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Problèmes par thèmes G. Probabilités G2. Combinatoire - Dénombrements G2967. Pascal le glacier
Problèmes par thèmes G. Probabilités G2. Combinatoire - Dénombrements G2967. Pascal le glacier
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| G2967. Pascal le glacier |
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| G2. Combinatoire - Dénombrements |
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Alice,Bernard et Caroline se rendent chez Pascal ce maître artisan glacier réputé qui offre une très grande variété de parfums de glaces soit en cornets soit dans des coupes en nougatine.
Alice est servie la première et choisit un cornet à deux boules de parfums différents. Bernard limite son choix aux parfums de fruits rouges et se fait servir une coupe avec cinq boules de parfums différents. Ce faisant il prend la dernière boule de fraise des bois. Caroline enfin se limite aux parfums de fruits rouges disponibles et choisit une coupe avec six boules de parfums différents. Q₁ Pascal ayant constaté en mathématicien amateur éclairé que les trois amis avaient exactement le même nombre de choix possibles, déterminer le nombre total de parfums offerts à Alice et le nombre de parfums de fruits rouges offerts à Bernard.[*] Q₂ Démontrer qu’on sait trouver dans le triangle de Pascal un nombre entier > 1 qui apparaît huit fois [*] Q₃ Démontrer qu’on sait trouver trois entiers < 2021 qui apparaissent six fois dans ce même triangle [**] Q₄ Démontrer qu’il existe une infinité de nombres entiers qui apparaissent six fois dans ce triangle [****]. Pour les plus courageux : Existe-t-il une infinité de nombres entiers tels que chacun d’eux apparaît huit fois ou plus dans le triangle de Pascal? [*****]  Jean Moreau de Saint Martin,Jean-Louis Legrand,Thérèse Eveilleau,Pierre Henri PalmadeDavid Amar,Daniel Collignon et Pierre Leteurtre ont résolu tout ou partie du problème.On peut lire avec intérêt les articles de David Singmaster et d'Ignacio Larros Canestro sur ce problème et ses extensions.La question pour les plus courageux n'a pas de réponse. En effet,l'entier 3003 est le seul entier connu qui apparaît huit fois dans la triangle de Pascal.En existe-t-il d'autres? Le problème reste ouvert. |
