Montrer que les trois aiguilles d'une montre avec trotteuse ne forment jamais une étoile parfaite (angles de 120°).

Problème paru dans La Jaune et la Rouge d'août-septembre 2011

paru en mai 2002 dans La Jaune et la Rouge

 

 

 

On appelle fractions égyptiennes les fractions de numérateur 1.

 a/ Trouver des entiers (distincts ou non) a,b,c vérifiant 1/a²+1/b²+1/c²=1/4.

b/ J'appelle ``bon n-uplet'' une collection de n entiers (distincts ou non) dont la somme des inverses des carrés vaut 1.

Pour quelles valeurs de n existe-t-il un ou des bons n-uplets?

Problème paru dans La Jaune et la Rouge  de février 2013

 Comme chacun sait, les Martiens n'ont que 4 doigts à chaque main et, en conséquence, comptent en base 8 et non 10.
Dans la division de 7654321 par 1234567 faite par un Martien, quel est le quotient et quel est le reste ?

Problème paru dans La Jaune et la Rouge  d'avril  2011

Je considère l'ensemble S des nombres réels positifs dont l'écriture en base 10 utilise seulement les chiffres 0 et 7. Montrer que tout nombre réel positif est somme de 9 (au plus) éléments de S (distincts ou non).

Problème paru dans La Jaune et la Rouge d'avril 2004

 J'appelle ``nombre joli'' un nombre entier, strictement positif, dont les chiffres (en écriture décimale) sont tous différents et vont strictement en croissant de gauche à droite.
a) Combien existe-t-il de nombres jolis ?
b) Combien sont multiples de 11 ?

Problème paru dans La Jaune et la Rouge d'août-septembre 2006

 

 

a) Exprimer 2004 à l'aide des chiffres 1 à 9 utilisés isolément dans n'importe quel ordre avec les seuls opérateurs + et x comme si les opérations étaient réalisées sur une calculette ordinaire (par exemple :3 + 4 x 5 = 7 x 5 = 35).

b) Même question avec les chiffres 1 à 9 utilisés isolément dans l'ordre et les opérateurs +, - , x , / , puissance (^), racine carrée , factorielle (!). Les parenthèses sont admises.

c) Même question en supprimant successivement un chiffre de 1 à 9 et en utilisant les autres chiffres toujours dans l'ordre avec les opérateurs de b). Il s'agit de trouver 9 formules qui utilisent le moins de symboles possibles. d) Exprimer 2004 en utilisant de façon répétitive un seul chiffre (de 1 à 9) ainsi que les opérateurs +, - , x , / , ^ et factorielle( !). Les parenthèses sont aussi admises.

Trouver une partition de 2004 sous la forme de nombres entiers a, a,...,a,... tels que S[a]=2004 et S[1/a)]=1

Depuis minuit, les aiguilles sur l'horloge se sont croisées pour la 2004ème. Quelle heure est-il ?
Nota : lorsque les trois aiguilles se croisent en même temps, on ne compte qu'un seul croisement.

0,000 499 001..

L'expression ci-dessus représente l'inverse de 2004, en écriture décimale. Quelle est sa 2004ème décimale ?

2004 cartes numérotées de 1 à 2004 sont placées sur la circonférence d'un cercle dans cet ordre. Partant de la carte n°1, on supprime la carte n°2, puis la carte n°4 etc? puis la carte n°2004 puis on continue le processus en éliminant toujours une carte sur deux. Quel est le numéro de la dernière carte restante ?

2004 cartes numérotées de 1 à 2004 sont placées faces visibles sur la circonférence d'un cercle dans cet ordre. Dans un premier temps, partant de la carte n°2 on retourne une carte sur deux ,c'est à dire la n°2,puis la n°4,la n°6.....

Dans un deuxième temps, partant de la carte n°3 on retourne une carte sur trois, c'est à dire la n°3, puis la n°6, la n°9,....

A la 1002ème, on retourne la carte n°1002 puis la carte n°2004.

A la 1003ème, on retourne la carte n°1003?

A la dernière étape on retourne la carte n°2004.
Quelles sont les cartes dont les numéros sont visibles ?

Existe-t-il un entier N tel que 2004*N=222222....2222 ? Si oui, quel est le nombre de chiffres de N?

Une calculette est en panne. Il est seulement possible d'utiliser les touches +, - , = et 1/x (fonction inverse). Toutes les touches numériques ainsi que la mémoire fonctionnent. Comment calculer le produit 176 * 12 qui est égal à 2004 ?

Quels sont les côtés du plus petit triangle dont le périmètre et l'aire sont des multiples de 2004 ?

On considère 2 cercles C(1) et C(2) de rayon unité tangents entre eux et à l'axe des abscisses. On construit le cercle C(3) tangent à l'axe des abscisses et à C(1) et C(2)., puis le cercle C(4) tangent à C(2) ,C(3) et à l'axe des abscisses,... puis C(n) tangent à C(n-2) et C(n-1).... Si les abscisses des centres de C(1) et C(2) sont respectivement 0 et 2, quel est le rayon du cercle C(2004) et l'abscisse de son centre ?

Il y a plusieurs siècles, une bande de 2004 voleurs fut arrêtée parmi lesquels se trouvait le fils du roi. Ils furent jetés en prison avec un matricule pour chacun, le fils du roi le numéro 1et le chef de bande portant le numéro 2. Après un procès plus qu'expéditif, ils furent condamnés à la pendaison mais le roi décida une mesure de clémence faite sur mesure pour son fils. « Demain, proclama-t-il, tous les prisonniers portant leur matricule sur le dos seront transférés dans la cour de la prison et placés sur les 2004 sommets d'un polygone régulier spécialement tracé à cette occasion. Je partirai du numéro 1 qui sera libéré (comme par hasard !) puis je compterai 1 sommet dans le sens des aiguilles d'une montre et le prisonnier qui se trouve placé à ce sommet sera libéré. Partant du matricule k affiché par cet homme, je compterai k sommets toujours dans le sens des aiguilles d'une montre et je désignerai ainsi un troisième prisonnier qui sera libéré et ainsi de suite?mais si dans mes comptages successifs, j'arrive à un sommet vide car le prisonnier qui s'y trouvait a été libéré, alors tous les prisonniers restants seront pendus.

Le chef de bande qui n'était pas sot cogita une bonne partie de la nuit et le lendemain matin il fit en sorte que les prisonniers puissent se placer sur les sommets du polygone selon un ordre qu'il avait soigneusement calculé. Tous les prisonniers y compris lui-même furent libérés. Comment a-t-il fait ? Quand fut-il libéré ?

PS Il est conseillé de commencer le problème avec une bande à effectif réduit?

2004 nombres entiers relatifs (<0,=0 ou >0) dont la somme est égale à 1,sont placés sur les sommets d'un polygone régulier. Existe-t-il un sommet de ce polygone tel qu'en collectionnant dans le sens des aiguilles d'une montre les nombres adjacents, la somme cumulée de ces nombres soit toujours positive jusqu'au ramassage du dernier ?

Quels sont les 4 derniers chiffres de  où "2004" apparaît 2004 fois dont 2003 fois en tant qu'exposant?

On rappelle que les exposants consécutifs sont calculés du haut vers le bas.

Par exemple est égal à

On considère le nombre N obtenu par la juxtaposition dans l'ordre descendant des entiers 2004,2003,...jusqu'à 1.Trouver au moins un facteur premier de N.

Dans l'ensemble des entiers naturels de 1 à 2004, on définit le sous-ensemble E tel qu'aucun d'eux ne soit le double d'un autre. Quelle est la taille maximale de E?

Quelle est cette taille si un nombre quelconque de E n'est jamais le triple d'un autre ? ni le double ni le triple d'un autre ?

On considère une suite de nombres entiers tous positifs tels que la somme d'un terme quelconque (autre que le dernier) et du quadruple du terme voisin de droite est toujours égale à 2004. Quel est le nombre maximum de termes de la suite ?

2004 et la séquence croissante des PGCD (plus grands communs dénominateurs)

Quelle est la plus longue séquence possible strictement décroissante d'entiers positifs dont le premier terme est 2004 et dont les PGCD des termes consécutifs pris 2 à 2 sont strictement croissants?

Sur un grand damier de jeu, on dispose de N=2004 pions blancs qui deviennent noirs quand on les retourne. On choisit un nombre P=19 et l'on retourne P pions autant de fois que nécessaire de manière à n'avoir que des pions noirs. Est-ce possible? Si oui, quel est le nombre minimum de retournements nécessaires ?

Noir ou blanc ?

Sur ce même damier, 2004 pions sont répartis en 1002 pions blancs et 1002 pions noirs et on convient des opérations suivantes : deux pions de la même couleur sont remplacés par un pion blanc et deux pions de couleurs différentes sont remplacés par un pion noir. On répète ces opérations jusqu'à ce qu'il ne reste plus qu'un pion Existe-t-il un processus qui permet de n'avoir qu'un seul pion blanc ?

Qu'en est-il si la répartition initiale est de 1003 pions blancs et 1001 pions noirs ?

Trouver les entiers A et B tels que le nombre N défini par la concaténation de A et B encadrant 2004 soit un multiple de 2004 le plus petit possible.

Trouver les plus petits entiers A et B tels que A/B = 2,00420042004200420042....

On écrit les entiers 2004,2003,... les uns à la suite des autres en ordre décroissant jusqu'à 1. On veut restituer l'ordre croissant 1,2,3, ..2003,2004 en adoptant le mode opératoire suivant : on choisit un nombre k de la séquence et on le déplace de k cases en partant de son voisin de droite. Si lors du déplacement on arrive à la fin de la séquence, on poursuit le décompte en partant de la première case. Le nombre k prend alors sa place d'arrivée et le nombre chassé prend la place qu'avait le nouveau venu. Par exemple dans la séquence 2,5,1,3,4 le déplacement du chiffre 3 amène ce dernier à la place du chiffre 5 et la nouvelle séquence s'écrit 2,3,1,5,4.

Quel est le nombre minimal de déplacements qui permet de reconstituer la séquence croissante de 1 à 2004 ?

Trouver le plus petit nombre qui a strictement 2004 diviseurs y compris 1 et lui-même.

 ``Ce soir, dit Dunabla, je fête mon anniversaire et celui de mon fils. C'est un anniversaire particulier, car en écrivant côte à côte son âge et le mien, on obtient un nombre palindrome. Mais ce n'est pas la première fois, ni la dernière, j'espère''.
Que pouvez-vous en déduire, sachant que Dunabla fils a plus de 10 ans :
-- sur l'âge qu'avait Dunabla à la naissance de son fils ?
-- sur les intervalles entre ces anniversaires ``particuliers'' ?


Problème proposé par Albert Bourrel, paru dans La Jaune et la Rouge de mars 2006

 

 

Quelles années ont 3 vendredis 13 au XXI^e siècle ?

Problème paru dans La Jaune et la Rouge de mars 2004

 

a/ Montrer que, dans toute séquence de 14 entiers consécutifs, il y a un entier premier avec 2310.

b/ Trouver les séquences de 21 entiers consécutifs dont aucun terme n'est premier avec 30030.

 

 Problème paru dans La Jaune et la Rouge d'octobre 2013

 J'appelle ``guillotiné'' d'un nombre entier le nombre obtenu en enlevant le chiffre de gauche et en le réécrivant à droite. Cette opération peut être répétée, donnant les guillotinés successifs, jusqu'à reconstituer le nombre de départ. On demande de trouver un nombre de 6 chiffres tel que ses 5 guillotinés soient des multiples distincts de ce nombre.


Problème paru dans La Jaune et la Rouge d'août-septembre 2003

 

 

 Reconstituez la multiplication ci-dessous, sachant qu'elle utilise seulement les chiffres 2, 3, 5 et 7.









Problème proposé par Xavier Cognat, paru dans La Jaune et la Rouge d'avril 2004

 

 

 Le produit 1.2.3...99.100 se termine par un certain nombre de zéros, mais quel est donc son dernier chiffre non nul ?
Même question pour 2005!=1.2...2004.2005.

Problème proposé par Pierre Chemillier, paru dans La Jaune et la Rouge de mai 2005

 

 

 Un parallélépipède rectangle dont la hauteur est égale à la diagonale du rectangle de base est exactement constitué de dés cubiques de 1 cm de côté. La surface du rectangle de base est égale au produit de 311850 par un nombre premier inconnu. Calculer la hauteur du parallélépipède.

Note historique.
Ce problème a été proposé par Antoine de Saint-Exupéry à Max Gelée, lui aussi pilote des Forces Françaises Libres, le 15 juillet 1944, en le mettant au défi de le résoudre en moins de 3 jours et 3 nuits blanches.
On a pu croire perdu ce ``problème Gelée de théorie des nombres'' (transformé par la rumeur en ``théorie des nombres gelés de Saint-Exupéry'' !), mais Max Gelée avait pris soin d'en déposer le manuscrit à l'Ecole de l'Air, où il a été retrouvé par L.-G. Vidiani après trois ans et huit mois de ``traque'' opiniâtre.

Problème paru dans La Jaune et la Rouge d'octobre 2005

 

 

 On choisit n+1 entiers distincts entre 1 et 2n. Montrer qu'on peut en trouver deux tels que l'un soit multiple de l'autre.

Problème paru dans La Jaune et la Rouge de mai 2006

 

 

Trouver deux nombres entiers à cinq chiffres chacun qui utilisent les dix chiffres de 0 à 9 une fois et une seule et dont le quotient est respectivement égal à 2,3,4,5,6,7,8 et 9.

 Une photo prise juste après le match montre côte à côte 3 joueurs portant les numéros 1, 3 et 6. La photo donne à voir un nombre de 3 chiffres multiple de 7. Quel est ce nombre ?

Problème paru dans La Jaune et la Rouge de juin-juillet 2007

 

 

 C'est celle de Pierre Leca (pseudonyme d'un camarade) : il calcule de tête le 2006e chiffre du quotient de la division de A (nombre qui s'écrit avec 2718 chiffres 1) par B=12345678987654321.
Sauriez-vous en faire autant~?

Problème paru dans La Jaune et la Rouge de novembre 2006

 

 

Soient k nombres entiers de 4 chiffres, en progression géométrique. Si k est le plus grand possible, quelle est la valeur maximum du plus grand de ces nombres ? Et avec des nombres de 7 chiffres ?

Problème paru dans La Jaune et la Rouge d'avril 2010

 Il s'agit d'obtenir un résultat donné, en n'utilisant que certains chiffres (les signes mathématiques, eux, ne sont pas rationnés).
a) Ecrire 71 avec un chiffre 7 et un chiffre 1, cela va de soi ; mais avec les mêmes chiffres (7 et 1, une fois chacun) pouvez-vous trouver une autre expression mathématique de valeur 71 ?
b) Obtenir 11 avec deux chiffres 2 et un chiffre 7, c'est facile, par exemple 2+2+7 ; mais avec deux chiffres 7 et un chiffre 2 ?
c) Obtenir 257 avec trois chiffres 1 et un chiffre 8.
d) Obtenir 181 en utilisant seulement un 2, un 5 et un 7.

 

 

Un nombre parfait est un entier égal à la somme de ses parties aliquotes (ses diviseurs à l'exception de lui-même) ; exemple : $6=1+2+3$. On en connaît actuellement 48, tous pairs, la plupart très grands. Montrez qu'un nombre parfait impair, s'il existe (on s'interroge à ce sujet depuis l'Antiquité), est décomposable en somme de deux carrés.

 

Problème paru dans La Jaune et la Rouge de février 2015

 

 

 

 

 Soit M(n) le PPCM des entiers de 1 à $n$.
a) Caractériser les valeurs de n pour lesquelles M(n)=M(n-1).
b) Pour quelles valeurs de m existe-t-il m entiers consécutifs tels que
M(n+1)=M(n+2)=M(n+3)=\ldots =M(n+m) ?

Problème proposé par Les Reid (http://people.missouristate.edu/lesreid/POW07_03.html) repris de l'Olympiade australienne, paru dans La Jaune et la Rouge  d'octobre 2011

Reconstituez cette addition
a+b+c+d=e,
sachant que tous les nombres sont des nombres premiers, et qu'aucun chiffre n'y figure plusieurs fois.

Problème des quarts de finale du championnat 2008 des jeux mathématiques et logiques, paru dans La Jaune et la Rouge de janvier 2009

Montrez que la suite d'entiers 2009, 20092009, 200920092009, 2009200920092009,etc... contient une infinité de multiples de 101.

Problème paru dans La Jaune et la Rouge de novembre 2009

 Dans les premiers membres des neuf égalités ci-dessous, une tornade blanche a effacé les signes mathématiques, n'épargnant que les chiffres. Rétablissez ces égalités.













Problème proposé par Jean-Paul Passelaigue, paru dans La Jaune et la Rouge de novembre et de décembre 2008

 

 

On rappelle qu'une fraction égyptienne est une fraction dont le numérateur est 1 et le dénominateur est un entier positif. Trouver le plus grand nombre possible de fractions égyptiennes dont le dénominateur est strictement inférieur à 100 et dont la somme est égale à 1.Qu'en est-il si l'on admet un dénominateur inférieur ou égal à 100 ?
Source : d'après la revue Tangente juin-juillet 1998 - Concours annuel (question n°5)

Déterminer trois entiers a,b,c positifs, tels qu'aucun ne divise les deux autres et que

PPCM(b,c)PPCM(c,a)PPCM(a,b) = abc.PGCD(a,b,c) avec a+b+c minimum.

 

Problème paru dans La Jaune et la Rouge de février 2018

 

 

 

 

A chaque entier n je fais correspondre s(n), somme de ses chiffres en écriture décimale.

Si N=4444⁴⁴⁴⁴, que vaut s(s(s(N))) ? (à faire de préférence de tête, et en tout cas sans ordinateur ni calculette)

source : Stan Wagon

paru en octobre 2010 dans La Jaune et la Rouge

 

 

 En Grèce, les plaques d'immatriculation des voitures sont composées de trois lettres majuscules suivies d'un nombre à 4 chiffres.
Sous ce système, combien de véhicules pourront-ils au total être immatriculés ?

Problème proposé par Didier Maillard, paru dans La Jaune et la Rouge de mars 2011

 a) Les nombres triangulaires sont de la forme t_k=k(k+1)/2. 2011 n'est pas un nombre triangulaire ; combien faut-il ajouter de nombres triangulaires, au moins, pour obtenir 2011 ? Trouver les décompositions de 2011 en ce nombre minimum de nombres triangulaires.
b) Si 2011 est la somme de nombres triangulaires distincts, quel est le plus grand nombre de termes de  cette somme ?
c)  proposé par Olivier Baudel
Soit r le nombre rationnel : r = 1/500 + 1/501 + 1/502 +  .... + 1/1508 + 1/1509 + 1/1510 + 1/1511$.
On écrit r comme fraction irréductible p/q. Montrer que p est divisible par 2011.

Problème paru dans La Jaune et la Rouge  de février 2011

 De combien de façons peut-on écrire 2010 comme somme de trois carrés ?
Ecrire 2010 comme somme de cubes avec le minimum de termes.

Problème paru dans La Jaune et la Rouge de janvier 2010

On rappelle qu'une fraction égyptienne est une fraction dont le numérateur est 1 et le dénominateur est un entier positif.

Exprimer les fractions 1/n pour n=2,3,4,...,10 comme somme d'un nombre fini de carrés de fractions égyptiennes distinctestelle que k reste inférieur ou égal à 100.

PS: On élimine les solutions triviales et 1/4 = 1/2 et 1/9 = 1/3

En écrivant trois nombres entiers et leur somme (qui a 4 chiffres), j'ai utilisé une fois et une seule chacun des chiffres de 0 à 9. Quelle peut être cette addition ?

 

 

Problème proposé par Ken Duisenberg, paru dans La Jaune et la Rouge de mars 2019

 

 

 

 

 

Dans la formule 1+2+3+4+5+6+7+8+(9*10-11)*(12+13) = 2011, les 13 premiers entiers  interviennent dans l'ordre. Michel Dorrer propose d'obtenir 2012 avec  la même contrainte (entiers de 1 à n figurant dans l'ordre) et n aussi petit que possible. On a droit aux 4 opérations plus mise en exposant, racine carrée et factorielle, et on peut introduire des parenthèses à volonté.
Voici une solution à 13 entiers : 1+2-3!+4*(5+6)*7-8+9-10+11*12*13=2012, mais on peut faire avec beaucoup moins.

Problème  paru dans La Jaune et la Rouge  d'octobre et novembre 2012

On donne deux entiers a et b, strictement supérieus à 1 et premiers entre eux. Dans une liste des entiers strictement positifs, sont démasqués les entiers n=ax+by avec x et y positifs ou nuls. Combien reste-t-il d'entiers masqués ?

 

Problème proposé par Roger Lassiaille, paru dans La Jaune et la Rouge de juin-juillet 2015

 

 

 

 

Sur l'annuaire des marées 2013 de mon lieu de vacances, la pleine mer est à la même heure le 14 juillet et le 25 décembre. C'était déjà le cas l'an dernier. Faut-il s'en étonner ?

 

 

 Problème paru dans La Jaune et la Rouge de novembre 2013

 

1) Décomposer l'entier 1 en un nombre minimal de fractions égyptiennes de dénominateurs exclusivement impairs. On retiendra la décomposition dans laquelle le plus grand des dénominateurs des fractions égyptiennes sera la plus petit possible.

2) Décomposer l'entier 1 en fractions égyptiennes de dénominateurs impairs avec la plus petite valeur possible pour le plus grand des dénominateurs.

Diophante à son ami Hippolyte :
- Pense à un nombre entier compris entre 1 et 5000 et indique moi dans l'ordre les restes des divisions de ce nombre par 11, 17 et 31. Je te dirai quel est le nombre que tu as choisi.
- Mes restes sont respectivement 2,15 et 20
- Ton nombre est 2004.
- C'est exact. Comment as tu fait pour être aussi rapide ?
Quelle est la formule « magique » de Diophante qui lui a permis d'étonner son ami ?

Source : d'après l'ouvrage Mathemagic, Royal V.Heath, Editions Dover

Ecrire 2020 comme somme de deux carrés, de plusieurs façons.

Ecrire 2020 comme somme de deux nombres triangulaires.

Montrer que 2020 n'est ni somme, ni différence de deux cubes.

 

Problème paru dans La Jaune et la Rouge de janvier 2020

 

 

 

 

Quel est le plus petit nombre entier N à k chiffres (k=2,3,4,5,6,7) dont les k premiers chiffres de la représentation binaire sont identiques à N ?

Le directeur financier de la société Caquarante qui publie des comptes mensuels met en avant la bonne santé de la société car les résultats calculés sur douze mois glissants sont toujours positifs. Un analyste financier affirme qu'il n'en est rien car ces mêmes résultats calculés sur neuf mois glissants sont toujours en perte. Quelle est la durée maximale D de la période sur laquelle ces deux affirmations sont vraies.

Quelle est la durée D si les annonces de l'un et l'autre sont faites respectivement pour des périodes de 12 et x mois avec x entier 2 ?

Généraliser avec des périodes glissantes de p mois au cours desquelles les résultats cumulés sont toujours strictement positifs et des périodes glissantes de q mois (avec q<p) au cours desquelles les résultats cumulés sont toujours strictement négatifs. Quelle est en fonction de p et q, la durée maximale de la période au cours de laquelle ces résultats restent compatibles.

Ce principe mis en évidence par le mathématicien Dirichlet, appelé en France principe des tiroirs et en anglais « pigeonhole principle », s'énonce très simplement : si on range (n+1) objets dans n tiroirs, alors un tiroir au moins contiendra au moins deux objets. Les anglophones disent : "si (n+1) pigeons se retrouvent dans un pigeonnier de n lucarnes, deux pigeons vont se retrouver nécessairement dans la même lucarne".

On peut étendre la formulation du principe en considérant un plus grand nombre d'objets : c'est ainsi que si on range (2n+1) objets dans n tiroirs, alors un tiroir au moins contiendra au moins trois objets et de manière générale, si on range (kn+1) objets dans n tiroirs, alors un tiroir au moins contiendra au moins k + 1 objets, ce qui peut encore s'écrire : si on range p objets dans n tiroirs, alors un tiroir au moins contiendra q objets, où q est la valeur entière éventuellement approchée par excès du quotient p/n.

Ci-après un recueil de différents exercices faisant appel à ce principe très puissant et basés sur les nombres.

Problème N°1

Montrer que parmi 101 nombres entiers distincts, il existe toujours 11 d'entre eux dont la somme est divisible par 11

Problème N°2

Un médecin prescrit à son patient de prendre 100 pilules de XXX pendant 9 semaines consécutives à raison d'une pilule au moins par jour. Il n'y a aucune contre-indication sur le nombre maximum de pilules à ne pas dépasser dans une journée. Montrer que pendant les 9 semaines, il existe toujours une période au cours de laquelle le patient prendra :5 pilules,10 pilules,...,5N pilules

Jusqu'où peut aller l'entier N ?

Problème N°3

On choisit un carré parfait N² et on choisit N nombres entiers distincts parmi les entiers de 1 à N² . Pour quelles valeurs de N est-on certain de pouvoir extraire de ces N nombres deux ensembles disjoints de même somme ?

Problème N°4

501 nombres différents sont choisis parmi les entiers de 1 à 1000. Montrer qu'il existe toujours au moins un couple de nombres tel que l'un des termes divise l'autre.

Problème N°5

Montrer qu'il existe une puissance de 73 qui se termine par 2004 fois le chiffre 0 suivis du chiffre 1 : ....(2004 fois le chiffre 0)..0001.

Problème N°6

On constitue l'ensemble S à l'aide de 102 nombres entiers distincts choisis parmi les entiers de 1 à 200. Montrer qu'il existe au moins 2 éléments de S dont la somme appartient S.

Problème N°7
Est-il possible que le produit de cinq nombres entiers consécutifs soit un carré parfait ? Si oui, donner au moins un exemple.

Sources : d'après Martin Gardner Pour la Science n°36 octobre 1980 et nombreuses revues françaises et anglo-saxonnes sur le sujet.

Quelle est la plus longue séquence possible strictement décroissante d'entiers positifs dont le premier terme est 2004 et dont les plus grands communs dénominateurs (PGCD) successifs des termes consécutifs pris 2 à 2 sont strictement croissants ?

Trouver le plus grand nombre possible de fractions irréductibles distinctes dont le numérateur est un nombre premier inférieur à 100 et dont la somme est égale à 1.

Source : Revue Tangente n° 69-70 août-septembre 1999 -  Concours annuel - Question n°6

 Comme dans le problème A10144, on appelle ``guillotiné'' d'un nombre entier le nombre obtenu en enlevant le chiffre de gauche et en le réécrivant à droite.
-- Quel est le plus petit entier égal à 26 fois son guillotiné ?
-- Quel est le plus petit entier égal à 27 fois son guillotiné ?


Problème proposé par André Cecchini, paru dans La Jaune et la Rouge de février 2004

 

 

Une station météo locale fournit les données de la pluviosité journalière pour les mois de septembre, octobre et novembre. La quantité d'eau tombée chaque jour est donnée arrondie au millimètre. Les hauteurs d'eau journalière de ces trois mois sont ordonnées de 0 mm pour les jours sans pluie à 9 mm qui est la hauteur d'eau journalière la plus élevée.

Le nombre de jours sans pluie durant ces trois mois est un nombre premier.

Le nombre de jours où il est tombé moins de 2 mm d'eau est également un nombre premier.

De même, les nombres de jours où il est tombé moins de 3mm, moins de 4 mm, moins de 5 mm, moins de 6 mm, moins de 7 mm, moins de 8 mm et moins de 9 mm, sont tous des nombres premiers.

Notons enfin que la hauteur d'eau totale, exprimée en mm, est encore un nombre premier.

Combien y a-t-il eu de jours sans pluie ?

Source : Brain Barwell - Journal of Recreational Mathematics 1994

On considère les entiers naturels commençant par 4 chiffres ABCD et se prolongeant par les entiers à 4 chiffres de la forme BCDE,CDEF,DEFG,...ou à 3chiffres si B est nul dans BCDE ou si C est nul dans CDEF.... tels que chacun d'eux soit un multiple d'un même nombre premier p.

Quelles sont les séquences les plus longues pour p = 11, 13, 17, 19,23,29,31,37? Quelles séquences aboutissent à des boucles?

Source : d'après Mathpuzzle.com (avril 2004)

Une suite de 2004 entiers a été constituée depuis l'an 1 et satisfait la relation  . On constate que les cumuls des termes à fin 1998, fin 1999 et fin 2003 valent respectivement 1998, 1999 et 2003.

Que vaut le cumul à fin 2004 ?

On considère le produit p(n) de tous les chiffres composant les entiers 1,2,...n en excluant les chiffres 0 qui peuvent apparaître. Ainsi p(10)=1 ; p(13)=3 ; p(35)=15 ; p(809)=72.
Sans l'aide d'un ordinateur, évaluer somme[p(n)] pour n=1 à 999 999.

Source : Les Reid - Problem Corner - South West Missouri University

Trouver un ensemble de cinq nombres entiers tels que le plus grand commun diviseur de deux quelconques d'entre eux soit égal à leur différence. Par exemple, un ensemble de trois éléments (10,12,15) a la propriété demandée car PGCD(10,12) = 2 = 12 -  10, PGCD(10,15) = 5 = 15  - 10 et PGCD(12,15) = 3 = 15  - 12.

Source : Les Reid - Problem Corner - South West Missouri University 

Quel est l'entier positif a qui « avale » les racines cubiques en donnant une valeur entière à l'expression ?
Source : Hojoo Lee - Problems in Elementary Number Theory n° G30

Sachant que 34 ! s'écrit avec 39 chiffres: 295232799 cd96041408476186096435 ab000000, que valent a, b, c, d ?

Source : Hojoo Lee - Problems in Elementary Number Theory n° G1

Question n°1

On dispose de trois conteneurs qui ont chacun une capacité de 50 litres. Le premier contient 3 litres d'eau, le second 8 litres et le dernier 23 litres. On adopte la règle suivante : on peut verser le contenu d'un conteneur dans un autre à la seule condition de doubler le volume d'eau contenu dans le second. C'est ainsi qu'avec le troisième conteneur qui contient 23 litres d'eau, on peut verser 3 litres dans le premier et/ou 8 litres dans le second. Montrer qu'il est possible de vider l'un des conteneurs. Quel est le nombre minimum de versements ?

Question n°2

Même question avec trois conteneurs qui ont une capacité de 500 litres et sont remplis respectivement à hauteur de 37, 91 et 203 litres.

Question n°3

Généralisation avec des entiers positifs a,b,c tels que c>b>a. Peut-on toujours vider un conteneur ? Quelles sont les conditions sur a, b et c ?

Solution

Trouver cinq entiers positifs distincts tels que pour n'importe quel triplet choisi parmi eux le produit des trois nombres est divisible par leur somme.

Trouver le plus petit entier positif N tel que la somme de ses diviseurs est plus grande que lui et qu'il n'existe aucun sous-ensemble de diviseurs dont la somme est strictement égale à N.

Source : Les Reid -  Problem Corner -  South West Missouri University

Trouver le plus petit nombre qui a exactement 2004 diviseurs y compris 1 et lui-même et celui qui en a exactement 2004 en excluant 1 et lui-même.

Quels sont les quatre derniers chiffres de N= , N étant défini par une tour de 2004 exposants tous égaux à 2004 ?

Ce problème a été posé aux Olympiades de la zone baltique en 1990 :

On part de l'entier naturel N= 4 et on choisit l'une des trois règles suivantes pour déterminer un nouveau nombre entier naturel :
- N est divisé par 2
- N est multiplié par 10
- N est multiplié par 10 et on ajoute 4 au produit
En d'autres termes il y a trois transformations possibles : N/2, 10N et 10N+4, la première ne pouvant être retenue que si N est pair.
On réitère le processus ad infinitum. Montrer que n'importe quel nombre entier peut être calculé avec cet algorithme.

Trouver une séquence de 38 entiers naturels tels qu'aucun d'entre eux n'ait une somme de chiffres divisible par 11.

Diophante demande à son ami Hippolyte de choisir un nombre entier de 5 chiffres, de renverser l'ordre des chiffres et de soustraire le plus petit des deux nombres du plus grand et lui dit :
Dès que tu me donnes les trois derniers chiffres de cette différence, je devinerai les deux premiers .
Est-ce possible que Diophante ne se trompe jamais ou est-il réellement un devin ?

En présence de Théophile pris comme témoin, Diophante présente à Hippolyte la grille ci-dessous qui contient 49 nombres entiers et lui donne sept pièces de monnaie qui ont chacune la taille d'une case de la grille. Il lui demande de choisir un nombre quelconque de la grille et de le recouvrir avec une première pièce de monnaie puis de choisir un deuxième nombre qui n'appartient pas à la même rangée et à la même colonne que le nombre précédemment choisi avant de le recouvrir avec une deuxième pièce de monnaie. Et ainsi de suite, Hippolyte est invité à choisir au total sept nombres tels qu'aucun d'eux ne se trouve dans les mêmes rangées et colonnes que les autres et à les recouvrir tous les sept par les pièces de monnaie.

Avant même qu'Hippolyte n'ait commencé le choix des sept nombres, Diophante lui prédit qu'il connaît d'avance la somme des nombres qu'Hippolyte va choisir et qui seront cachés par les sept pièces de monnaie. Pour l'en convaincre à l'abri du regard d'Hippolyte, il écrit cette somme sur une feuille de papier qu'il donne à Théophile. Hippolyte fait ses choix et c'est Théophile qui est chargé de retourner les sept pièces de monnaie pour faire l'addition des  nombres cachés. Diophante avait dit vrai. Les deux nombres coïncident. Est-ce l'effet du hasard pur favorable à Diophante ? Sinon comment Diophante a-t-il fait et quel est le nombre mystérieux qu'il a écrit sur le papier confié à Théophile. 
Source : d'après Martin Gardner (Math'Circus)

 

Question N°1

A titre de zakouski, quelle est la valeur simplifiée de la somme de ces trois radicaux : 

?

Question N°2

A titre de plat de résistance, quelle est la valeur de l'expression ci-après ?



PS L'usage d'une calculette ou d'un ordinateur est évidemment interdit?

On considère la somme :




Montrer qu'elle peut s'exprimer sous la forme d'une fraction rationnelle irréductible p/q.

Parmi les cent premiers nombres entiers naturels 1,2,3,...,100, trouver le plus grand sous-ensemble possible d'entiers tels que les PPCM de toutes les paires possibles soient tous différents.
Source : Ken Duisenberg - mai 2004

Si on permute multiplicande et multiplicateur dans cette multiplication, le chiffres de la croix bleue, qui sont différents deux à deux, pivotent d'un quart de tour. Quel est le produit ?

Diophante demande à Hippolyte de se prêter à l'expérience suivante :

1. choisir une fois pour toutes un entier n, par exemple entre 10 et 50 et inscrire les entiers 1 à 2n sur 2n jetons que l'on met dans un sac.
2. tirer les jetons un par un sans remise, les jetons tirés en rang impair sont mis dans un tas n°1 et les jetons tirés en rang pair sont placés dans un tas n°2.
3. classer les jetons du tas n°1 dans l'ordre croissant des nombres inscrits sur les jetons à savoir  et classer les jetons du tas n°2 dans l'ordre décroissant des nombres inscrits sur les jetons à savoir b₁ > b₂ > b₃ >....> b_n.
4. calculer les écarts en valeur absolue de  puis la somme de ces écarts soit  . Noter S la valeur correspondante.
5. remettre les 2n jetons dans le sac et recommencer la même expérience 10 fois de suite. Calculer les sommes des valeurs absolues des écarts pour j=1 à 10.

Que peut-on dire de le moyenne arithmétique des ?

Montrer que quel que soit n entier positif >3, on a l'inégalité suivante :

Existe-t-il un entier N à 8 chiffres tel que son premier chiffre est le reste de sa division par 2, son 2 ème chiffre est le reste de sa division par 3,...son k-ième chiffre est le reste de sa division par k+1 pour k variant de 2 à 8 ?
Source : d'après USA Mathematical Talent Search

Les puissances de 2 pour n=0,1,2,3,4,5,6,... sont bien connues : 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ....

On peut empiler certaines de ces puissances dans une tour les unes au dessus des autres sans qu'elles soient nécessairement toutes calées à droite. On calcule pour chaque colonne la somme des chiffres appartenant à la même colonne et on obtient ainsi les fondations de la tour. On s'intéresse aux tours dont les fondations sont toutes égales entre elles comme le montre l'exemple ci-après :

Cette tour est caractérisée par :

- sa largeur L=3 qui est le nombre de colonnes remplies par au moins un chiffre,
- sa hauteur hors fondations h=6 qui est le nombre de puissances de 2 utilisées,
- ses fondations qui sont égales à la somme f=14 commune à toutes les colonnes.

Question n°1

Il s'agit de trouver le plus petit entier n tel que toutes les puissances de 2 comprises entre 0 et n inclus puissent s'empiler dans une tour dont la largeur L est égale au nombre de chiffres de  et la hauteur h est égale à n+1. Quelles sont les fondations correspondantes ? Trouver l'entier suivant n' qui donne une tour ayant les mêmes caractéristiques.

Question n°2

Faire l'inventaire aussi exhaustif que possible de toutes les tours de largeurs L=2,3,4,5 et 6 et dont les hauteurs sont les plus petites possibles.

Il n'est pas question de rivaliser avec les très nombreux mathématiciens et informaticiens qui poussent toujours plus loin les capacités des ordinateurs pour calculer un nombre astronomique de décimales de . De façon plus modeste, il est proposé de trouver des expressions numériques simples qui donnent une bonne approximation de ce nombre avec les seuls symboles: addition (+), soustraction (-), multiplication (*), division ( / ), fonction puissance (^) et racine carrée() et avec les hypothèses suivantes :
- 1)on utilise successivement le 1 er chiffre (3) puis les deux premiers chiffres (3 et 1) puis les trois premiers chiffres (3,1 et 4)...puis les k premiers chiffres qui expriment le nombre . Parenthèses permises mais nombres décimaux exclus.
- 2)on utilise seulement deux chiffres choisis dans la liste des chiffres de 1 à 9. L'usage du point pour désigner une nombre décimal est permis. Par exemple .0789. Même question avec deux chiffres différents utilisés chacun deux fois, trouver une approximation de avec un écart inférieur à .
-3)on utilise les dix chiffres de 0 à 9, chacun d'eux une fois et une seule. L'usage des parenthèses est permis mais celui des points pour représenter des nombres décimaux est exclu.
-4)on utilise successivement le chiffre 1, puis les chiffres 1 et 2, puis les chiffres 1,2 et 3,...puis les k premiers chiffres 1,2,3,..,k jusqu'à k=9.
 4-1 : parenthèses permises mais nombres décimaux exclus, chiffre 0 permis, concaténation exclue puis permise.
 4-2 : parenthèses et nombres décimaux permis, chiffre 0 exclu, concaténation exclue.

Soit x un nombre entier naturel quelconque. On lui ajoute la partie entière par défaut de sa racine carrée. Puis on continue le processus avec le nouvel entier ainsi obtenu.

Démontrer qu'après un nombre fini d'itérations, on obtient un carré parfait.

Source : Rallye mathématique d'Alsace 1986

Le prince de Polignac est bien connu pour sa conjecture toujours non démontrée selon laquelle il y a une infinité de nombres premiers p tels que p+2 est aussi un nombre premier. On lui a attribué une deuxième conjecture selon laquelle tout nombre impair peut s'exprimer comme la somme d'un nombre premier et d'une puissance de 2. Il aurait fait les calculs pour tout n 3 000 000 !

En réalité cette conjecture est fausse et il n'est pas utile de faire de longs calculs pour trouver le premier contre-exemple. Quel est-il ?

Le nombre recherché est un nombre premier. Existe-t-il un nombre composé (c'est à dire non premier) qui contredit la deuxième conjecture du Prince de Polignac ?

Quels sont les plus petits entiers naturels m et n dont le rapport m/n donne une approximation à 9 décimales de 0,123456789 ?

C'est un pot pourri de quelques exercices simples qui font appel au bon sens :

Premier clin d'oeil

Quel est le coefficient du monôme x²⁵ dans le polynôme du 26 ème degré (x-a).(x-b).(x-c)....(x-z)?

Deuxième clin d'oeil

Il y a plusieurs siècles, deux pèlerins se rendirent à Saint Jacques de Compostelle. Sur leur chemin, ils rencontrèrent un imposant convoi où se trouvaient un prince et son épouse, leurs sept fils et leurs épouses, chaque couple ayant sept enfants et chaque enfant avait sept besaces et dans chaque besace il y avait sept chats et chacun de ces chats avait sept chatons et chacun de ces chatons jouait avec sept souris et chacune d'elles avait sept souriceaux . « Cela fait beaucoup de monde toutes ces créatures de Dieu !» dit l'un des pèlerins à son compagnon.
Combien étaient-ils au juste à se rendre à Saint Jacques de Compostelle ?

Troisième clin d'oeil

On suppose que des courgettes qui viennent d'être cueillies sont composées de 99% d'eau. On laisse reposer 990 kilogrammes de courgettes pendant deux semaines à l'issue desquelles elles contiennent encore 96% d'eau. Quel est le nouveau poids des courgettes ?
Source : d'après Paul Halmos - Problèmes pour mathématiciens petits et grands.

Quatrième clin d'oeil

Comment trouver 37 et 243 en utilisant 5 fois le chiffre 5 et les opérations mathématiques parmi les cinq suivantes: addition, soustraction, multiplication, division, puissance ?

Cinquième clin d'oeil

Un voyageur commence sa promenade par un kilomètre vers le Sud puis il fait un kilomètre vers l'Est et rentre chez lui en parcourant un kilomètre dans la direction Nord. Où est-il ?
Nota : on précise que le voyageur n'est pas au pôle Nord... et on fait l'hypothèse que la circonférence d'un cercle tracé sur la sphère terrestre est égale à 2fois le rayon du cercle mesuré sur le surface de la Terre.

Diophante dispose en cercle n enfants ( n > 5) et leur distribue toutes les billes extraites d'un sac dont la contenance maximale est de 250 billes. Il circule autour du cercle dans le sens inverse des aiguilles d'une montre de façon que chaque enfant reçoive une bille de plus que son voisin de gauche. Revenu à l'enfant servi le premier, il invite son voisin de gauche qui a donc reçu le plus grand nombre de billes à donner 1 bille à son voisin de gauche, celui-ci à donner 2 billes à son voisin de gauche, ce dernier à remettre 3 billes à son voisin de gauche et ainsi de suite? Cette nouvelle distribution se fait donc dans le sens des aiguilles d'une montre aussi longtemps que possible. Au moment où l'opération ne peut plus être poursuivie, Diophante classe les enfants selon le nombre décroissant de billes qu'ils détiennent : Hippolyte avec x billes, Théophile avec x billes, etc? et ô surprise le nombre de billes détenues par Hippolyte est un multiple du nombre de billes entre les mains de Théophile mais c'est aussi un multiple du nombre total de billes détenues par tous les autres enfants (hors Théophile).

Combien y a-il d'enfants ? Combien de billes contenait le sac avant distribution ? Quelle est la distribution d'origine ?

Question n°1
Existe-t-il un entier qui est le cube d'un nombre entier et dont les 2004 derniers chiffres sont exclusivement des 1 ?

Question n°2

Existe-t-il un entier qui est un multiple de 2004 et qui est constitué par une suite de chiffres 1 suivie d'une suite de chiffres 0 ?

Il est bien connu que Saint Georges a terrassé de terribles dragons. Ce que la légende ne dit pas c'est qu'il a dû affronter un dragon plus terrible que les autres car il avait plusieurs têtes et plusieurs queues. D'un coup d'épée, Saint Georges pouvait couper soit une deux têtes soit une ou deux queues. Mais le dragon avait des pouvoirs magiques : lorsque le saint lui coupait seulement une tête, il en repoussait une autre. En revanche, avec deux têtes coupées d'un seul coup d'épée, rien ne repoussait. Enfin, pour une queue coupée, il en repoussait deux et pour deux queues coupées d'un coup, une tête repoussait. Le saint n'avait pu venir à bout de l'horrible bête que lorsque le dragon n'avait plus ni queue ni tête.

Question n°1

Saint Georges a dû affronter un dragon à trois têtes et à trois queues. Comment a-t-il fait pour tuer le dragon en économisant ses forces ?

Question n°2

Saint Georges aurait-il pu affronter un dragon immortel ?

Question n°3

Quel est le nombre minimum de coups d'épée que Saint Georges aurait dû donner pour tuer un dragon à n têtes et m queues ?

Source : Pierre Tougne - Pour la Science - juillet 1994

A144- 4x4 -énoncé

Pendant la guerre de 1914-18, des travaux de fortification mirent au jour une pertuisane enterrée lors d'un très ancien combat. Si on multiplie la longueur L de la pertuisane exprimée en pieds, par la moitié de l'âge du capitaine qui se distingua au cours de cette bataille, puis par le nombre de jours M que comporte le mois où la pertuisane fut trouvée, enfin par le quart du nombre d'années écoulées entre sa disparition et sa découverte, on obtient le nombre 225 533.
Comment s'appelait le capitaine et au cours de quelle bataille fut enterrée la pertuisane?
Source : Claude Aveline - Le code des jeux