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Plus de 2000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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A482. Les suites de James et de Stefan Imprimer Envoyer
A4. Equations diophantiennes

calculator_edit.png  

On considère la suite (un ) définie par la relation de récurrence  et dont le premier terme u1 est un entier >0.
Q1 Prouver qu’il existe une valeur de u1 = a telle que pour tout n > 1, chacun des termes  de la suite  (un ) divise le produit des n – 1 autres incrémenté d’une unité.
En déduire :
-    lorsque u1 = a, une relation entre la somme et le produit des fractions égyptiennes associées  aux ui pour i = 1,2,...n .
-    une suite de sept entiers naturels distincts < 1013 tels que chacun d’eux divise la produit des six autres incrémenté d’une unité.
Q2 Trouver une suite de cinq entiers naturels distincts ≤ 40 tels que chacun d’eux est un diviseur propre du  produit des quatre autres incrémenté d’une unité. Avec l’aide d’un automate,même question portant sur six puis sur sept entiers naturels distincts.
Nota : un diviseur propre d’un entier naturel k est un diviseur de k à l’exclusion de k lui-même.Par exemple 3 est un diviseur propre de 15 tandis que 15 ne l’est pas.


pdfPierre Henri Palmade et pdfPaul Voyer ont résolu le problème.
Les deux suites qui sont analysées dans ce problème ont été conçues par James Sylvester et Stefan Znam, ce qui explique le titre.Wikipedia fournit la documentation suivante: pdfSuite de Sylvester et pdfSuite de Znam.
 
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