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Plus de 2500 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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Tous les problèmes sont identifiés par un niveau de difficulté :

Très facile

Facile

Moyen

Difficile

Très difficile

Variable

 

D'autre part, les problèmes se traitent généralement à la main et sont alors repérés par l'icône

 

Pour faciliter leur résolution, l'ordinateur peut être utile. Dans ce cas, vous verrez apparaître aussi cette icône

 

Quand l'ordinateur est indispensable, l'icône figure seule.

 

Pour avoir accès aux solutions de chaque problème, cliquez sur solution.

 

Les figures et les graphes ont été réalisés grâce au logiciel Declic.

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A360. Solubles ou insolubles Imprimer Envoyer
A3. Nombres remarquables

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Soit un entier impair k > 1 fixé à l’avance. Un entier positif n > 1 est dit « soluble » avec l’entier k si à partir du nombre 1, on peut l’obtenir à l’aide des opérations suivantes :
- la première opération est au choix une addition (+) ou une multiplication (x) et les opérations suivantes sont des multiplications ou des additions en alternance.
- dans chaque addition et dans chaque multiplication, on choisit l’entier 2 ou l’entier k.
A contrario, l’entier n est dit « insoluble » avec l’entier k.
Par exemple :
- l ’entier 70 est soluble avec l’entier k = 5 selon l’enchaînement : 1 + 5 = 6, 6*2 = 12, 12+ 2 = 14, 14 *5 = 70.
- l’entier 11 est insoluble avec l’entier k = 7. L’antécédent de 11 est nécessairement 4 ou 9 avec les additions 4 + 7 = 11 et 9 + 2 = 11 ; l’entier 9 n’a pas d’antécédent possible avec la multiplication par 2 ou par 7 et l’entier 4 a pour seul antécédent 2 tel que 2*2 = 4; l’entier 2 n’a pas d’antécédent avec l’addition car 1+2 = 3 > 2.

Q1 Avec k = 3, dénombrer tous les entiers insolubles.
Q2 Prouver que 2015 est soluble avec 5 valeurs de k choisies parmi {3,5,7,9,11,13,15}
Q3 Démontrer que si k ≥ 9 , il y a une infinité de nombres n insolubles avec k.


pdfGaston Parrour,pdfPhilippe Laugerat,pdfBernard Vignes et Antoine Verroken ont résolu tout ou partie du problème.

 
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