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Plus de 2500 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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A2964. Harmoniques en série Imprimer Envoyer
A2. Algèbre élémentaire

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Problème proposé par Patrick Gordon

Q1 Retrouver, d'au moins deux manières, le résultat connu que la série harmonique alternée 1/1 – 1/2 + 1/3 – 1/4… converge et donner sa somme.
Q2 Déterminer si – et à quelles conditions – la série harmonique périodique "ternaire" a/1 + b/2 + c/3 + a/4 + b/5 + c/6…peut converger et exprimer, dans ce cas, sa somme en fonction de a, b, c.
Application numérique : a = c = 1
Q3 Généraliser les conditions nécessaires de convergence au cas d'une série harmonique de période p quelconque.
Q4 Montrer que la série harmonique S de période p = 4 qui commence par 1/1 – 1/2 – 1/3 + 1/4 converge et déterminer sa somme.
Q5 On regroupe les termes de cette série S de deux en deux pour former deux séries :
S₁ = 1/1 – 1/2 + 1/5 – 1/6…
S₂ = – 1/3 + 1/4 – 1/7 + 1/8…
Ces séries convergent-elles? Si oui, leur somme redonne-t-elle celle de S?
Q6 On regroupe cette fois les termes de la série S, les positifs d'une part, les négatifs de l'autre,  pour former deux autres séries :
S'₁ = 1/1 + 1/4 + 1/5 + 1/8…
S'₂ = – 1/2 – 1/3 – 1/6 – 1/7…
Ces séries convergent-elles? Si oui, leur somme redonne-t-elle celle de S?
Commenter l'éventuelle différence entre ces deux regroupements.





pdfPierre Renfer,pdfPaul Voyer et pdfMaurice Bauval ont résolu le problème.

 

 
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