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Plus de 2500 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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Tous les problèmes sont identifiés par un niveau de difficulté :

Très facile

Facile

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Très difficile

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D'autre part, les problèmes se traitent généralement à la main et sont alors repérés par l'icône

 

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A149. Les différences en cascade Imprimer Envoyer
A. Arithmetique et algèbre - A1. Pot pourri
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Exercice n°1

Soient deux entiers positifs distincts l'un de l'autre. On calcule successivement puis puis et ainsi de suite.
- Démontrer qu'il existe un entier n tel que x = 0.
- Trouver la séquence la plus longue possible avec x > x et le plus petit entier possible inférieur à un million.


Soit x=2005 puis x=1 618 033 988 749 895. Trouver pour ces deux valeurs de x, la valeur de x < x telle que la séquence est la plus longue possible.

Exercice n°2

Soient a, b,c et d quatre entiers naturels placés aux sommets A, B, C et D d'un carré. Sur les milieux E,F,G et H des quatre côtés AB, BC, CD et DA, on inscrit la valeur absolue de la différence des nombres placés aux extrémités soit respectivement : . Cette opération est appelée DIF.


Est-il vrai que n'importe quel vecteur initial de 4 entiers naturels aboutit au vecteur (0,0,0,0) à l'issue d'un nombre fini d'opérations DIF ?


Exemple : (2005, 1000, 480, 1239) (1005, 520, 759, 766) (485, 239, 7, 239) (246, 232, 232, 246) (14, 0, 14, 0) (14, 14, 14, 14) (0,0,0,0) .


Qu'en est-il si les composantes du vecteur sont des nombres rationnels ? des nombres réels ?


Généralisation : au lieu d'un carré, on considère un polygone régulier à n sommets (n3). Que donne la répétition de DIF avec des vecteurs composés de nombres entiers, rationnels et réels placés aux sommets du polygone ?


 
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