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Plus de 2500 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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A1706. Mêmes ADN Imprimer Envoyer
A. Arithmetique et algèbre - A1. Pot pourri

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On dit par convention que l'ADN d'un entier positif n est déterminé par les trois fonctions:
τ (n) = nombre des diviseurs de n, y compris 1 et l'entier n,
φ(n) = nombre d'entiers compris entre 1 et n inclus premiers avec n (fonction indicatrice d'Euler),
σ(n) = somme des diviseurs de n, y compris 1 et l'entier n.

Q1 Démontrer qu'il existe au moins deux paires d'entiers positifs x,y, x < y  ≤ 2019 tels que x et y ont mêmes ADN.
Démontrer qu'il existe une infinité de paires d'entiers positifs x,y, x < y  qui ont ces propriétés.


Q2 Trouver au moins un ensemble de trois entiers x,y,z ,x < y < z tels que x,y et z ont mêmes ADN.
Démontrer qu'il existe une infinité de triplets d'entiers positifs x,y,z, x < y < z  qui ont ces propriétés.


Q3 Pour les plus courageux : démontrer que pour tout entier k ≥ 2, il existe k nombres entiers naturels distincts qui ont mêmes ADN
.


Ce problème est extrait de l'ouvrage Elementary theory of numbers de W. Sierpinski (chapître Euler's totientfunction page 253).
pdfAntoine Verroken,pdfDaniel Collignon et pdfDiophante.fr ont traité les deux premières questions.
Les meilleures réponses que l'on puisse apporter à la troisième question sont celles de Paul Erdös : pdfSolution of Two Problems of Jankowska et pdfSome remarks on Euler's Φ function

 
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