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Plus de 2500 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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Tous les problèmes sont identifiés par un niveau de difficulté :

Très facile

Facile

Moyen

Difficile

Très difficile

Variable

 

D'autre part, les problèmes se traitent généralement à la main et sont alors repérés par l'icône

 

Pour faciliter leur résolution, l'ordinateur peut être utile. Dans ce cas, vous verrez apparaître aussi cette icône

 

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Pour avoir accès aux solutions de chaque problème, cliquez sur solution.

 

Les figures et les graphes ont été réalisés grâce au logiciel Declic.

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A1969. Des diviseurs à la pelle Imprimer Envoyer
A. Arithmetique et algèbre - A1. Pot pourri
calculator_edit.png  

Q1- Cet entier A a exactement 40000 diviseurs qui sont strictement supérieurs à 1. Prouver que A est le carré d'un carré parfait.

Q2- Cet autre entier B est de la forme 2n + 1 avec n égal au produit de 10 nombres premiers distincts strictement supérieurs à 3. Prouver que B a plus d'un million de diviseurs.


Jean Moreau de Saint Martin,Daniel Collignon,Patrick Gordon et Philippe Laugerat ont répondu aux deux questions.
Par ailleurs Daniel Collignon signale que la deuxième question est un problème qui figure dans la liste finale retenue pour les Olympiades Internationales de Mathématiques de 2002.
Le résultat peut être étendu à 2^(2^n-1) diviseurs à l'aide des
polynômes cyclotomiques.
Références :
http://www.artofproblemsolving.com/Wiki/index.php/2002_IMO_Shortlist_Problems/N3
http://www.ajorza.org/wimo/images/mathfiles/files/imoshortlist/scansod/imo2002s_sol.pdf
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=17326

 
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