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Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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Problèmes par thèmes

A. Arithmétique et algèbre

A3. Nombres remarquables

A363. Permutations à la chaine (2ème épisode)

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A363. Permutations à la chaine (2ème épisode)

A3. Nombres remarquables

On considère les fractions rationnelles a/b avec 0 < a < b qui admettent un développement décimal périodique de longueur n > 1, de la forme a/b = 0.d₁d₂d₃...d_nd₁d₂d₃...d_n.... avec le bloc d₁d₂d₃...d_n qui se répète à l'infini.
Par exemple : 2/7 = 0.285714285714....a un développement décimal périodique dont le bloc de longueur 6 est 285714.
On effectue une suite de permutations circulaires sur les chiffres de chaque bloc d₁d₂d₃...d_n.Lors d'une permutation le dernier chiffre de chaque bloc passe en première position de ce bloc tandis que les n ‒ 1 autres chiffres sont décalés d'un cran vers la droite et l'on obtient à nouveau l'écriture d'une fraction rationnelle.
Soit r_k(a/b) la k-ième fraction rationnelle obtenue à l'issue d'une k-ième permutation circulaire opérée sur a/b avec k entier positif quelconque.
Par exemple à partir de a/b = 2/7, on a r₁(2/7) = 0.428571428571... = 3/7, puis r₂(2/7) = 0.142857142857... = 1/7, r₃(2/7) = 0.714285714285.. = 5/7, etc...., r₆(2/7) = 0.285714285714.. = 2/7, etc...
Sachant que r₈(a/b) = 2r₂(a/b) et r₄(a/b) = 4r₈(a/b), déterminer la plus petite fraction a/b dont le développement décimal a la plus petite période n > 1 possible puis calculer r₂₀₁₆(a/b).

Solution