Q1 Démontrer que quels que soient les entiers p,q,r,s les six racines du polynôme du sixième degré P(x) = x6 + 10x5 + 42x4 + px3 + qx2 + rx + s ne peuvent pas toutes être réelles.[**] Q2 On ...
1ère énigme : Le classique du 1er janvier [*] Le classique parmi les classiques :avec les quatre opérations élémentaires +, - , x ,/ et des parenthèses mises en tant que de besoin, à l'exclusion de ...
Soit un entier p > 0 fixé à l’avance. On s’intéresse aux entiers n > 0 appelés « théâtrophiles » qui sont présents à la fois à l’orchestre et au balcon et sont tels que pn se termine par ...
On désigne par τ(n), tau de n, le nombre de diviseurs de n, y compris l’entier 1 et l’entier n lui-même. Pour tout entier a ≥ 2 fixé à l’avance, Zig marque de l’intérêt pour les entiers n et leurs ...
Soient φ(n) l’indicatrice d'Euler qui à tout entier naturel n non nul associe le nombre d'entiers compris entre 1 et n et premiers avec n et σ(n) la fonction sigma qui est la somme des diviseurs positifs ...
Q1 Puce sait-il trouver trois entiers naturels a,b et c en base 10 tels que les sommes des chiffres (sdc) de leurs carrés sont égales respectivement à 37, 38 et 39 ? [*] En cas de réponse positive ...
1ère ronde** : Dans cette première ronde fermée, on écrit tous les entiers positifs de 1 à n de telle sorte que deux nombres adjacents ont au moins un chiffre en commun. Quelle est la plus petite valeur ...
1ère réjouissance [*] Zig trace un segment de 20 cm de longueur et Puce de son côté trace un segment de 13 cm de longueur. Puce partage en trois son segment puis Zig fait de même avec le sien. On obtient ...
Sur le recto d’une feuille de papier, je trace 2013 points distincts entre eux. La distance maximale qui sépare deux points quelconques est de 10 centimètres et j’ai une configuration dans laquelle ...
On dispose d’une grosse boite d’allumettes qui sont toutes de même dimension. 1) Trouver une figure géométrique plane dans laquelle toute allumette rencontre sans chevauchement ...
Chacun des entiers de 1 à 25 est inscrit dans une des 25 cases du tableau suivant :
Pour chaque groupe de trois cases consécutives, on calcule la somme des trois nombres contenus dans ...
Problème proposé par Michel Lafond Zig a devant lui un certain nombre de quilles alignées tous les 10 cm. Il essaie de les renverser toutes avec une boule de 12 cm de diamètre. Pour cela, il n’a que ...
Empruntons à Claude-Gaspard Bachet sieur de Méziriac (1581-1638) l’un de ses problèmes « plaisants et délectables qui se font par les nombres »: « k jeunes dames fort aimables ont pour maris k hommes ...
Problème proposé par Michel Lafond Zig a réuni des convives autour de trois tables circulaires et attribue à chacun d’eux une étiquette qui comporte un nombre entier strictement positif. Toutes ...
Diophante a écrit le nombre 2 sur le tableau noir. A tour de rôle, l’un des deux joueurs Zig et Puce ajoute un diviseur d du dernier nombre n qui vient d’être écrit avec 0 < d < n et écrit n ...
Zig vient de planter un vaste massif de rosiers. Pour favoriser leur croissance, il s’apprête à leur apporter de l’engrais liquide(1). Cas n°1** : il dispose de 8 bouteilles d’engrais et le fournisseur ...
Problème proposé par Michel Lafond Un sondage vient d’être effectué par l’institut Sospi-Pofi auprès des lecteurs de diophante.fr en vue de connaître leur prédilection pour trois matières : arithmétique, ...
Zig choisit un nombre entier N positif et indique à Puce que la somme des chiffres de N est égale à 13. Puce cherche alors à trouver N en posant une série de questions. A chacune d’elles, Puce choisit ...
Problème proposé par Michel Cayrol On considère 13 cartes numérotées de 1, 2, ..., 13 disposés autour d'un cercle, on peut facilement trouver un ordre qui fait que deux cartes consécutives sur le cercle ...
Le dragon Tarasque a N têtes. Sainte Marthe, la sauroctone bien connue, dispose de trois épées pour affronter le dragon. Avec son épée en or, elle peut couper la moitié des têtes du dragon plus ...
On écrit les entiers naturels 1,2,3,.. à la queue leu-leu pour former une unique chaîne de caractères : 12345678910111213141516… Un entier est appelé « lève-tôt » s’il apparaît dans la chaîne avant ...
Au début de la partie n enfants détiennent chacun une balle marquée de son nom puis chacun d’eux échange la balle qu’il détient avec les n – 1 autres enfants. Il y a ainsi k = n(n ‒ 1)/2 échanges qui ...
On considère une grille carrée de dimension infinie. Q1 On place deux cailloux numérotés « 1 » de poids 1 dans deux cases distinctes puis on place successivement les cailloux numérotés « 2 » , « 3 ...
Problème proposé par Stan Wagon Soit n un entier strictement positif fixé à l’avance. A partir de l’entier 1, il s’agit d’obtenir n de la manière suivante : on peut ajouter ou multiplier deux termes ...
Un cavalier d’un jeu d’échecs est placé initialement sur une quelconque case d’un échiquier n x n avec n très grand. Il effectue un périple en se déplaçant en L, c’est-à-dire de deux cases dans une ...
Problème proposé par Jean Louis Legrand Vous jouez avec 2011 cure-dents identiques, assimilés à des segments, que vous devez placer, à la verticale ou à l'horizontale, sur un plan (infini). Au tour ...
Le mode de fonctionnement des machines à sous du casino de Diophantopolis est très simple.Après avoir introduit une mise de 3€, le joueur appuie sur deux touches qui lui permettent de choisir ...
Problème proposé par David Draï Soit l’ensemble S de tous les produits possibles de n entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à m . Autrement dit, S = Soit F(m,n) le nombre ...
Problème proposé par David Draï. Une pièce équilibrée est lancée à plusieurs reprises jusqu’à ce qu’on obtienne pour la première fois deux “faces” consécutives et on désigne par k le nombre de lancers ...
On considère un ensemble E de n > 3 points dans le plan de sorte que trois quelconques d'entre eux ne sont jamais alignés. Montrer que le nombre de triangles acutangles dont les sommets appartiennent ...
Un petit cube de masse égale à un kilogramme est initialement au repos sur un sol parfaitement lisse. Comme indiqué sur la figure, il est situé entre un mur sur la gauche et un gros cube sur la droite. ...
Problème proposé par Elie Stinès Chaque année, à la fin du mois de janvier, la pâtissière impose à son mari, à leurs k ≥ 0 enfant(s) ainsi qu'à elle-même de déguster une partie des galettes des rois ...
Zig lance trois fois de suite un dé à six faces en vue de créer un nombre entier N de trois chiffres. Il lance le dé une première fois et au vu du résultat il décide la position qu’occupera ce chiffre ...
Alice,Bernard et Caroline se rendent chez Pascal ce maître artisan glacier réputé qui offre une très grande variété de parfums de glaces soit en cornets soit dans des coupes en nougatine. Alice est ...
Zig et Puce disposent d’une gigantesque feuille de papier quadrillé que l’on peut assimiler à un treillis de points à coordonnées entières. Q?[*] Puce le premier trace une croix rouge en un point ...
Démontrer que parmi deux grilles carrées de dimensions respectives 5 x 5 et 6 x 6 remplies l’une et l’autre avec des -1, des 0 et des 1, une seule peut être antimagique,c’est à dire avec des sommes ...
Grille proposée par Jean-Michel BERNARD Cette grille utilise des Nombres Premiers Extensibles à Droite (NPED). Un nombre Pn+1, de n + 1 chiffres est un Nombre ...
Cette grille fait intervenir des nombres premiers à 4 chiffres : A1 et des anagrammes de A1 désignés par NPAA1. Tous les nombres sont différents. Aucun nombre ne commence par zéro. sdc = somme des chiffres ...
Cryptarithmes proposés par Raymond Bloch
Dans ce qui suit, pour chaque addition, chaque lettre représente un chiffre différent et vice versa, et aucun nombre ne commence par zéro. Reconstituez les ...
Problème proposé par Augustin Genoud Q1 Sur la première figure n°1, deux joueurs A et B ont dessiné 16 points sur une feuille quadrillée dont chaque carreau élémentaire est ...
La Sologne bourbonnaise comporte un réseau de k sentiers de randonnée pédestre qui relient 7 villages avec les caractéristiques suivantes : - deux villages ...
Problème proposé par Raymond Bloch On considère un échiquier rectangulaire ABCD de dimensions AB = 20 et BC = 12 dont les cases sont des carrés unité. Un pion se déplace d'une case à l'autre à la condition ...
Rappels de deux cryptarithmes diffusés pendant le mois d’avril 2020: CORONA + VIRUS = VAINCU avec VAINCU nombre premier MASQUES + TESTS = YENAPAS (proposé par Pierre Leteurtre) Raymond Bloch ...
A partir de progressions arithmétiques distinctes caractérisées par une même raison trouver : - un carré magique 4x4 dont tous les termes sont des nombres premiers < 120 [**] - un carré ...
Dans ces trois cryptarithmes, chaque étoile représente un chiffre choisi dans l’ensemble .Les nombres ne commencent jamais par un zéro. Le cryptarithme C1 contient une multiplication ...
Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin Une fourmi visite tous les sommets d'un polyèdre régulier en suivant certaines arêtes, sans passer par un arête déjà utilisée, et revient à son point ...
Problème proposé par Raymond Bloch Sur un échiquier n x n, déterminer pour n prenant successivement les valeurs 5,6,7,8 et 9 le nombre maximum de cases 1x1 que l’on peut peindre en rouge de sorte ...
Placer le long de la circonférence d’un cercle les entiers naturels de 1 à 32 de sorte que : Q1 La somme de deux entiers adjacents quelconques est un nombre premier Q2 La somme et la différence (en ...
On place n points sur une feuille de papier. Zig et Puce à tour de rôle tracent une ligne reliant deux points ou bien partant d’un point et revenant à ce point. Un nouveau point est tracé sur cette ...
Problème proposé par Dominique Roux Étant donné un triangle ABC et un point M de son plan on construit les intersections A', B', C' de MA, MB, MC avec respectivement BC, CA, AB. 1) Pour quels points ...
Problème1 proposé par Dominique Roux On donne un cercle (O) de centre O et deux points A et B, B étant intérieur à (O). Une droite variable passant par B coupe (O) en deux points P et Q. Quel ...
Soient un triangle ABC et son cercle circonscrit (C). On trace le cercle tangent en B à AB et passant par C, puis le cercle tangent en C à BC et passant par A et enfin le cercle tangent en A à CA et ...
Q1 Quelle est l’aire maximale d’un hexagone régulier contenu dans un carré de côté unité ? [**] Q2 Quelle est l’aire maximale d’un hexagone de diamètre unité ?[****] Nota : le diamètre d’un polygone ...
Sur chaque côté d’un triangle ABC, on a marqué les pieds de la hauteur et de la bissectrice issues de chacun des sommets. Les six points sont distincts. Q₁ A l’aide d’une règle seule, sans limite ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre
Dans un triangle ABC, on désigne respectivement par HA, HB et HC les pieds des hauteurs issues des sommets A, B et C sur les droites (BC, (CA) et (AB). ...
Problème proposé par Raymond Bloch Dans ce grand parc poussent depuis des siècles: 1) des séquoias géants (Sequoiadendron giganteum) plantés aux sommets A,B,C,D,.... d'un polygone (P) régulier de ...
Q1 - Déterminer dans le plan le nombre maximum de triangles qui se touchent sans se chevaucher de telle sorte que deux quelconques d’entre eux ont un segment commun de longueur > 0 [*] Q2 - Déterminer ...
On considère dans un quadrillage n points distincts de coordonnées entières tels que les distances entre les points pris 2 à 2 sont toutes distinctes. Respectivement pour n prenant les valeurs 4,5,6 ...
Problème proposé par Pierre Henri Palmade A l'occasion de fouilles réalisées en 1975 à Gyeongju en Corée du Sud, les archéologues ont découvert un dé à 14 faces appelé "juryeonggu" qui datait de l'époque ...
Dans un triangle ABC acutangle,on trace le centre de gravité G, les milieux I,J,K des côtés BC,CA et AB ainsi que le pied D sur BC de la hauteur issue de A. Q1 On trace sur la droite [AD] un point ...
Voici deux problèmes de géométrie posés tout récemment aux olympiades nationales 2019 de mathématiques en Grande-Bretagne et en Chine. Problème n°1 (Grande-Bretagne) Soit un triangle ABC. La ...
Problème proposé par Pierre Renfer Q₁ Montrer que les seuls polygones réguliers inscriptibles dans une hyperbole équilatère sont les triangles équilatéraux. Q₂ Soit ABC un triangle équilatéral, de ...
Répondre aux six questions suivantes : - en excluant toute formule trigonométrique, - en utilisant,si besoin est, les quatre opérations élémentaires (+, – , x et /) - en donnant ...
Soit un triangle ABC non isocèle dont les pieds des hauteurs sont respectivement Ha,Hb et Hc et les milieux des côtés opposés aux sommets sont Ma,Mb et Mc. Les droites [HbHc] et [BC] se coupent au point ...
Problème proposé par Thérèse Eveilleau Dans une construction à la règle et au compas, une étape consiste en le tracé - d’un cercle ou arc de cercle, ou bien - d’une droite. ...
Q1 Je dispose de triominos identiques en forme de L, chacun d’eux étant composé de trois carrés de 1cm de côté qui se touchent par un côté complet.J'en pave des rectangles dont l’aire est un nombre ...
Soient un nombre premier p > 3 et un polygone convexe P, pas nécessairement régulier, de p côtés. Q1 Prouver que pour tout entier k tel que 1 ≤ k ≤ (p – 1)/2, on sait joindre les sommets de P à ...
1) Un repas réunit 2n personnes. Chacune connaît au moins n des autres personnes présentes (et en est connue). Montrer que l'on peut choisir quatre de ces personnes et les placer autour d'une ...
Q1 Sur le premier cadran ci-contre qui affiche les heures de 1 à 12, déterminer le nombre minimum d'interversions des numéros pris deux à deux telles que toute somme de deux numéros adjacents est ...
Le but du jeu est de faire passer le cavalier par les 12 cercles déposés sur la grille an 12 sauts successifs imposés. Ces sauts sont symbolisés par les dominos rangés dans le désordre à droite de ...
Traditionnellement quand un article devient périmé, le
commerçant le brade. Nous faisons de même avec le millésime 2008 qui n'aura
plus cours dans un ...
P1 : Trouver tous les couples d'entiers naturels (n, a)
avec ...
Nota : Le nombre 17 a un très
grand nombre de propriétés aussi curieuses les unes que les autres.Vincent Lefèvre en a établi une liste accessible à l'adresse ...
Trouver le plus petit nombre premier dont le carré est la somme des diviseurs d’un carré parfait qui est lui-même la somme des diviseurs du cube d’un nombre premier.
Pour les plus courageux : ...
Q1- Cet entier A a exactement 40000 diviseurs qui sont strictement supérieurs à 1. Prouver que A est le carré d'un carré parfait.
Q2- Cet autre entier B est de la forme 2n + 1 avec n égal au produit ...
Pour maintenir ses neurones en forme, il est conseillé de prendre régulièrement des doses de phi-tau-sigma qui comporte les trois composants de base : le phi, le tau et le sigma.
En voici six petites ...
Ce mélangeur de cartes est conçu de façon très simple : pour un ordonnancement donné des cartes, il réarrange toujours de la même façon les n cartes selon leur ordre d'apparition. Il peut donc ...
Dans ce jeu radiodiffusé où vous pouvez gagner mille euros, l'animateur vous présente dix nombres entiers distincts tirés au hasard entre 1 et 100 inclus et vous avez une minute pour repérer parmi ...
Un premier tour de cartes a été présenté dans le problème E614. En voici un second :
Hippolyte veut démontrer à un large public les capacités divinatoires de Diophante qui est installé seul ...
Le jeu de NIM est à l'origine d'un grand nombre de jeux logiques dont le plus connu en France est le jeu des allumettes que le film d'Alain Resnais « L'année dernière à Marienbad » a immortalisé ...
En 1658, lors de l’une de ses expéditions vers le Nouveau Continent, le célèbre corsaire Nicolas Gargot de la Rochette dit Jambe-de-Bois a caché cinq trésors dans une petite île au sud de Terre-Neuve. ...
On considère un triangle ABC. Dans les trois premiers exercices on trace un point D intérieur au triangle.
Exercice N° 1
On a BAC = 50°,ABD = 20°,BAD = 10° etACD = 30°.En déduire la mesure ...
Voici sept petits problèmes de géométrie dont certains ont plusieurs décennies d'existence et n'ont pas pris une ride. Le triangle équilatéral y est le roi et la trigonométrie sauf exception y est ...
Différents acteurs de cinéma i=1,2,..n ont reçu ni fois le « César » au cours de leur carrière ( ni2). A leur intention Diophante a pu composer le même cryptarithme de la forme suivante : ...
A271 Un menu pantagruélique [* à ***** à la main selon l’ordre d’arrivée des plats]
Au cours de ce repas digne de Pantagruel où les polynômes sont à toutes les sauces, Diophante et Hippolyte ...
Pour varier les plaisirs de la base décimale avec laquelle nous vivons quotidiennement, voici quelques exercices qui nous invitent à opérer sur de nouvelles bases : A-Mise en train [*] 1) ...
Soit à calculer à 0,0001 près la somme S de la série : où f(x) = x - est la partie fractionnaire d’un nombre réel x. Combien de termes vous faut-il considérer? - ...
A281-La malle à décimales-énoncé.pdf
Claude Morin,Daniel Collignon,Jean Moreau de Saint Martin et Pierre Hneri Palmade ont résolu le problème.
Problème n°1 : Le plus petit entier possible.
Trouvez le plus petit entier naturel divisible par 2007 et qui commence par 2008 et finit par 2006.
Généralisation :
on recherche le plus ...
Si on souhaite varier les plaisirs avec les grilles de Sudoku, rien de plus simple que de garder son crayon et sa gomme, de tracer une grille vierge à 9x9 cases et de se lancer dans la résolution des ...
Ce problème a été suggéré par Arnaud Debeurm.
Diophante passe en revue les dix mille premiers nombres entiers naturels 1,2,3,4,...10000 et repère tous ceux qui ont la propriété P(k) d'être ...
