Sur la feuille apparaissent les trois sommets d'un triangle, ainsi qu'un cercle passant par deux des sommets et le centre du cercle inscrit (mais ce dernier point n'apparaît pas, non plus que le centre ...
Construire un quadrilatère d'aire maximale ayant des côtés de longueur donnée.
Problème paru dans La Jaune et la Rouge d'octobre et novembre 2013
solution ...
Quatre points d'un cercle définissent 4 triangles quand on les prend trois par trois. Quelle figure forment les centres des cercles inscrits de ces triangles ?
Problème proposé par Georges Ville, ...
On inscrit un triangle ABC dans un cube d'arête 8 cm de telle sorte que :
- le point A est un sommet du cube ;
- les points B et C sont situés à la surface du cube ;
- le centre de gravité du ...
Dans une séquence infinie d’entiers positifs ou nuls a0,a1,a2 ,....,ai.... la demi-somme des carrés des termes de rang m >= 0 et de rang n >= 0 est égale au terme dont le rang est égal à m2 + ...
J’ai installé sur le méridien de Greenwich un campement à partir duquel je réalise une expédition au grand air faite de six tronçons. Sur les cinq premiers de dix kilomètres chacun je maintiens le cap ...
Q1 : Existe-t-il un couple d’entiers x et y > 0 tels que x + y, 2010x + y et x + 2010y sont tous les trois des carrés parfaits ?
Q2 : Existe-t-il un couple d’entiers x et y > 0 tels que x2 ...
Déterminer tous les nombres entiers N à 2 chiffres de la
forme N = 10a + b avec a et distincts tel que pour tout entier relatif x non nul, la différence xa - xb est divisible ...
Vous écrivez les entiers 1 et 2 sur une première rangée n°1 puis
leur somme 3 sur une deuxième rangée n°2. Vous continuez avec les entiers 4 et
5 sur la rangée n°1 puis ...
Un rectangle est divisé en six carrés numérotés de la manière suivante : En rabattant le volet de gauche puis le volet de droite sur le volet médian et en amenant la partie inférieure de ce dernier ...
Problème proposé par Alex Denis. Par convention, un damier carré de n x n cases fait l’objet d’un contrôle optimal si on peut placer n jetons de manière que chacune des n lignes, des n colonnes, des ...
Problème proposé par Richard Riedel.
Dans un rectangle de hauteur H et de largeur L (H? L) qui comporte HxL cases, on noircit un certain nombre d’entre elles et dans chaque case on inscrit ...
Le vieux bédouin, sentant sa fin prochaine, partagea à ses fils son troupeau de chameaux selon la règle suivante : -- au fils aîné, un chameau, et le septième du troupeau restant ...
Problème proposé par Pierre Jullien
Je viens d'acheter une voiture quasi neuve : une
occasion formidable ! Comme beaucoup de ...
Parmi les n premiers entiers naturels 1,2,...n (n > 4),
on choisit k nombres tous distincts. On les appelle par convention
« francs-tireurs » si leur produit est égal à la somme des n - k
nombres ...
On dit qu'une suite d'entiers relatifs est quadratique quand
l'écart en valeur absolue entre les termes de rang i et i+1 est égal à i2.Par exemple 5,4,8,-1 est une suite quadratique.
Elle ...
Compléter les éléments manquants du tableau ci-dessous pour que son affirmation soit vraie. On cherchera toutes les solutions possibles (il y en a 7). Problème proposé par ...
J'ai 8 boîtes devant moi. Je les ouvre les unes après les autres. Chaque boîte soit est vide, soit contient 5 autres boîtes. Je continue à ouvrir les petites boîtes ainsi découvertes ...
Peut-on inscrire un entier dans chacune des 60 cases non encore remplies de l'échiquier 8x8 ci-contre tel que la somme totale des 64 nombres est positive et la somme ...
Certaines questions des sondages d'opinion sont si indiscrètes que les réponses risquent d'être mensongères. Un sondeur veut tourner cette difficulté par le procédé suivant. L'enquêteur ...
Le triangle heptagonal ABC a les trois angles aux sommets qui sont dans le rapport 1,2 et 4. On prend par convention le rayon du cercle circonscrit au triangle égal ...
Ce petit village périgourdin est fier de son patrimoine avec son église romane (E), son château médiéval (C), sa porte fortifiée du XIIème siècle (P), sa fontaine ...
Prenez le nombre N = 3 399 999 966 qui a dix
chiffres dont la somme est égale au nombre magique 72. Multipliez N
successivement par les entiers naturels 2,3,4,....k et calculez à chaque
fois la ...
Ce nombre entier A a 2008 chiffres. Vous le passez à
la moulinette avec la recette suivante : vous mettez le dernier chiffre
en première position et vous obtenez un nombre B que vous élevez au
carré ...
Parmi les diviseurs communs des nombres
N de la forme N = a37 - a avec a entier a
positif quelconque, quel est le plus grand nombre palindrome ?
Combien y a-t-il de diviseurs communs > ...
Prenez un entier quelconque : 11 par exemple et multipliez entre eux les dix entiers consécutifs 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. Vous obtenez 670 442 572 800. Le nombre se termine ...
Soucieux d'occuper agréablement une fin d'après-midi pluvieuse, Diophante présente à ses deux amis Hippolyte et Théophile une liste de 19 nombres à deux chiffres.
11 14 20 23 31 39 45 46 48 ...
On suppose que les entiers a1, a2,...,ai,.. an (n > 2), tous distincts, positifs ou négatifs, forment une progression arithmétique. Il existe une permutation de ces nombres qui est une progression ...
Ce problème est proposé par Patrick Delasalle
J., le vieux leader des bergers, tirebouchonne vigoureusement sa célèbre moustache : le vote vient de commencer. La situation est très tendue et ...
Source: Joël Gauvain, Site Internet : http://www.wyx.fr/ Etienne Joly a trouvé la solution La phrase à reconstituer est : Les nombres complexes.
De combien de façons deux reines, deux tours, deux fous l'un et l'autre placés sur des cases de couleurs différentes et un cavalier peuvent?ils contrôler toutes les cases d'un échiquier standard 8x8 ? ...
Comment placer huit reines d'un jeu d'échecs sur un échiquier 5x5, dont cinq blanches et trois noires, de telle sorte qu'aucune reine d'une couleur ne soit en prise avec une reine de l'autre couleur. ...
Placer cinq reines sur un échiquier 8x8 de telle sorte que chaque case de l'échiquier y compris celles qu'elles occupent soit contrôlée par au moins l'une d'entre elles.
Placer cinq reines sur ...
Trouver le nombre maximal de mouvements et la stratégie d'une Tour blanche jouant la première à partir de la case a1 pour capturer un Cavalier noir partant de la case en haut et à droite de l'échiquier ...
Sur un échiquier de taille réduite 4x5, un cavalier et un fou blancs ont été placés en a4 et a2 tandis qu’un cavalier et un fou noirs ont été placés en e4 et e2 1) Comment échanger les positions ...
Sur cet échiquier de taille réduite 4x5, quatre fous blancs ont été placés sur la colonne de gauche et quatre fous noirs sur la colonne de droite. Comment échanger ces fous en un minimum de mouvements ...
Comment placer seize cavaliers blancs sur un jeu d'échecs traditionnel 8x8 de telle sorte que chaque cavalier soit en prise avec exactement quatre autres cavaliers ? Source : Martin Gardner ...
Sur cet échiquier de taille réduite 4x5, quatre cavaliers blancs ont été placés sur la colonne de gauche et quatre cavaliers noirs sur la colonne de droite. Comment échanger ces cavaliers en un minimum ...
On supprime les 4 coins d'un échiquier standard 8x8.Placer 12 cavaliers sur ce nouvel échiquier de telle sorte que chaque case est sous contrôle d'au moins un cavalier. Source : Sudpita Das sur ...
Quatre nouveaux sentiers de randonnée viennent d'être tracés dans la forêt des monts d'Ambazac. Ils sont rectilignes et concourants 2 à 2 et peuvent être représentés par quatre cordes . A des moments ...
Soit n points choisis à l'intérieur d'un carré de côté unité, bords compris. Leur position définit une configuration appelée C. Il existe un grand nombre de lignes brisées non fermées faites de n-1 ...
Trois explorateurs sont dans leur camp de base. Ils disposent de rations alimentaires individuelles journalières sous forme de sacs hermétiques. Ils décident d'aller photographier un site archéologique ...
Un planteur de bananes ne dispose que d'un vieil éléphant pour transporter ses bananes. L'animal consomme une banane au kilomètre et n'accepte de porter que 1000 bananes au plus sur son dos. Le plus ...
Il s'agit du problème archi-classique de la traversée du désert publié en 1947 American Mathematical Monthly et Mathematical Gazette et repris par Martin Gardner dans l'un de ses ouvrages (My best ...
Peut-on dessiner dans le plan :
- Six triangles équilatéraux de façon que chaque sommet appartienne à deux triangles mais aucun côté n'appartient à deux triangles ? - Un ensemble fini ...
On considère un alphabet réduit aux deux lettres a et b. Il y a donc mots possibles de longueur n. Par exemple, les mots de 2 lettres sont aa, ab, ba et bb. Il est facile de trouver un mot de 5 lettres ...
Depuis la rentrée scolaire, Diophante n'a pas arrêté une minute : une interrogation écrite quotidienne ,7 jours sur 7 ! La note qu'il obtient est un nombre entier compris entre 0 et 20 (bornes incluses). ...
On considère la séquence dont le premier terme est
=2008 et dont le kième
terme est l'unique entier compris entre 0 et k-1 (bornes incluses) tel que la somme des k premiers termes est divisible ...
J'ai une calculette qui dispose d'un registre de mémoire auxiliaire avec trois touches M+, M- et MR : la touche M+ permet d'ajouter à ce registre le contenu de ce qui est affiché à l'écran tandis que ...
La séquence des sept entiers consécutifs 9, 10, 11, 12, 13, 14 et 15 a la curieuse propriété que les sommes des chiffres de leurs carrés respectifs 81, 100, 121, 144, 169, 196 et 225 sont elles-mêmes ...
Comment s’appellent les entiers naturels qui sont absents de
la séquence définie par la relation un= où
[] désigne la
partie entière par défaut et n prend les valeurs entières 1, 2, ….,n,… ?
...
Dans une base b, je considère un entier m
à deux chiffres entre lesquels j'intercale un chiffre x pour obtenir un
entier n à trois chiffres tel que m*n = 2008. Les entiers m et ...
Je dispose de 2008 pièces d'or numérotées 1,2,3,.....,2008. Afin de mesurer la qualité de leur fabrication, je compare leurs poids respectifs avec une balance Roberval en effectuant ...
On considère une suite de k nombres premiers p1,p2,p3,...pk distincts entre eux. La série infinie dont les termes sont les inverses des entiers divisibles seulement par un ou plusieurs des ces nombres ...
Les choux désignent l'exposant de la plus grande puissance de 2 qui divise 2009! (factorielle 2009) et les carottes le nombre de 1 dans la représentation binaire de 2009. Quel bon potage vais-je obtenir ...
Existe-t-il 2009 entiers positifs tous distincts tels que la somme de leurs carrés est un cube et la somme de leurs cubes est un carré ?
Source :d'après ...
Problème proposé par Jérémy Junay
Le capitaine Haddock souhaite installer des essuie-glace sur les hublots circulaires de son bateau. Chaque essuie-glace est constitué d'une tige qui pivote ...
Deux entiers consécutifs n et n+1 ont l'un et l'autre la
somme de leurs chiffres divisible par 2009. Quelle est la ...
On
dit qu'une suite de k entiers positifs consécutifs est constituée de k moutons
blancs s'il n'existe aucun mouton noir qui ...
En 1225 Leonardo Fibonacci a relevé le défi lancé par
Frédéric II de Hohenstaufen roi de Sicile et empereur germanique, en trouvant
le plus ...
J'ai
k petits-enfants d'âges différents auxquels je décide d'allouer généreusement
une somme globale de 2009 €. Je constate que je peux ...
Trouver une suite de longueur minimale constituée d'entiers
positifs dont le produit est multiplié ...
On considère la suite des termes tous positifs a0,a1,a2.....,an ,..... qui obéissent à la relation an+2= an - an+1 avec a0 = 1. Donner la 421ième décimale de a2009 .
Nota: l'usage d'une calculatrice ...
Deux petites annonces sont parues dans le dernier numéro de
la gazette MNP ...
A des
moments différents de la journée, quatre voitures A,B,C et D quittent ...
Voici une variante simplifiée du fameux théorème de Fermat pour laquelle il est inutile d'aller consulter les travaux d'A. Wiles: Si x,y,z et n sont des entiers ...
Dans cette suite de nombres réels dont les deux premiers termes ...
Trouver tous les couples d'entiers naturels (n,k) avec k >1 tels que ...
1) ...
Cet ...
Je dispose d'une boîte qui contient plusieurs types de
poids, chaque type étant caractérisé par une même masse qui s'exprime en nombre
entier de gramme(s).Cette boîte a les propriétés ...
Trouver ...
Le problème a été résolu par son auteur et Antoine Verroken
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On considère 31 nombres premiers distincts. Prouver que si la somme de leurs puissances quatrièmes est divisible par 30, on peut trouver parmi eux trois nombres premiers consécutifs (tels par exemple ...
Démontrer qu’il existe une infinité de couples d’entiers naturels tels que chacun d’eux et leur produit contiennent exclusivement des chiffres supérieurs ou égaux à 7.
SOurce: Tournoi des villes ...
Problème proposé par
Jean-Pierre Lamoitier
Sur ...
Problème proposé par Michel Lafond
Quel est le plus petit multiple (positif) de 2010 dont la
somme des chiffres (en base 10) est égale à 2010 ?
Le nombre cherché ...
On a les deux relations d2d3 + d2d4 + d3d4 - d2d3d4 = 1 et d9 = d2 + d4 + d5d6 . Trouver A.
Ce deuxième entier naturel B a lui aussi 16 diviseurs
classés dans l'ordre croissant : di pour i ...
Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin
De combien de façons peut-on écrire 2010 comme somme de trois carrés ? Ecrire 2010 comme somme de cubes avec le minimum de termes. Philippe ...
Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin
Ce n'est pas du cassoulet, mais une recette de calcul en 8 étapes, dont je vous invite à reconnaître la fonction.
(1)- mettre en mémoire ...
Dans un triangle ABC de périmètre égal à 1, je calcule la
somme des angles en A, B et C pondérés par la mesure des côtés opposés à chacun
des angles. J’obtiens 59°. Cherchez l’erreur.
...
Démontrer que quels que soient les entiers p et q positifs (p>q),1831830 divise pq(p60 - q60) et que le quotient de cette division est un nombre composé.
Jean Moreau de Saint Martin,Daniel ...
Démontrer que pour tout entier n suffisamment grand, on sait toujours loger un carré parfait entre n et 2n et un cube parfait entre n et 3n et la puissance quatrième d’un entier entre n et 4n.
...
Sur l'axe des abscisses Ox, on trace trois points A,B et C d'abscisses a,b,c telles que 0 < a < b < c. On trace les points S,T et U d’ordonnées positives tels que les triangles SOA, TOB ...
Existe-t-il quatre entiers strictement positifs tels que la somme de leurs cubes soit égale à 10100 ?
Jean Moreau de Saint Martin,Jean Drabbe,Pierre Henri Palmade,Philippe Laugerat, Daniel ...
Trouver les dimensions du triangle pythagoricien d’aire minimale dans lequel on peut tracer deux carrés distincts dont les dimensions des côtés sont entières et dont les quatre sommets reposent sur son ...
Cinq fourmis sont sur l’un des sommets S du polygone convexe à 2010 côtés qui délimite leur fourmilière. Toutes les minutes, quatre d’entre elles,pas nécessairement toujours les mêmes, se déplacent ...
Montrer qu’un nombre rationnel r positif peut s’écrire de façon unique comme le quotient de produits de factorielles de nombres premiers pas nécessairement distincts.
Application numérique r = 2010/2009. ...
On rappelle que deux nombres entiers m et n sont dits « amicaux » si la somme des diviseurs de m, y compris le nombre m lui-même, et celle des diviseurs de n, y compris le nombre n lui-même, sont ...
En partant des quatre chiffres du millésime 2008, on constitue la série définie par la relation : modulo 10. Le dernier chiffre de la série est donc le chiffre des unités de la somme des quatre termes ...
A tour de rôle le joueur A et le joueur B écrivent respectivement le chiffre 1 et le chiffre 0 dans l’un des cases vides d’une matrice M(3x3) jusqu’à la remplir avec cinq « 1 » et quatre « 0 ». Le ...
Une suite de nombres réels un est définie par la donnée de u0, u1 et la relation de récurrence un+1=|un|-un-1. Montrer qu'elle est périodique. Problème paru dans La Jaune et la Rouge de mai ...
Diophante (D) et Hippolyte (H) croisent une famille composée de sept membres dont les âges sont des entiers tous distincts. D : Les sommes partielles ...
Chaque point à coordonnées entières du plan est colorié avec
l'une des trois couleurs ...
On considère la suite strictement croissante ...
Problème proposé par Dominique Roux On considère la séquence (S) : 5,13, 29, 61, 125, 253, 509, 1021, ...
Déterminer le terme général un en fonction de l'entier n. Combien ...
Bloqués par une tempête de neige qui s'est abattue sur
l'autoroute du Sud, Zig et Puce prennent leur mal en patience. Ils dessinent
sur une feuille de papier le contour d'un triangle équilatéral ...
Proposé par Pierre Jullien
J'ai commencé à placer de manière très rationnelle les nombres impairs sur un cercle. J'en ai déjà mis dix et suis très fatigué ... Pouvez-vous ...
Une urne contient 2010 boules qui sont toutes noires.On dispose par ailleurs à volonté de boules rouges et jaunes.
A chaque tour, on tire deux boules. Si elles sont :
-
noires, on les remplace ...
Problème proposé par Pierre Jullien
Le gérant d'une chaîne de grands magasins vient d'acheter une plateforme carrée, de 50 mètres de côté. Il souhaite découper cet espace en cent cellules carrées ...
