Certaines questions des sondages d'opinion sont si indiscrètes que les réponses risquent d'être mensongères. Un sondeur veut tourner cette difficulté par le procédé suivant.
L'enquêteur présente à la personne interrogée un disque de loterie bicolore : un petit secteur (bleu par exemple) mentionnant ``Faites une réponse mensongère'' et un secteur complémentaire (blanc par exemple) mentionnant ``Faites une réponse véridique''. L'enquêté reçoit l'instruction de faire tourner le disque de la loterie à l'abri des regards et, selon que l'index de la loterie sera dans le secteur blanc ou dans le secteur bleu, de faire une réponse véridique ou mensongère à la question qui va lui être posée (avec réponse par oui ou non). Cette réponse sera enregistrée par l'enquêteur sans qu'il sache ce qu'aurait été la réponse sincère.
a) Un échantillon de n personnes interrogées ainsi a fourni k réponses oui à une certaine question. Sachant que le secteur bleu est une fraction thêta du disque, estimez la proportion p, dans la population, des personnes dont la réponse sincère à cette question serait oui.
b) Quelle est la précision de cette estimation, mesurée par son écart-type ?
c) La même précision pourrait être obtenue avec un échantillon de n₀ personnes, si l'on pouvait en obtenir des réponses sincères. Evaluez le rapport n/n₀, qui est une mesure du ``coût'' de ce procédé.
d) Application : n=1000, thêta=0,15, p=0,05 ou 0,30.

Problème proposé par M.D. Indjoudjian, paru dans La Jaune et la Rouge de novembre 2002