J'ai 8 boîtes devant moi. Je les ouvre les unes après les autres. Chaque boîte soit est vide, soit contient 5 autres boîtes. Je continue à ouvrir les petites boîtes ainsi découvertes et à nouveau elles peuvent être vides ou contenir 5 nouvelles boîtes. Je continue à ouvrir chaque nouvelle boîte. A un certain moment le processus s'arrête, les dernières boîtes ouvertes étant toutes vides. J'ai scrupuleusement noté au fur et à mesure le nombre de boîtes trouvées vides lors de leur ouverture. J'en ai trouvé 196.
a) Que peut-on dire du nombre total de boîtes ?
b) J'ai disposé les boîtes en rangs, le premier constitué des 8 premières boîtes visibles au départ, le 2e rang des boîtes directement contenues dans ces 8 boîtes, le 3e rang des boîtes directement contenues dans celles du 2e rang, etc. Quel est le plus petit nombre de rangs possible, avec 196 boîtes trouvées vides ? Et le plus grand ?

Problème proposé par Christian Romon, paru dans La Jaune et la Rouge d'octobre 2002