Problème proposé par Jean Louis Legrand

Vous jouez avec 2011 cure-dents identiques, assimilés à des segments, que vous devez placer, à la verticale ou à l'horizontale, sur un plan (infini).
Au tour 0, avant de jouer, il n'y a aucun cure-dent sur le plan.
Au tour 1, vous placez un cure-dent à la verticale, n'importe où sur le plan.
Ensuite, à chaque tour, vous devez placer le nombre maximum de cure-dents sur le plan, de façon que:
- le milieu de chaque cure-dent soit situé à l'extrémité d'un cure-dent, et d'un seul, placé avant ce tour;
- chaque cure-dent qui en touche un autre ne le fasse qu'à une extrémité (deux cure-dents ne doivent jamais se recouvrir sur une moitié).
Par exemple, au tour 7, vous placez 12 cure-dents sur le plan  pour obtenir la figure de 35 cure-dents suivante:

Q1 ***: Existe-t-il un tour qui donne une figure contenant exactement 2011 cure-dents? Si oui, déterminer le numéro de ce tour. Si non, préciser le numéro du tour qui donne le résultat le plus proche de 2011.
Q2 *****: Combien y a-t-il de cure-dents à l’issue du tour n°2011?