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Plus de 2500 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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G266. Les cure-dents Imprimer Envoyer
G2. Combinatoire - Dénombrements
calculator_edit.png  

Problème proposé par Jean Louis Legrand

Vous jouez avec 2011 cure-dents identiques, assimilés à des segments, que vous devez placer, à la verticale ou à l'horizontale, sur un plan (infini).
Au tour 0, avant de jouer, il n'y a aucun cure-dent sur le plan.
Au tour 1, vous placez un cure-dent à la verticale, n'importe où sur le plan.
Ensuite, à chaque tour, vous devez placer le nombre maximum de cure-dents sur le plan, de façon que:
- le milieu de chaque cure-dent soit situé à l'extrémité d'un cure-dent, et d'un seul, placé avant ce tour;
- chaque cure-dent qui en touche un autre ne le fasse qu'à une extrémité (deux cure-dents ne doivent jamais se recouvrir sur une moitié).
Par exemple, au tour 7, vous placez 12 cure-dents sur le plan  pour obtenir la figure de 35 cure-dents suivante:
G266


Q1 ***: Existe-t-il un tour qui donne une figure contenant exactement 2011 cure-dents? Si oui, déterminer le numéro de ce tour. Si non, préciser le numéro du tour qui donne le résultat le plus proche de 2011.
Q2 *****: Combien y a-t-il de cure-dents à l’issue du tour n°2011?


Pierre Henri Palmade a résolu le problème en donnant pour réponse à Q1: 60-ième tour et en plaçant en réponse à Q2 : 2247339 cure-dents à l'issue du tour n° 2011.
Paul Voyer a remarqué que ce problème a fait l'objet d'une analyse fouillée de la part de N.J.A. Sloane - le père fondateur de la célébre encyclopédie en ligne des séquences d'entiers (O.E.I.S)-  et de deux autres mathématiciens américains sous le nom  de Toothpick Sequence. On trouvera par ailleurs dans G266-Les cure-dents les liens avec l'OEIS.
 
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