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Plus de 2000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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D207. Le bosquet de séquoias Imprimer Envoyer
D2. Géométrie plane : autres problèmes

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Problème proposé par Raymond Bloch

Dans ce grand parc poussent depuis des siècles:
1) des séquoias géants (Sequoiadendron giganteum) plantés aux sommets A,B,C,D,.... d'un polygone (P) régulier de n côtés. Les sommets A,C et D sont tels que la plus grande hauteur du triangle ACD est égale à la somme des deux autres hauteurs.
2) des séquoias à feuille d'if (Sequoia sempervirens) qui occupent des sommets de polygones PA,PB,PC ....homothétiques au polygone P. Sur chacun de ces polygones on trouve deux séquîoas géants et n ‒ 2 séquoias à feuille d'if.

D207
La figure ci-dessus fait apparaître pour chacun des polygones PA,PB,PC ....quatre sommets sur les n sommets, à savoir les sommets A,a1,a2,B du polygone PA, puis les sommets B, b1,b2,C du  polygone PB enfin les sommets C,c1,c2,D, du polygone PC .Le même motif alterné se répète jusqu'au polygone passant par  le n-ième séquoia géant et par le sommet A.
Q₁ Déterminer le nombre n de séquoias géants et le nombre de séquoias à feuille d'if.
Q₂ Démontrer les trois relations 1/AB = 1/AC + 1/AD , Aa2 + AB = AC  et Aa1 + Aa2 + AB = AD.
Nota: la figure n'est pas exacte car elle ne respecte pas les proportions.



pdfMaurice Bauval,pdfJean Nicot,pdfPierre Henri Palmade et pdfPaul Voyer ont résolu le problème et dénombré 7 séquoias géants et 29 séquoias à feuille d'if.
Ce problème illustre certaines des remarquables propriétés du triangle heptagonal.On pourra lire avec intérêt un pdfrésumé puis les articles très documentés de pdfL. Bankoff et J. Garfunkel - The heptagonal triangle et de pdfPaul Yiu - Heptagonal triangles and their companions.

 
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