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Plus de 2500 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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A1949. Choux + carottes = Bon potage Imprimer Envoyer
A. Arithmetique et algèbre - A1. Pot pourri

calculator_edit.png  

Les choux désignent l'exposant de la plus grande puissance de 2 qui divise 2009! (factorielle 2009) et les carottes le nombre de 1 dans la représentation binaire de 2009. Quel bon potage vais-je obtenir en additionnant les choux et les carottes ? Généralisation pour n quelconque.



Daniel Collignon,Jean Moreau de Saint Martin,Jean Drabbe,Pierre Henri Palmade,Jose Arraiz,Fabien Gigante,Pierre Jullien et Antoine Verroken ont trouvé la solution.

Autre solution par récurrence:

Choux(n)= l'exposant de la plus grande puissance de 2 qui divise n !

Choux(n) est donc le nombre de 0 qui finissent l'écriture en base 2 du nombre n !

Carottes(n) est le nombre de 1 dans la représentation binaire de n.

On vérifie que Choux(n) + Carottes(n)= n pour n dans {1 ;2} puis on le vérifie pour tout n par récurrence.

Supposons le résultat vrai pour n.

1) Supposons que n est pair. La représentation binaire de n finit alors par un 0 et on a Carottes(n + 1)=Carottes(n) + 1.

On a (n + 1) !=n ! x (n + 1) où n ! se termine par Choux(n) fois le chiffre 0 et n + 1 par un 1. Le produit se termine donc par Choux(n) fois le chiffre 0, ce qui s'écrit Choux(n + 1) = Choux(n).

On a donc Carottes(n +1) + Choux(n + 1)=Carottes(n) + 1 + Choux(n)=n + 1.

2) Supposons maintenant que n est impair. Sa représentation binaire se termine donc par k fois le chiffre 1 avec k>0. Le k + 1 -ème chiffre en partant de la droite est un 0.

n + 1 va alors se terminer par un chiffre 1 suivi de k chiffres 0. On a donc :

Carottes(n + 1)=Carottes(n) - k + 1  (car on a remplacé les k chiffres 0 par des 1 et un chiffre 0 par un 1).

D'autre part, le produit (n + 1) ! = n ! x (n + 1) est le produit d'un nombre qui se termine par Choux(n) chiffres 0 et d'un nombre qui finit par k chiffres 0. Ce produit finit donc par Choux(n)+ k chiffres 0. C'est-à-dire que Choux(n + 1) = Choux(n) + k.

On a donc Carottes(n + 1) + Choux(n + 1)=Carottes(n)-k + 1+ Choux(n) + k = Carottes(n) + Choux(n) + 1 = n + 1.


 
 
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