 : Trouver le plus petit carré parfait qui est bivalent de type (2,2) puis le plus petit carré parfait qui est trivalent de type (3,3). Même question avec des cubes parfaits. Q2 : Trouver le plus petit nombre entier naturel qui est à la fois un bivalent de type (2,3) et trivalent de type (3,2) . Q3 : Démontrer que l’entier 2012 est avalent de type (0,3) et déterminer en fonction de k = 2,3,... les entiers de la forme 2012k qui sont monovalents ou polyvalents de type (p,3) avec p ? 1. Q4 : Démontrer que l’entier 2011 est polyvalent de type (p,3) avec p > 1 et que les entiers égaux à 2011 modulo 8 sont monovalents ou polyvalents de type (p,3) avec p ? 1. Q5 : Démontrer que les puissances successives de 2 sont avalentes de type (0,3). Q6 : Déterminer l’entier le plus proche de 2012 qui est à la fois un monovalent de type· (1,2) et un monovalent de type (1,3).
On s’intéresse aux entiers naturels qui s’expriment de p manières différentes comme somme de q carrés positifs. Pour une valeur de q, l’entier est appelé avalent ou monovalent ou polyvalent de type (p,q) selon que p = 0 ou 1 ou > 1. Par exemple 9 est avalent de type (0,4) car 9 ne peut pas être représenté par la somme de 4 carrés parfaits tous positifs, 5 est monovalent de type (1,2) car 5 s’écrit de manière unique 1² + 2² et 65 est bivalent de type (2,2) car 65 = 12 + 82 = 42 + 72. Q₁ : Démontrer que pour tout entier naturel supérieur à un entier n₀ que l’on précisera il existe au moins un entier q positif qui le rend polyvalent. Dans les questions Q2 à Q4 on retient la valeur q = 2. Q₂ : Démontrer que l’entier 2013 est un avalent et déterminer les deux entiers les plus proches de 2013 qui sont respectivement un monovalent de type (1,2) et un polyvalent de type (p,2) avec p >1. Q₃ : Démontrer qu’on sait trouver au maximum cinq entiers bivalents de type (2,2) qui sont à la fois premiers entre eux et inférieurs à 2013 Q₄ : Trouver le plus petit nombre entier naturel n impair non divisible par 5 et un nombre premier p diviseur de n tels que n est un polyvalent de type (p,2).
Q₁ – Démontrer que si un entier n est la somme de trois carrés parfaits non nuls, alors le carré de n peut lui-même s’exprimer comme somme de trois carrés parfaits non nuls. Q₂ – Trouver les suites de quatre entiers naturels distincts non nuls tels que le plus grand d’entre eux est un carré, leur somme est un carré et la somme de leurs carrés est égale à 2013. Q₃ – Existe-t-il une infinité d’entiers naturels tels que chacun peut s’exprimer sous la forme de six sommes respectivement constituées de 5,6,7,8,9 et 10 carrés parfaits tous non nuls Q₄ – Existe-t-il une infinité d’entiers naturels n tels que n peut s’exprimer comme la somme de deux carrés parfaits, sans que cela soit le cas de n + 1 et de n – 1.
Cet entier an est le plus petit entier qui donne pour restes les entiers 1,2,...,n-1 quand il est divisé respectivement par 2,3,....,n. Ses deux successeurs an+1 et an+2 définis de la même manière avec les entiers n+1 et n+2 ont respectivement un chiffre et deux chiffres de plus que lui. Déterminer n et an.
Q1 : Tous les chiffres de 0 à 9 sauf l’un d’eux figurent dans l’entier égal à 229. Sans calculer cet entier, donner le chiffre manquant. Q2 : Déterminer les entiers naturels positifs strictement inférieurs à 29,distincts entre eux, dont la somme des puissances quatrièmes est divisible par 29 tout en étant la plus petite possible. Q3 : Trouver le plus petit entier n tel que la somme des chiffres de 29n est la plus petite possible. Q4 : Trouver deux entiers consécutifs supérieurs à N = 1 000 000 dont les facteurs premiers sont inférieurs ou égaux à 29. Q5 : Trouver le plus petit terme possible d’une suite croissante de 29 entiers positifs consécutifs tels que chacun d’eux a un facteur commun supérieur strictement à 1 avec au moins un autre entier de la suite.
Q? - Trouver les deux plus petits entiers naturels m et n, m < n, tels que m et m+1, pris séparément, ne divisent ni n ni n+1 et le produit n(n+1) vaut 17 fois le produit m(m+1). Q? - Démontrer que tout entier supérieur à 17 peut se représenter comme la somme de trois nombres entiers > 1 qui, pris deux à deux, sont relativement premiers entre eux et démontrer que le nombre 17 n’a pas cette propriété. Q? - Prouver que dans toute suite de 17 entiers naturels distincts, on peut trouver cinq entiers dont quatre divisent le cinquième ou bien cinq entiers dont aucun ne divise l’un quelconque des quatre autres. Donner un exemple d’une suite de 16 entiers distincts qui n’ont pas cette propriété.
Problème proposé par Michel Lafond Trouver un ensemble E d’entiers naturels distincts tous impairs, tel que chaque élément de E divise la somme de tous les autres.
Problème proposé par Michel Lafond On appelle extension d’un entier N > 0 tout entier dont l’écriture décimale est obtenue en écrivant N suivi d’un nombre quelconque de "1". Par exemple, les extensions de 37 sont 371, 3711, 37111, --- N est dit hypercomposé si aucune de ses extensions n’est un nombre premier. Q? Montrer que 37 est hypercomposé. Q? Montrer que 38 est hypercomposé. Q? Pour les plus courageux [*****]: l’entier 12 est-il hypercomposé?
On classe par ordre croissant les diviseurs de l'entier n qui admet 36 diviseurs y compris 1 et l'entier lui-même: 1 = d1₁ < d2 < ..< d35< d36 = n. La somme des carrés des 1er, 4ème et 7ème diviseurs est égale au carré du 8ème diviseur et la somme des carrés des 2ème,7ème et 11ème diviseurs est égale au carré du 12ème diviseur. Déterminer toutes les valeurs possibles de n.
Q? - Dénombrer les entiers n inférieurs ou égaux à 2012 tels que 3n + 5n + 7n + 11n + 13n + 17n + 19n est un nombre premier. Q? - On donne un entier positif k quelconque. Sait-on trouver un entier positif de k chiffres tous différents de zéro tel que lui-même et tous les entiers obtenus par un quelconque réarrangement de ses chiffres ne sont jamais divisibles par 19? Q? - Est-il possible d’écrire 1919 comme la somme d’un cube parfait et d’une puissance quatrième parfaite ? Q?- Trouver tous les entiers x,y,z positifs ou nuls qui satisfont l’équation 3x - 2y = 19z.
On partage l'ensemble des 12 premiers entiers {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} en trois sous-ensembles A,B et C que l'on classe dans l'ordre décroissant selon la somme des termes, puis selon le produit des termes et enfin selon la somme des chiffres des termes. Est-il possible d'obtenir pour chacun des trois sous-ensembles une première place, une seconde place et une troisième place (il n'y a pas d'ex-aequo) ?
On construit une séquence d’entiers positifs, négatifs ou nuls de la manière suivante: - le premier terme est 1, - le kième terme est obtenu en additionnant ou en soustrayant (dans n’importe quel ordre) ou en multipliant deux nombres pas nécessairement distincts qui figurent parmi les (k – 1 ) premiers termes. C’est ainsi que le 2ème terme peut prendre les valeurs 0 ( = 1 – 1), 1 ( = 1*1) et 2 (= 1 + 1). Si le 2ème terme vaut 2, les valeurs possibles du 3ème terme sont: – 1,0,1,2,3,4.
Déterminer les séquences les plus courtes qui permettent d’arriver respectivement aux valeurs des factorielles de 6,7,8,9,10,11 et 12.
Michel Lafond a résolu le problème.A noter que ce problème a fait l'objet d'un concours international organisé par Al Zimmermann et qui s'est achevé le 20 avril 2013.
Pb1 ** Je suis un entier naturel de 6 chiffres. On supprime l’un de mes chiffres et le nombre résultant qui ne commence pas par un zéro me divise. On continue le processus en supprimant un chiffre à chaque étape et le nombre résultant qui ne commence jamais par un zéro divise toujours celui qui le précède.On s’arrête quand il reste un seul chiffre et les quotients obtenus par les cinq divisions successives sont tous distincts. Qui suis-je ?
Pb2 *** Je suis un entier naturel de 11 chiffres qui est un multiple de 4.On choisit un certain entier k < 12.On supprime mon chiffre u des unités et on ajoute la quantité ku au nombre amputé à 10 chiffres. On opère de la même manière avec le nombre résultant dont on ampute le chiffre des unités et auquel on ajoute le produit de ce chiffre par le même entier k jusqu’au moment où l’on obtient un nombre premier qui se répète indéfiniment. On recommence ces amputations en série avec cinq autres valeurs de k toutes distinctes et inférieures à 12.A chaque fois, on obtient un nombre premier qui se répète.Qui suis-je ?
Le premier problème a une solution unique : 956250.A l'inverse le deuxième problème, contrairement aux intentions de son auteur, comporte plusieurs solutions. Il y a la solution 99 656 859 644 fondée sur la séquence des cinq nombres premiers se terminant tous par 9: 19,29,59,79,89,109 avec 99 656 859 644 = 4*19*29*59*79*89*109 mais il y a bien d'autres solutions dans lesquelles apparaissent des nombres premiers se terminant par 1 ou 3... Jean-Marie Breton, Philippe Laugerat, Bernard Grosjean,Jean Drabbe, Gaston Parrour,Pierre Henri Palmade,Patrick GordonFabien Petitjean et Antoine Verroken ont résolu l'un et/ou l'autre des deux problèmes.
Dans tout ensemble A de k entiers a1,a2,..ai,...ak strictement positifs deux à deux distincts dont la somme est s, on dénombre tous les couples (i,j), i < j, tels que ai + aj divise s. Avec k prenant respectivement les valeurs 4 et 5, définir les ensembles A pour lesquels le nombre de ces couples est maximal. Source : d’après un problème d’une compétition internationale qui s’est tenue à Amsterdam.
Jean Moreau de Saint Martin,David Amar,Pierre Leteurtre et Patrick Gordon ont résolu le problème. Pour k = 4, on peut avoir au maximum 4 couples avec les 4-uples (1,5,7,11) et (1,11,19,29) à un facteur commun près. Pour k = 5, on peut avoir au maximum 6 couples définis avec les 4 premiers termes pris 2 à 2, le cinquième terme étant égal au PPCM des 6 sommes diminué de la somme des quatre premiers termes.
Problème proposé par Michel Lafond Q1. Placer des parenthèses dans l’expression 1/2/3/4/5/6/7/8/9/10 pour que le résultat soit aussi proche de 1 que possible. Q2. Faire de même avec les entiers de 1 à 20 puis avec les entiers de 1 à 30. Q3. Placer des parenthèses dans l’expression 1/2/3/4/5/6/7/8/9/10/11/12/13/14/15/16/17/18/19/20 pour que le résultat soit aussi proche de 2017 que possible. Nota: "/" représente le signe de la division.
Problème proposé par Michel Lafond Q₁ Trouver les 4 entiers naturels a,b,c et d tels que la somme de leurs inverses est comprise entre 0.999 et 1, bornes exclues. Q₂ Trouver 6 entiers naturels a,b,c,d,e et f tous inférieurs à 1000 tels que la somme de leurs inverses est comprise entre 0.99999999 (8 fois 9) et 1, bornes exclues.
Paul Voyer,Maurice Bauval,Jean Nicot,Patrick Gordon et Michel Lafond ont résolu le problème. Ce dernier a donné une extension du problème en cherchant les sommes de rationnels de la forme sum(ai/bi),ai < bi pour i = 1 à k, qui donnent en fonction de la valeur maximale des bi fixée à l'avance une approximation de l'unité avec le maximum possible de chiffres 9.
1ère énigme Avec les quatre opérations élémentaires +, - , * ,/ et des parenthèses mises en tant que de besoin,à l'exclusion de tout autre symbole tel que exposant,racine carrée, factorielle,... trouver les formules, les plus économiques en nombre de caractères utilisés,qui font intervenir des nombres à un seul chiffre (les concaténations sont donc interdites) et donnent un résultat égal à 2013,respectivement à partir : 1) des neuf chiffres de 1 à 9 pris dans cet ordre.Par exemple pour obtenir 101, on pourrait écrire 101 = (1 + 2 + 3)* 4 - 5*(6 - 7) + 8*9 en utilisant 21 caractères. 2) du plus petit nombre possible de chiffres prélevés dans l'ordre parmi les chiffres de 1 à 9, chacun d'eux étant utilisé une fois et une seule.Par exemple,avec 101 = 2 + (3 + 8)*9, on a utilisé les seuls chiffres 2,3,8 et 9 avec 9 caractères au total. 3) des seuls chiffres qui figurent dans 2013, chacun d'eux étant utilisé autant de fois que nécessaire, 4) d'un seul chiffre choisi dans l'ensemble des chiffres de 1 à 9 et utilisé autant de fois que nécessaire. On retiendra le chiffre qui donne la formule la plus économique.Par exemple, pour obtenir 101 on peut additionner 101 fois le seul chiffre 1 mais cette expression est évidemment très coûteuse avec ses 201 caractères et la formule 101 = 3*3*3*(3 + 3/3) - 3 - 3 - 3/3 écrite avec le chiffre 3 et 21 caractères est plus économique sans être optimale.
2ème énigme Dans le système décimal, je suis un nombre entier N de 4 chiffres. En base 13, je deviens un nombre uniforme c'est à dire que tous les caractères utilisés pour me représenter sont identiques. Mon écriture en base décimale et réinterprétée en base b < 10 correspond à un carré parfait. Que vaut b?
3ème énigme Le millésime 2013 et ses deux successeurs 2014 et 2015 ont une propriété commune que ne partagent jamais quatre entiers naturels consécutifs quelconques. Quelle est cette propriété? 4ème énigme Soient deux suites, l'une constituée de 20 entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à 13 et l'autre de 13 entiers strictement inférieurs ou égaux à 20.Montrer qu'on sait toujours trouver p >0 termes de la première suite et q > 0 termes de la deuxième suite qui ont la même somme.
Trouver Q1 : le dernier chiffre de l’entier P qui est égal à la somme des entiers nn pour n variant de 1 à 2013. Q2 : l’entier k le plus proche de 1000 tel que l’entier Q égal à la somme des entiers nn pour n variant de 1 à k, se termine par 0.
On considère un entier naturel n quelconque supérieur à 10 et dont au moins deux chiffres sont de parités différentes. On lui ajoute l'un de ses chiffres non nul de façon à obtenir une famille de nombres impairs p strictement croissants et on répète l'opération aussi longtemps que possible jusqu'à l'obtention forcée d'un nombre pair. Soit k le nombre d'additions effectuées.
Exemple : n = 43.
1 ère opération : p = 43 + 4 = 47
2 ème opération : p = 47 + 4 = 51
3 ème opération : p = 51 + 5 = 56
On a k = 3.
Démontrer que quel que soit l'entier initial n >10, l'entier k est fini. Quel est l'entier n impair < 2006 pour lequel k est le plus grand ?
Même question si l'entier n est pair < 2006.
J’ai retrouvé dans mes vieilles tablettes la suite complète - écrite de gauche à droite dans un ordre croissant - de toutes les fractions irréductibles (http://fr.wikipedia.org/wiki/Fraction_irréductible ) inférieures à 1 et dont le dénominateur ne dépasse pas 999. Dans cette suite, il y a cinq fractions consécutives dont six numérateurs et dénominateurs repérés par des ? sont devenus illisibles : ?/698, ?/341, 125/ ?, ?/991, ?/ ? . Retrouver ces six termes.
Je suis un entier naturel et j’ai 8 diviseurs y compris 1 et moi-même. Si on me retranche 174, le nombre résultant a deux fois moins de diviseurs que moi et c’est un multiple de 3. A l’inverse, si on m’ajoute 87, le nombre résultant a 28 diviseurs de plus que moi et il est divisible par 70. Qui suis-je ?
Zig affirme qu’il a tracé quatre points dans le plan tels que toutes les distances qui séparent les points pris deux à deux sont des entiers impairs. Puce affirme que c’est impossible. Qui a raison ?
Jean Moreau de Saint Martin,Pierre Renfer,Jean Nicot,Maurice Bauval et Patrick Gordon ont résolu le problème. De leur côté Jean Drabbe et Daniel Collignon ont identifié la source même du problème qui a été posé aux candidats du concours Putnam de décembre 1993 (problème B5) et ont donné les références bibliographiques correspondantes. L'ouvrage de K. Kedlaya édité par la "Mathemical Assocation of America" mentionne cinq solutions dont la plus courte et la plus élégante, trouvée par la plupart de nos lecteurs, est fondée sur le déterminant de Cayley-Menger qui exprime le volume d'un n-simplexe. Quand n = 3,on retrouve la formule de Piero della Francesca qui permet de calculer le volume du tétraèdre en fonction des dimensions des arêtes . Enfin Antoine Verroken se réfère à l'analyse de L.Piepmeyer selon laquelle le nombre maximum D de distances en entiers impairs qui séparent n points dans le plan pris deux à deux est égal à D=n2/3 + r(r-3)/6 avec r = 1,2 ou 3 et n ? r modulo 3.
La somme des diviseurs positifs d'un nombre entier naturel n, y compris 1 et l’entier n lui-même, est traditionnellement appelée « fonction sigma » et notée σ(n). Les sigma de k entiers naturels distincts prennent les quatre valeurs σ – 2 , σ – 1, σ + 1 et σ + 2 avec σ nombre premier < 2014. La plus petite de ces valeurs est multiple de 19 et la plus grande multiple de 31. Déterminer la plus grande valeur possible de k et les k entiers correspondants.
Problème proposé par Michel Lafond Le plus grand nombre premier connu actuellement (mars 2013) est 257885161 - 1. Déterminer ses 10 premiers et ses 10 derniers chiffres (en base 10).
Cet entier n a 31 diviseurs propres* di ,pour i = 1 à 31,qui sont classés par ordre croissant .La somme des carrés des 7ième et 10ième diviseurs est égale au carré du 11ième. Déterminer n. *Nota :Un diviseur de n différent de n est un diviseur propre (ou partie aliquote) de n .
Démontrer que pour tout entier naturel positif, le nombre de ses diviseurs se terminant par 1 ou 9 est supérieur ou égal au nombre de ses diviseurs se terminant par 3 ou 7. Source : D’après une épreuve de sélection de l'équipe suisse aux Olympiades internationales de mathématiques.
Pour tout entier k > 2,on s’intéresse aux suites S(k) non décroissantes de k nombres premiers pas nécessairement distincts tels que le carré du k-ième terme est égal à la somme des carrés des k – 1 autres termes. Q1 Démontrer qu’il n’y a pas de suite S(k) pour k ≤ 5. Q2 Déterminer toutes les suites S(6) et S(8). Q3 Parmi les suites S(7) et S(9) qui ont le plus grand nombre possible de termes distincts, déterminer celles dont le dernier terme est le plus petit possible. Q4 Trouver le plus petit entier k tel que S(k) est constituée exclusivement de nombres premiers distincts. Donner un exemple d’une telle suite.
Source : d’après Olympiades suisses de mathématiques octobre 2013
Trouver les entiers naturels n et les nombres premiers jumeaux p et q (avec q = p + 2) tels que les deux entiers 2n + p et 2n + q sont également des nombres premiers jumeaux.
Diophante joue une partie de bridge. Placé en Sud, il distribue les 52 cartes dans l'ordre Ouest, Nord, Est, Sud, etc... En cours de distribution, il laisse échapper une partie des cartes qu'il a dans les mains.
Il constate que le nombre de cartes qui sont tombées par terre est égal au nombre de cartes déjà distribuées en Nord et que le nombre de cartes qui lui restent en main est égal aux deux tiers du nombre de cartes distribuées en Est.
Combien de cartes a-t-il déjà distribuées en Ouest? Source : d'après J.D.E. Konhauser-Dan Velleman-Stan Wagon (Which Way Did The Bicycle Go)
Il s'agit ici de construire des séquences « CRmin » de nombres entiers à partir des règles suivantes : 1. la valeur initiale doit être impaire non multiple de 3 et supérieure ou égale à 5 2. multiplier cette valeur par 2 jusqu'à obtenir un nombre congru à 1 modulo 3 ( compter le nombres de multiplications par 2 ) 3. retrancher 1 et diviser par 3. Si la valeur obtenue est multiple de 3, revenir à l'étape 2 et multiplier par 4 ( et ajouter 2 au nombre de multiplications ) 4. itérer sur l'étape 2 Soient M le nombre cumulé de multiplications par 2 et D le nombre cumulé de divisions par 3. Un exemple pour illustrer les règles et l'évolution de M et D :
Question 1 : vers quelle limite tend le rapport M / D, quelle que soit la valeur initiale ? Question 2 : à chaque étape 2, on peut augmenter le nombre de multiplications d'un nombre pair ( sous réserve de sauter les cas où le résultat est multiple de 3 ). On pourrait penser que la séquence ainsi modifiée a ensuite partout des valeurs supérieures à celles de la séquence « CRmin » de même valeur initiale. Montrer que cette idée est fausse et qu'il existe des séquences de longueur quelconque qui offrent un rapport M / D inférieur à celui de la question 1.
Zig affirme que : 1) le plus petit entier naturel qui a exactement 1000 diviseurs est plus grand que le plus petit entier naturel qui a exactement 1200 diviseurs. 2) le plus petit entier naturel qui est égal à 2013 fois le nombre de ses diviseurs est plus grand que le double du plus petit entier naturel qui est égal à 2014 fois le nombre de ses diviseurs. 3) il y a au moins deux entiers naturels qui valent exactement 100 fois le nombre de leurs diviseurs. Pour chacun des trois cas, Puce affirme le contraire. Qui a raison ?
Démontrez qu’il existe une suite unique de sept(1) nombres premiers distincts qui ont les propriétés suivantes : - leur produit est un multiple de leur somme, - le nombre total de couples de nombres jumeaux (de la forme p,p+2) ou cousins (p,p+4) ou sexys (p,p+6) est le plus grand possible.
1ère énigme Avec les quatre opérations élémentaires +, - , * ,/ et des parenthèses mises en tant que de besoin,à l'exclusion de tout autre symbole tel que exposant,racine carrée, factorielle,... trouver les formules, les plus économiques en nombre de caractères utilisés,qui font intervenir des nombres à un seul chiffre (les concaténations sont donc interdites) et donnent un résultat égal à 2014,respectivement à partir : 1) des neuf chiffres de 1 à 9 pris dans cet ordre.Par exemple pour obtenir 101, on pourrait écrire 101 = (1 + 2 + 3)* 4 - 5*(6 - 7) + 8*9 en utilisant 21 caractères. 2) du plus petit nombre possible de chiffres prélevés dans l'ordre parmi les chiffres de 1 à 9, chacun d'eux étant utilisé une fois et une seule.Par exemple,avec 101 = 2 + (3 + 8)*9, on a utilisé les seuls chiffres 2,3,8 et 9 avec 9 caractères au total. 3) des seuls chiffres qui figurent dans 2014, chacun d'eux étant utilisé au moins une fois et autant de fois que nécessaire,4) d'un seul chiffre choisi dans l'ensemble des chiffres de 1 à 9 et utilisé autant de fois que nécessaire. On retiendra le chiffre qui donne la formule la plus économique.Par exemple, pour obtenir 101 on peut additionner 101 fois le seul chiffre 1 mais cette expression est évidemment très coûteuse avec ses 201 caractères et la formule 101 = 3*3*3*(3 + 3/3) - 3 - 3 - 3/3 écrite avec le chiffre 3 et 21 caractères est plus économique sans être optimale.
2ème énigme Dans le système décimal, je suis un entier à quatre chiffres. Dans une certaine base b, je m'écris 3010. Dans la base b + 7, je deviens 540. Quelle est mon écriture en base b + 1?
3ème énigme Je suis un nombre entier n. Moi-même, l’entier qui me suit n + 1 ainsi que notre somme 2n + 1 avons en commun d'avoir quatre chiffres et d'être égaux au produit de trois nombres premiers distincts inférieurs à 100. La somme des nos neuf facteurs premiers est un nombre palindrome.Qui suis-je?
4ème énigme J'appartiens à trois suites d'entiers S1, S2 et S3 qui ont les caractéristiques suivantes: S1 : le terme a(n) est égal à la somme de n nombres triangulaires consécutifs dont le premier vaut T(n) = n(n+1)/2.Les premiers termes sont a(0) = 0, a(1) = 1, a(2) = 3 + 6 = 9,etc... S2 : si le terme a(n) prend la valeur k, alors a(n+1) est égal au kième nombre entier composé dans la suite des entiers naturels 1,2,3,... .On a a(0) = 1, a(1) = 4, a(2) = 9,etc... S3 : leterme a(n) est égal au nombre de quadruplets d'entiers naturels pas nécessairement distincts {w,x,y,z} choisis dans {1,2,...,n} tels que wx + yz ? n2.On a a(0) = 0, a(1) = 0, a(2) = 9,etc... Qui suis-je? Quel est mon rang dans chacune des trois suites?
Soient trois entiers naturels positifs a,b et c. Q1 On désigne par : - p le rapport du ppcm de a,b et c au PGCD de ces mêmes entiers, - q le rapport du produit des trois ppcm des entiers a,b, et c pris 2 à 2 au produit de ces trois entiers. - r le rapport du produit des trois ppcm des entiers a,b et c pris 2 à 2 au produit des trois PGCD de ces entiers pris également 2 à 2, Démontrer que r = p2 = q2 Q2 Par hypothèse on a les relations : ppcm(a,b,c) = 14700, PGCD(a,b) = 6, PGCD(a,c) = 15 et ppcm(b,c)=2940 Sachant que c > a > b > 20, déterminer a,b et c Nota : PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) et ppcm (plus petit commun multiple).
Problème proposé par Michel Lafond On appelle squelette d’un nombre entier n ? 2 la suite croissante des exposants de sa décomposition en facteurs premiers. Ainsi, si p,q,r sont des nombres premiers distincts alors p a pour squelette [1], p2 a pour squelette [2], pq a pour squelette [1,1], 2016=7 x 32 × 25 a pour squelette [1, 2, 5] etc. On appelle persistance d’un squelette s le nombre maximal d’entiers consécutifs ayant le squelette s. Q? : Trouver 10 entiers consécutifs de squelettes tous différents. Q? : Calculer la persistance notée ?(s) de chacun des squelettes suivants : [1,1], [1,2], [1,3], [2,2], [1,1,1], [1,1,2] et [1,1,1,1].
n étant un entier plus grand que 2, on retire n nombres dans l'ensemble des entiers de 1 à n2. Peut-on toujours trouver dans les entiers restants n nombres en progression arithmétique (O.P.A.) (1) ?
<strong>Problème proposé par Dominique Roux</strong><br /><br />n étant un entier plus grand que 2, on retire n nombres dans l'ensemble des entiers de 1 à n<sup>2</sup>. Peut-on toujours trouver dans les entiers restants n nombres en progression arithmétique (O.P.A.) (1) ?<br /><br />(1) O.P.A. Omniprésente Progression Arithmétique<br /><br />
Pour tout entier positif n on désigne par τ(n) le nombre de diviseurs de n, y compris 1 et lui- même. Q₁ Pour chacune des valeurs de k = 2,3,4,5,6,7 existe-t-il ou non un entier n tel que τ(n²) = k.τ(n) ?(**) Q₂ Montrer qu’il existe au moins un entier n tel que τ(n²) = 2015.τ(n) (***) Pour les plus courageux : Déterminer tous les entiers k pour lesquels il existe un entier n tel que τ(n²) = k.τ(n).(****) Source : problème proposé par la Biélorussie à une Olympiade Internationale de Mathématique.
L’ordre dans lequel on traite les deux questions est libre: - Vérifier que le carré de la somme des nombres ni de diviseurs des diviseurs di de 2310 est égal à la somme des cubes des ni. - Démontrer que le carré de la somme des nombres ni de diviseurs des diviseurs di d’un entier n quelconque positif est égal à la somme des cubes des ni . Exemple : pour n = 15, les quatre diviseurs di sont 1,3,5 et 15 et les nombres ni correspondants sont 1,2,2,4..
On dit qu'un nombre est chanceux s'il peut s'obtenir
comme la somme d'entiers positifs pas nécessairement distincts entre
eux tels que la somme de leurs réciproques est égale à 1. Par exemple
11 est chanceux car 11 = 2 + 3 + 6 et =1. A l'inverse 7 n'est pas chanceux.
2006 est-il un nombre chanceux ?
Pour les plus audacieux : combien y-a-t-il de nombres malchanceux ?
On écrit quatre progressions arithmétiques ayant pour raisons quatre entiers distincts inférieurs à 12, pour premier terme 1 etpour dernier terme 10n (la valeur de l’entier n le permet). Puis on calcule les sommes respectives S1,S2,S3 et S4 de leurs termes. Q1 Démontrer que quels que soient les choix de n et des quatre raisons, un certain chiffre n’apparaît jamais dans l’une quelconque de ces quatre sommes. Q2 Trois chiffres distincts apparaissent chacun 2014 fois dans l’ensemble des quatre sommes. Déterminer n et les quatre (bonnes) raisons.
Pour une fraction rationnelle r < 1,on recherche la plus courte séquence de k entiers positifs distincts ai,i = 1,2,...k, tels que le produit des k nombres 1 – 1/ai est égal à r. On désigne par n(r) le nombre de termes de cette séquence.Par exemple pour r = 4/9 , on a n(r)=2 avec a1= 2 et a2 = 9 qui vérifient l’équation (1 – 1/2).(1 – 1/9) =4/9. Démontrer que n(41/2013) = n(41/2014) = n(41/2015). Justifier la réponse en donnant la valeur commune ainsi que les termes de chacune des trois séquences.
Pour les plus courageux disposant d’un automate . Trouver au moins un entier m ? multiple de 41 et > 1 tel que n(m/2013) = n(m/2014) = n(m/2015).
est divisible par 6 ?
dont le déterminant est égal à 2.
avec k et p entiers , ont tous la propriété P(0). [****]
n ?
=1. A l'inverse 7 n'est pas chanceux.
