Problème proposé par Michel Lafond Soit P (x) = x5 – 10 x4 + 27 x3 – 2 x2 + x + 29. a et b sont deux réels tels que P (a) = - 1789 et P (b) = + 2011. Calculer a + b.
Jean Moreau de Saint Martin,Louis ...
Démontrer que les trois entiers 32013+ 1 , 22014+ 1 et 52015– 1 sont chacun le produit d’au moins trois facteurs distincts > 1.
Jean Moreau de Saint Martin,Michel Lafond,Pierre ...
Trouver Q1 : le dernier chiffre de l’entier P qui est égal à la somme des entiers nn pour n variant de 1 à 2013. Q2 : l’entier k le plus proche de 1000 tel que l’entier Q égal à la somme des entiers ...
Sachant que 40 ! = abc def g83 247 897 734 345 611 269 596 115 894 27h ijk lmn opq, trouver les 17 chiffres manquants a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p et q. Nota : il est demandé d’éviter de faire 39 ...
On s’intéresse aux entiers naturels qui s’expriment de p· manières différentes comme somme de q carrés positifs. Pour une valeur de q, l’entier est appelé avalent ou monovalent ou polyvalent de type ...
Q1 : Trouver toutes les puissances de 2 qui sont encore des puissances de 2 lorsqu’on supprime a) le premier chiffre de gauche. Nota : 4096 devient 96. b) le dernier chiffre de droite. Q2 ...
p(x) est un polynôme à coefficients entiers. La suite des entiers ai pour i = 1,2,3,...,2012 satisfait les relations suivantes : a1 = 1 a2 = p(a1) = 2012 .......... ai+1 = p(ai) pour i variant ...
Voici quatre miniatures sur des nombres premiers réunis en famille sous la houlette de « 2011 » : Q1 : Sans l’aide d’une calculatrice, exprimer 2011 comme la somme des carrés de nombres premiers ...
Problème proposé par Michel Lafond Dans le système décimal, un entier positif ? est appelé « kappa » si on sait trouver un entier naturel n tel que ? = n / P(n) où P(n) ...
J’ai retrouvé dans mes vieilles tablettes la suite complète - écrite de gauche à droite dans un ordre croissant - de toutes les fractions irréductibles (http://fr.wikipedia.org/wiki/Fraction_irréductible ...
Dans cet amas lointain de vingt exoplanètes,chacune d’elles est caractérisée par un couple d’entiers (a,b) avec a chiffre pair choisi parmi l’ensemble et b chiffre impair choisi parmi l’ensemble ...
Q1 : Trouver les deux entiers m et n strictement positifs qui minimisent l’écart en valeur absolue entre 47m et 13n . Q2 : Résoudre en x, y et z entiers strictement positifs l’équation 3x - ...
Zig vient de passer son oral de mathématiques au concours d’entrée à l’I.R.M.( Institut des Récréations Mathématiques) et Puce lui demande l’énoncé de l’exercice sur lequel il a planché. Zig : « Il ...
On considère la suite (un ) définie par la relation de récurrence et dont le premier terme u1 est un entier >0. Q1 Prouver qu’il existe une valeur de u1 = a telle que pour tout n > 1, ...
Démontrer que pour tout entier naturel positif, le nombre de ses diviseurs se terminant par 1 ou 9 est supérieur ou égal au nombre de ses diviseurs se terminant par 3 ou 7. Source : D’après une épreuve ...
Q? - Trouver les deux plus petits entiers naturels m et n, m < n, tels que m et m+1, pris séparément, ne divisent ni n ni n+1 et le produit n(n+1) vaut 17 fois le produit m(m+1). Q? - Démontrer ...
Q? : On considère les 22013 expressions de la forme obtenues en additionnant les racines carrées des entiers naturels de 1 à 2013 précédées des signes plus (+ ) ou moins (–) . On les multiplie ...
Trouver les entiers naturels n et les nombres premiers jumeaux p et q (avec q = p + 2) tels que les deux entiers 2n + p et 2n + q sont également des nombres premiers jumeaux.
Jean ...
1ère énigme Avec les quatre opérations élémentaires +, - , * ,/ et des parenthèses mises en tant que de besoin,à l'exclusion de tout autre symbole tel que exposant,racine carrée, factorielle,... trouver ...
On considère la courbe (C) représentative de la fonction f(x) définie pour tout réel x sur l’intervalle [0,2014] : f(x) = abs(...abs(abs(abs(x – 1) – 2) – 3) ....) – 2014) L’expression abs(..) ...
Problème proposé par Michel Lafond
On appelle nombre d’Einstein un entier dont la décomposition en facteurs premiers est m.c2 où m et c sont des nombres premiers distincts. Ainsi ...
Q1 On considère 120 entiers naturels positifs distincts ≤ 200. Montrer que parmi les différences entre le plus grand et le plus petit de ces entiers pris 2 à 2, on est certain de trouver tous ...
Ce problème tout neuf ...ou presque est proposé par Michel Lafond
On pose a0 = 9 et pour n ? 0 on a la relation . Déterminer entièrement à la main les 125 derniers chiffres de ...
Dans la série harmonique 1 + 1/2 + 1/3 +1/4 + 1/5 +....+1/n + ......je supprime toutes les fractions dont le dénominateur contient au moins un chiffre 7. Démontrer que la nouvelle série ainsi obtenue ...
Q1 Trouver tous les nombres premiers p et q tels que p3 = q2 – q – 1 Q2Trouver tous les nombres premiers p et q tels que p3 = q2 – q + 1 Q3 Trouver tous les nombres premiers p,q,r et s qui vérifient ...
Soient trois entiers naturels positifs a,b et c. Q1 On désigne par : - p le rapport du ppcm de a,b et c au PGCD de ces mêmes entiers, - q le rapport du produit ...
Pour tout entier k > 2,on s’intéresse aux suites S(k) non décroissantes de k nombres premiers pas nécessairement distincts tels que le carré du k-ième terme est égal à la somme des carrés des k ...
Soit E l’ensemble des entiers naturels n non divisibles par 10. L’entier f(n,k) est obtenu en remplaçant chaque chiffre de n par sa puissance k-ième. Par exemple f(83,2) = 649 est obtenu en remplaçant ...
Trouver un entier palindrome divisible par 2014 qui se termine par 2014 et comporte 2014 chiffres dont la somme est égale à 2014.
Par ordre alphabétique ont résolu le problème:Fabien Gigante,Patrick ...
Problème proposé par Michel Lafond On appelle squelette d’un nombre entier n ? 2 la suite croissante des exposants de sa décomposition en facteurs premiers. Ainsi, si p,q,r sont des nombres premiers ...
Q1: Un entier k > 0 étant fixé à l’avance, peut-on toujours trouver un entier dont la moyenne arithmétique de ses diviseurs (y compris 1 et lui-même) est égale à k ? Q2 : Trouver trois entiers ...
Je suis un entier naturel N. En choisissant un certain entier p positif plus petit que moi, on forme un couple (N,p) puis on me divise par p. Le couple d’entiers obtenus (q,r) avec le quotient ...
On écrit quatre progressions arithmétiques ayant pour raisons quatre entiers distincts inférieurs à 12, pour premier terme 1 etpour dernier terme 10n (la valeur de l’entier n le permet). Puis ...
Un entier naturel n est dit « narcissique » si la somme des puissances n-ièmes des n premiers nombres entiers naturels est divisible par n. Quels sont les entiers narcissiques ? Justifiez votre ...
Quel est le plus grand entier naturel qui ne peut pas s’exprimer comme la somme de quatre nombres premiers distincts ? Justifiez votre réponse.
Jean Moreau de Saint Martin,Daniel Collignon,Pierre ...
Un nombre vampire V est un nombre naturel à kn chiffres qui a les caractéristiques suivantes : - il peut être factorisé en k nombres entiers x1,x2,... appelés les crocs, ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre Q1: montrer qu'il existe une infinité de nombres dont l'expression est un palindrome dans 2 bases de numération différentes, et donner une méthode ...
Deux entiers naturels sont appelés par convention « homogéniques » s’ils ont les propriétés suivantes : - ils sont distincts, - l’un et l’autre ont k chiffres, ...
Les deux nombres réels x et y très proches l’un de l’autre forment un duo qui satisfait les deux équations :50x + 50y = 101x et 51x + 48y = 100y . Qui est Laurel le plus petit des deux ?
...
Trouver le plus petit entier n1 divisible par d = 2014 tel qu’en supprimant l’un de ses chiffres p non nul de sa représentation décimale,on obtient un nombre lui aussi divisible par d.Par exemple ...
Ces neuf nombres premiers tous distincts sont répartis en trois sous-ensembles de trois termes. On calcule le produit des termes dans chaque sous-ensemble et on obtient trois nombres entiers consécutifs. ...
Problème proposé par Patrick Gordon Q1 Retrouver, d'au moins deux manières, le résultat connu que la série harmonique alternée 1/1 – 1/2 + 1/3 – 1/4… converge et donner sa somme. Q2 Déterminer si ...
Placer cinq points sur un segment de longueur unité de sorte que le produit des segments qui relient les points pris 2 à 2 est le plus grand possible.
Fabien Gigante,Michel Lafond,Jean Moreau ...
Un entier naturel n est appelé « brésilien»* s’il existe un entier b, 1 < b < n – 1, tel que la représentation de n en base b est un nombre uniforme qui s’écrit avec des chiffres ou des ...
Problème proposé par Michel Lafond Un homme et son chien sont initialement en deux points du plan distants de 600 m. L’homme (en H) marche à 5 km/h le long d’une demi-droite (D) perpendiculaire à OH. ...
La somme des diviseurs positifs d'un nombre entier naturel n, y compris 1 et l’entier n lui-même, est traditionnellement appelée « fonction sigma » et notée σ(n). Les sigma de k entiers naturels distincts ...
Je suis un entier égal au produit de six nombres premiers distincts. La somme de mon inverse et des inverses de mes six facteurs premiers est égale à l’unité. Qui suis-je ?
Pierre Henri Palmade,Jean ...
Q1 Je suis un entier naturel à 4 chiffres distincts. On me pose debout sur un miroir horizontal et mon reflet a les mêmes chiffres que moi tout en étant plus grand. Nous avons l’un et l’autre trois ...
Problème proposé Par Michel Lafond Montrer qu’il est possible de répartir l’ensemble des entiers naturels 1,2,3...,2015 en p sous-ensembles de deux à deux disjoints composés chacun de q termes pour ...
Démontrer qu’il existe une infinité de carrés parfaits dont la somme des chiffres comme le produit des chiffres sont des carrés parfaits non nuls.
Philippe Laugerat,Paul Voyer,Francesco Franzosi,Mari-Christine ...
Déterminez le plus grand entier divisible par tous les entiers qui ne dépassent pas sa racine septième.Justifiez votre réponse.
Jean Moreau de Saint-Martin,Fabien Gigante,Pierre Henri Palmade,Maurice ...
A partir du nombre premier 19, on écrit la suite infinie S des entiers obtenus en ajoutant un chiffre 9 au nombre précédemment écrit : 19,199,1999,19999,..... Q1 Démontrer que le nombre 19 divise un ...
La somme S de six nombres entiers distincts à six chiffres chacun est aussi un entier de six chiffres.Les sept nombres s’écrivent avec deux chiffres distincts seulement. Zig dit à Puce : « Je ...
Problème proposé par Michel Lafond Combien y a-t-il d'entiers ≥ 0 qui ne peuvent pas s'écrire sous la forme a2 + b2+ c2+ 2015 d2 ? (a, b, c, d entiers ≥ 0)
Jean Moreau de Saint-Martin,Maurice ...
Soit un entier impair k > 1 fixé à l’avance. Un entier positif n > 1 est dit « soluble » avec l’entier k si à partir du nombre 1, on peut l’obtenir à l’aide des opérations suivantes : - la première ...
L’ordre dans lequel on traite les deux questions est libre: - Vérifier que le carré de la somme des nombres ni de diviseurs des diviseurs di de 2310 est égal à la somme des cubes des ...
Zig écrit les termes successifs des suites polygonales S(a)(1) pour a = 3,4,5,...jusqu’à 20. Ce faisant, il constate qu’avec quatre suites polygonales S(a),S(a+1),S(a+2) et S(a+3) : .toute puissance ...
Soit un entier p ? 1. On cherche les entiers naturels distincts a et b tels que les six produits des entiers a,b,a + p et b + p pris deux à deux donnent le plus grand nombre possible m(p) de carrés ...
Pour k = 1,2,3,...on détermine la suite S des entiers positifs dont le terme général uk est égal au plus petit entier n tel que nn admet au moins 10k diviseurs entiers positifs. Q1 Trouver ...
Trouver le plus petit nombre possible k d’entiers positifs distincts de somme ≤ 2015 tels que : - 2 d’entre eux et 2 seulement sont divisibles par 2, - 3 d’entre ...
Problème proposé par Patrick Gordon Quatre amis Alice, Bernard, Caroline et Daniel décident de se rendre au Caesars Palace de Las Vegas pour passer la soirée devant les bandits manchots de ce célèbre ...
Q1 Définir l'ensemble des nombres réels positifs x tels qu'il existe exactement 11 nombres entiers m qui obéissent à la double inégalité x < m < x2. Q2 Définir l'ensemble des nombres réels positifs ...
Problème proposé par Thierry Machicoane Q1: Quel est le plus petit entier ayant exactement 2016 diviseurs? Q2: Quel est le plus petit entier ayant exactement 102016 diviseurs ? Q3 : Combien existe-t-il ...
On considère une suite de 12 entiers (ni, i = 1 à 12) strictement positifs à laquelle on associe la suite des douze sommes de leurs chiffres et la suite des douze produits de leurs chiffres. ...
Problème proposé par Claudio Baiocchi Puce est tout fier de montrer à Zig sa solution de la deuxième énigme de la rubrique A1867-Bienvenue à 2016 dans laquelle il s'agit de trouver un carré parfait ...
Démontrer que pour chaque entier positif k, il existe un entier positif n qui a les propriétés suivantes : 1) il a exactement k chiffres, 2) il ne contient pas le ...
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A50345. Carré neuf
(A. Arithmetique et algèbre/A5. Carrés, cubes, puissances d'ordre n)
L'ensemble d'entiers strictement positifs est tel que si x et y en sont deux éléments distincts, xy+9 est un carré. Trouver n.
Problème paru dans La Jaune et la Rouge d'octobre 2015
...
Trois nombres premiers distincts a,b et c sont tels que: - la somme de deux d'entre eux est une puissance de 2 supérieure à 16 et inférieure à 2016, - ils consituent avec les quatre entiers a + b + ...
On classe par ordre croissant les diviseurs de l'entier n qui admet 36 diviseurs y compris 1 et l'entier lui-même: 1 = d1₁ < d2 < ..< d35< d36 = n. La somme des carrés des 1er, 4ème et 7ème ...
Q1 On considère une suite de 2016 entiers positifs pas nécessairement distincts dont la somme est égale au produit. Déterminer la plus grande valeur possible du plus grand de ces entiers. Q2 On considère ...
Problème proposé par Raymond Bloch Q1Trouver la longueur maximale d'une progression artihmétique de k nombres entiers n1, n₂, n₃,...,nk telle qu'il existe un nombre réel x dont les k ‒ 1 puissances ...
Sylvain, le garde-forestier surveille une vaste forêt rectangulaire de 3937 hectares.Deux longues pistes la traversent selon les diagonales du rectangle et se croisent à 60°.Avec son véhicule tout-terrain,Sylvain ...
Q1 Trouver les dimensions entières de deux rectangles d'aires minimales telles que l'aire du premier est le quadruple de l'aire du second et le périmètre du second est le quadruple du périmètre du premier. ...
Problème proposé par Dominique Roux Déterminer le nombre de triangles pythagoriciens non semblables entre eux dont l'hypoténuse est égale à l'entier 20172016
Pierre Renfer, Jean Moreau de Saint ...
Q1 Déterminer la plus grande puissance de 10 obtenue en multipliant des entiers distincts ≤ 2016. Donner une liste de ces entiers aussi courte que possible. Q2 Déterminer le plus petit entier n₀ tel ...
Q1 Démontrer qu'il existe au moins une suite de m entiers a1,a2,a3,...am > 0 strictement croissante et un entier p < m tels que, m étant compris entre 10 et 25, les p premiers termes, a1 à ap, ...
On considère les fractions rationnelles a/b avec 0 < a < b qui admettent un développement décimal périodique de longueur n > 1, de la forme a/b = 0.d1d2d3...dnd1d2d3...dn.... avec le bloc d1d2d3...dn ...
Elle est définie par
On peut la décrire par une simple phrase sans symboles mathématiques. Saurez-vous le faire ?
Problème paru dans La Jaune et la Rouge de mai 2016 ...
Montrer qu'il existe un nombre de moins de 10 chiffres, décomposable de 7 façons au moins en somme a3+b3+c3+d3 de 4 cubes d'entiers positifs distincts (la suite 0,a,b,c,d est strictement croissante). ...
Neuf nombres premiers distincts sont répartis en trois triplets (a,b,c), (d,e,f) et (g,h,i) tels que a < b < c, d < e < f et g < h < i. Les nombres a et d sont jumeaux tandis que b ...
Q1 - Les dimensions des côtés d’un quadrilatère (non aplati) sont des nombres entiers tels que l’une quelconque d’entre elles divise la somme des trois autres. Démontrer que deux côtés au moins de ce ...
Zig présente à Puce ce système de trois équations dans lesquelles les trois variables réelles x,y et z sont distinctes de 0 et le paramètre m est un entier appelé "nombre mystère". xy (xy – m) ...
Q1 Trouver le plus petit entier pair N tel qu'il existe sept entiers strictement positifs distincts dont la somme est strictement plus grande que N et les sommes de trois quelconques d'entre eux sont ...
On définit comme suit diverses moyennes de deux réels positifs a et b : moyennes
arithmétique A=(a+b)/2$,
géométrique G telle que G^2=ab,
quadratique Q telle que a^2+b^2=2Q^2,
harmonique H telle ...
Soient deux entiers pairs N et n tels que N > 2n. On considère deux suites et , chacune constituée de n nombres entiers strictement positifs ≤ N, qui ont les caractéristiques suivantes: 1) elles ...
Trouver les entiers strictement positifs x,y et z tels que : x ≤ y ≤ 2016 et xy.yx = (x + y)z Pour les plus courageux, trouver les entiers strictement positifs x,y et z tels que :xy.yx = (x + y)z ...
Q₁ Démontrer que l'entier 3105 + 4105 est divisible par 7,13,31,43,49,181 et 379 mais ne l'est pas par 5 ou 11 ou 17 ou 19. Q₂ Démontrer que chacun des entiers : N₁ = 2125 + 1 048 576, N₂ = 3125 + ...
Problème proposé par Raymond Bloch Q1 On considère les trois entiers strictement positifs a < b < c tels que, pris deux à deux, les racines carrées de leurs sommes sont trois entiers consécutifs. ...
Déterminer le nombre de couples de nombres premiers p et q, l'un et l'autre inférieurs à 2017, tels que p divise q ‒ 1 et q divise p3 ‒ 1.
Jean Moreau de Saint Martin,Claude Felloneau,Gaston Parrour,Maurice ...
Q1 Pour tout entier pair m, démontrer qu’il existe un entier positif n tel que parmi les m derniers chiffres de la représentation décimale de 2n au moins la moitié sont les chiffres 9. Q2 Démontrer ...
Problème proposé par Michel Lafond On dit qu'un nombre réel positif est octogonal s'il est la somme de nombres réels positifs dont les écritures décimales ne comportent que le chiffre 8. Exemple ...
Q1 On considère une suite S de n entiers positifs distincts qui a la propriété suivante : à partir de deux éléments quelconques distincts de S, on sait toujours former une progression arithmétique avec ...
Q1 Soient quatre entiers strictement positifs distincts tels que pris deux par deux leurs PGCD sont toujours strictement supérieurs à 1 et pris trois par trois leurs PGCD sont toujours égaux à 1. Déterminer ...
Problème proposé par Raymond Bloch On écrit les entiers de 1 à n sur un tableau noir,on efface l'un d'eux et on calcule la moyenne arithmétique des entiers restants Q1 On suppose que cette moyenne est ...
On désigne par S(n) la somme des chiffres de l'entier n. Démontrer que pour tout entier m > 0 , on sait trouver un entier n tel que S(n2) = m*S(n). Par exemple pour m = 4, on obtient n = 13 ...
Q1 Trouver une suite de sept entiers naturels consécutifs telle que chacun d’eux est divisible par un carré parfait. Q2 Trouver une suite de quatre entiers naturels consécutifs telle que chacun d’eux ...
Problème proposé par Raymond Bloch Une urne contient des boules en nombre k ≤ 50 qui sont numérotées avec les puissances consécutives de 2 : 1, 2, 4, ...,2(k-1) dont la somme vaut S. On effectue un ...
On s'intéresse aux triangles non équilatéraux dont les longueurs des côtés sont des nombres entiers et les angles forment une progression arithmétique. Q1 Donner trois exemples de tels triangles non ...
n désigne par f(n) le nième terme de la suite des entiers naturels qui n'est pas un carré parfait. Ainsi f(1) = 2, f(2) = 3, f(3) = 5, f(4) = 6,etc... On désigne par fk(n), avec k entier quelconque ...
Problème proposé par Patrick Gordon
Le logo de Toyota peut susciter une légitime curiosité de la part du géomètre. Rappelons qu'il est formé de deux ellipses égales, orthogonales et sécantes, ...
