Cryptarithme proposé par Philippe Laugerat Comme dans tout cryptarithme, chaque lettre désigne un chiffre et un seul et aucun nombre ne commence par un zéro. ...
Problème proposé par Michel Lafond
Il s'agit de remplir toutes les cases de la grille 13 x 16 ci-dessous avec des nombres entiers dont quinze au moins sont distincts de sorte que dans quatre cases ...
Cryptarithme proposé par Raymond Bloch On pose la multiplication de deux entiers A à 4 chiffres et B à deux chiffres. Sur les lignes L1 à L5 figurent respectivement A,B, les résultats des deux multiplications ...
Zig et Puce jouent sur un plateau assimilé à un plan de dimensions infinies sur lequel sont placés un pion noir (le loup) et cent pions blancs (les brebis). A tour de rôle Zig déplace le loup puis Puce ...
Problème proposé par Raymond Bloch Un dé ordinaire à six faces est placé sur la case inférieure gauche d'un damier 289 x 289. Les seuls mouvements autorisés consistent à faire pivoter le dé le long ...
Zig et Puce ont devant eux un polyèdre convexe qui a au moins cinq faces et dans lequel trois arêtes partent exactement de chaque sommet. A tour de rôle, Zig pour commencer puis Puce apposent en alternance ...
Soit n ≥ 3. On considère un damier n x n dont les n2 cases contiennent initialement des zéros et un carré de dimension n ‒ 1 que l'on peut déplacer comme au jeu du taquin aux quatre coins du damier. ...
Zig accompagne neuf randonneurs pour la traversée nocturne d'une vieille passerelle qui ne supporte pas plus de deux randonneurs à la fois. Ils ne disposent que d'une seule lampe de poche indispensable ...
Problème proposé par Francis Gaspalou La Mélancolie est le nom donné à une gravure sur cuivre d'Albrecht Dürer datée de 1514. Sur cette gravure, figure un carré magique, dont la valeur est 34 avec ...
De manière à obtenir les deux membres d'une égalité, insérer les symboles /(division), = (égalité) et , (séparateur décimal) dans la chaîne de caractères KAYACBLOCHBLOCHBLOCH....où chaque lettre ...
Problème proposé par Michel Lafond Un cheval est condamné à errer indéfiniment sur un échiquier (8 x 8) en sautant aléatoirement d'une case à une autre case accessible. Au départ d'une case, toutes ...
Problème proposé par Francis Gaspalou Soit un carré magique 4 x 4 qui utilise les entiers de 1 à 16 et dont la somme des 4 lignes, des 4 colonnes et des 2 diagonales principales est égale à 34. ...
Les bourgs de Mayet-de-Montagne dans la Montagne bourbonnaise et de Saint-Pourçain-sur-Sioule dans la Limagne bourbonnaise envisagent de créer deux réseaux de sentiers de randonnée pédestre reliant ...
Prouver qu'il est possible de remplir les 81 cases d' un tableau 9 x 9 avec les entiers de 1 à 81 de sorte que les sommes des nombres contenus dans tous les carrés 3 x 3 sont identiques. ...
Sur un échiquier 10 x 10 , on place sept Dames de sorte qu’elles contrôlent comme au jeu d’échecs la totalité des cases. Déterminer la dimension du plus grand carré que l’on peut tracer à l’intérieur ...
Problème proposé par Francis Gaspalou Dans un carré magique 6 x 6 normal, quel est le nombre maximum possible de paires de nombres complémentaires (somme égale à 37) que l’on peut placer symétriquement ...
La grille ci-contre a l’allure d’une grille de sudoku dans laquelle l’objectif est de compléter chacun des neuf carrés 3x3 ainsi que chaque ligne et chaque colonne du carré 9x9 avec tous les chiffres ...
On considère la liste (L) des cinquante premiers nombres premiers 2,3,5,….,227,229. Q1 Prouver qu’on sait trouver dix nombres premiers distincts p1,p2,..,p10 choisis dans (L) et placés sur une même ...
On considère deux rayons laser qui partent d’un point P situé sur le bord intérieur d’une pièce circulaire. Ils forment respectivement deux angles de n degrés et n + 1 degrés (n entier positif ...
Problème proposé par Pierre Jullien Trois arbres binaires infinis possèdent une même racine et des troncs, de même longueur, à 120° les uns des autres. De chaque nœud partent, à 120°, deux branches ...
Les neuf entiers positifs distincts a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3 remplissent les neuf cases d’un carré 3 x 3 de sorte que : - les produits des entiers sur une même ligne sont tous égaux ...
Problème proposé par Michel Lafond On appelle carré magique décimal [CMD] d’ordre n un carré de n x n cases contenant les entiers de 1 à n2 et tel que : Les sommes des n lignes, des n colonnes et des ...
Problème proposé par Raymond Bloch Les entiers de 1 à n2 sont écrits dans les cases d’une grille carrée de dimension n avec un seul entier par case. On calcule toutes les sommes des nombres qui appartiennent ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre Zig et Puce possèdent 10 résistances électriques, chacune de 1.000Ω exactement, et un ohmmètre capable de mesurer les résistances de 1 à 20kΩ à 10-6 ...
Dans une grande forêt de résineux sur terrain plat, Zig est assis sur la souche d’un arbre prise pour origine. Toute la forêt est plantée d’arbres assimilés à des colonnes cylindriques dont les axes ...
On considère une grille carrée de dimension n ≥ 4 qui contient n² cases. Dans chacune d’elles on écrit un entier de sorte que la somme de tous les entiers de la grille est positive et la somme des entiers ...
Problème proposé par Raymond Bloch Vous avez trois armadas à installer successivement sur un champ de bataille navale, un carré 10x10 de 100 cases unitaires. Chaque navire est un rectangle identifié ...
Problème proposé par Claude Del Vigna Remplir cette grille extraite du site garam.fr avec un seul chiffre dans chaque case de sorte que chaque ligne et chaque colonne forment une opération correcte. ...
Problème proposé par Raymond Bloch A l’origine les 25 cases d’une grille carrée (5 x 5) sont vides. Une opération consiste à choisir l’une de ces cases et à installer une coccinelle dans cette case ...
Le Futoshiki - qui veut dire "non égal" en japonais - arrivé en Europe à partir de la fin 2006 est un casse-tête où le joueur doit prendre en compte des inégalités avec le but de remplir un carré ...
Problème proposé par Raymond Bloch Déterminer la paire d’entiers a et b à cinq chiffres chacun (a > b),écrits avec les dix chiffres de 0 à 9 utilisés une fois et une seule, tels que l'équation a ...
On considère une grille carrée Gi (i x i ) constituée de i2 cases carrées de même dimension. Pour chacune des quatre grilles Gi (i = 3,4,5,6) déterminez le nombre minimum Ni de lignes ...
Une pièce de monnaie est placée sur le coin inférieur gauche d’une grille n x n. Deux cases de la grille sont dites « adjacentes » si elles ont un côté commun ou bien un sommet commun. Zig et Puce jouent ...
Problème proposé par Raymond Bloch Cinq cases sont retirées d’un échiquier 9x9, voir la figure ci-dessus. Les 76 cases restantes peuvent-elles être couvertes par 38 dominos, chacun couvrant deux ...
Il s’agit de remplir les 22 cases de la grille ci-dessus avec les chiffres de 1 à 9 de sorte que les cinq nombres entiers lus horizontalement (2 entiers de 5 chiffres et 3 entiers de 4 quatre chiffres) ...
Problème proposé par Raymond Bloch On couvre intégralement un échiquier 8x8 de dominos couvrant 2 cases chacun, sans recouvrement, ni débordement. H dominos sont posés horizontalement et V= (32‒ H) ...
4 personnes doivent traverser un pont de nuit et ne disposent que d'une seule lampe. L'une effectue la traversée en 10 minutes, la 2ème en 5 minutes, la 3ème en 2 minutes, et la ...
Problème proposé par Dominique Roux On donne deux points A et B et on construit deux cercles Γ(A) et Γ(B) de centres A et B,de même rayon fixe et sécants en deux points C et C'. P est un point qui ...
Problème proposé par Yves Foussard A l’aide de la règle seule, construire à partir d’un point C situé sur la circonférence d’un cercle de centre O et de rayon r,une corde CD de longueur égale ...
Un polygone régulier à n côtés est inscrit dans un cercle de centre O dont le rayon est un entier r. Sur la droite qui relie O à l’un des sommets du polygone, on trace un point P extérieur au polygone ...
1er jeu La droite qui relie l’orthocentre H d’un triangle ABC au milieu M du côté BC, coupe l'arc AB du cercle circonscrit au triangle ABC en un point P. Démontrer que les droites AP et PM sont perpendiculaires ...
On s’intéresse aux polygones convexes de n côtés dont les tangentes des angles au sommet sont toutes des nombres entiers relatifs finis. Quelles sont les valeurs possibles de n ? Quels sont les polygones ...
Prouver qu’il est toujours possible de découper un triangle quelconque en un nombre fini de morceaux avec lesquels on reconstitue un carré qui a la même aire que celle du triangle.
Jean Moreau ...
Problème proposé par Dominique Roux On donne trois points A,B et C dans le plan et pour tout point M on construit les orthocentres A', B', C' des triangles respectifs MBC, MCA, MAB. Montrer que lorsque ...
Problème proposé par Claudio Baiocchi On se donne trois nombres a,b,c strictement positifs; on cherche un ennéagone non croisé inscriptible dont trois côtés mesurent a ,trois mesurent b et trois mesurent ...
Problème proposé par Yves Foussard Avec la règle seule tracer les centres de trois cercles tangents deux à deux
Claudio Baiocchi,Paul Voyer et Yves Foussard ont résolu le problème.
Problème proposé par Claudio Baiocchi On s’intéresse aux quadruplets de nombres réels strictement positifs tels qu’il existe une quadrilatère convexe ayant ces nombres comme mesures des côtés, ce ...
Problème proposé par Dominique Roux On part de deux carrés ABCD et AB'C'D' de centres O et O', orientés dans le même sens. On construit les milieux B" et D" de BB' et DD' ainsi que les milieux E et ...
On considère un quadrilatère convexe ABCD qui est inscriptible dans un cercle et dont les diagonales AC et BD se coupent en un point P.On désigne par E,F,G,H les milieux respectifs des côtés AB,BC,CD ...
Problème proposé par Claudio Baiocchi Tout le monde sait qu’un trapèze isocèle est toujours inscriptible mais comment caractériser le cas où la base majeure coïncide avec le diamètre d du cercle circonscrit? ...
Problème proposé par Yves Foussard Avec la règle seule et un cercle dont on connaît le centre : a)construire la bissectrice d’un angle déterminé par deux demi-droites D? et D? concourantes, b)construire ...
Mr Chabichou et Mr Brocoli ont hérité d’un terrain qui a la forme d’un quart de cercle clôturé de rayon égal à 570 mètres.Contrairement à ce que pourrait laisser croire leur nom, le premier souhaite ...
On trace un triangle ABC dont le périmètre vaut quatre fois la longueur du côté BC.Le cercle inscrit de ce triangle a pour centre I et touche les côtés AC et AB respectivement en E et F. On désigne ...
Mr Seguin a toujours des soucis avec sa chèvre.Il décide de la mettre dans un enclos délimité par un ruisseau rectiligne et par une clôture électrique s’appuyant sur un certain nombre de poteaux. La ...
Problème proposé par Yves Foussard Tracer à la règle seule un pentagone régulier dans un cercle de centre O.
Claudio Baiocchi et Yves Foussard ont résolu le problème.
Problème proposé par Dominique Roux Soient un triangle ABC et un cercle Γ de centre Ω distinct du cercle circonscrit à ABC.On trace les polaires de chaque sommet A,B et C par rapport au cercle Γ qui ...
Trois araignées A?,A? et A? se sont installées en trois points distincts sur un luminaire ayant la forme d’un dodécaèdre régulier dont toutes les faces sont en verre dépoli et qui est suspendu ...
Problème proposé par Dominique Roux Soient un triangle ABC et un cercle ? de centre ? distinct du cercle circonscrit à ABC. On désigne par P,Q et R les pôles respectifs des droites (BC),(CA) et (AB) ...
Problème proposé par Yves Foussard Trouver à la règle seule les centres de deux cercles tangents.
Claudio Baiocchi,Pierre Henri Palmade et Yves Foussard ont résolu le problème.
Problème proposé par Yves Foussard Avec la règle seule tracer un hexagone régulier dans un cercle donné avec son centre.
Pierre Henri Palmade,Paul Voyer,Claudio Baiocchi et Yves Foussard ont résolu ...
On pose 28 allumettes de longueur unité sur un quadrillage de la manière suivante :
Tracer un polygone qui a les caractéristiques suivantes prises dans cet ordre : 1) ses côtés traversent les 28 ...
A l’intérieur d’un triangle isocèle ABC de sommet principal C et de base AB, on choisit un point P tel que l’angle PAB est égal à l’angle PBC. M étant le milieu de AB, prouver que les angles APM et ...
On considère 2011 points du plan tels que trois d’entre eux ne sont jamais sur la même ligne et quatre d’entre eux ne sont jamais sur un même cercle. Montrer qu’il est toujours possible de tracer un ...
Sur la planche à dessin sont tracées deux droites qui ne se coupent pas à l'intérieur de la feuille. Vous devez tracer la droite qui joint un point P de la feuille à l'intersection des deux droites. ...
Problème proposé par Dominique Roux Soit un triangle ABC acutangle.Les bissectrices intérieures des angles en B et en C coupent respectivement AC en L et AB en M. Démontrer que l’angle en A est égal ...
Problème proposé par Michel Lafond On dit que la suite d'entiers positifs 0 < a1 < a2 < a3 < --- est pavable si on peut paver le plan infini avec les carrés de côtés a1, a2,a3 --- La suite ...
On trace successivement : - deux cercles de centres O1 et O2 tangents extérieurement en un point I, - la tangente (T) en I à ces deux cercles, - une tangente extérieure (T’) commune à ces deux cercles, ...
Problème proposé par Michel Lafond On appelle écran le plan infini pavé de pixels (carrés unité). Dans l’écran, un polygone discret D est défini comme un ensemble non vide de pixels tel que chaque ...
On considère la variable x définie sur l’intervalle [0,2 ] Q1 : quel est le plus grand des deux termes sin(cos(x)) ou cos(sin(x)) ? Q2 : l’équation cos(cos(cos(cos(x)))) = sin(sin(sin(sin(x))) a-t-elle ...
Problème proposé par Dominique Roux Une parure est constituée de n anneaux circulaires en or de même rayon r, alignés les uns à la suite des autres et tangents deux à deux comme le montre l’illustration ...
Problème proposé par Dominique Roux On désigne par k le rapport du demi-périmètre d’un triangle ABC à la somme des rayons des cercles circonscrit et inscrit. Démontrer que l’un des angles du ...
Problème proposé par Dominique Roux Dans un triangle acutangle ABC ayant pour orthocentre H, les médiatrices de BH et de CH rencontrent AB et AC respectivement aux points M et N.Démontrer que l’angle ...
On considère un pentagone convexe d’aire égale à 2013 dont les sommets A,B,C,D et E pris dans cet ordre sont tels que AB = EA , BC = CD, angle(EAB) = angle(BCD) = 90°. Découper ce pentagone en trois ...
Problème proposé par Dominique Roux Démontrer que dans tout triangle ABC, la médiatrice du segment qui joint l’orthocentre au centre du cercle circonscrit passe par l’un des trois sommets du ...
Je dispose de carreaux de forme carrée tous de même dimension unité dont les bordures sont de couleur bleue, rouge, verte et jaune. Avec les six variétés possibles de carreaux illustrées ci-dessus, ...
Un cercle de diamètre 10 est inscrit dans un triangle et un carré. Démontrer que la surface de la partie commune à ces deux dernières figures est au moins égale à 87.
Jean Moreau de Saint Martin ...
Soit un triangle ABC acutangle. Le cercle de centre A et de rayon BC coupe respectivement la droite AB en un point P et la droite AC en un point Q tels que P et B, de même Q et C, sont de part et d’autre ...
Problème proposé par Yves Foussard Sur une feuille sont dessinés trois segments et un cercle avec son centre. Il est écrit "Le cercle a le rayon de celui inscrit dans le triangle défini par les trois ...
Tracer une droite passant par le centre d’un cube de sorte que la somme des carrés des distances des sommets à la droite est maximale. Même question lorsque cette somme est minimale. Mêmes questions ...
Partager le carré ci-dessus en quatre régions dont les contours sont superposables par simple déplacement telles que chacune d'elles abrite un pingouin, une coccinelle et un mouton. ...
Problème proposé par Claudio Baiocchi à partir d'un problème qu'il a répéré sur le beau site Geométriagon. Puce vient de tracer trois figures : - 1ère figure : un triangle ABC puis les trois médiatrices ...
Problème proposé par Dominique Roux Dans un triangle acutangle ABC qui a pour orthocentre H et dans lequel le sommet B se projette en I sur le côté AC, démontrer que la droite d’Euler est la bissectrice ...
Montrer qu’il existe un polygone convexe de 2013 côtés qui satistait les conditions suivantes : 1) ses côtés ont pour longueur les entiers naturels 1,2,...,2013 pas nécessairement pris dans cet ordre. ...
Problème proposé par Alexandre Altinoglu Construire à la règle et au compas un triangle ABC dont on connaît l’angle au sommet A ainsi que les dimensions de la hauteur AH et de la médiane AM. ...
Problème proposé par Dominique Roux On donne trois points A', B', C' et un cercle de centre O On construit les projections orthogonales A, B, C sur les côtés du triangle A'B'C', d'un point M qui parcourt ...
On trace un point D sur le côté BC d’un triangle ABC. Les médiatrices de BD et DC rencontrent les droites AB et AC respectivement en E et F. Démontrer que lorsque D se déplace entre B et C, le segment ...
Soit un quadrilatère complet de sommets A,B,C,D,E et P. (voir figure ci-après). Les points I,J,K et L sont respectivement les centres des cercles circonscrits aux triangles ABC,ADE,BEP et ...
Problème proposé par Jean-Marie Breton Pierre fabrique des bouliers. Pour cela il utilise des boules en bois parfaitement sphériques et de même taille qu’il perce d’un trou cylindrique dont la base ...
P est un point fixe du plan. On donne trois nombres réels positifs a, b et c. Parmi les triangles ABC tels que PA = a, PB = b et PC = c, on détermine : 1) le triangle T1 dont le périmètre est le plus ...
Le cercle inscrit d’un triangle ABC touche les côtés BC,CA et AB aux points D,E et F.La parallèle menée de F au côté BC coupe le côté AC en G.Les segments BG et CF se coupent en un point P. Les cercles ...
On considère un pentagone ABCDE pas nécessairement convexe inscrit dans un cercle (?) de centre O et un point quelconque P du plan distinct de O et des sommets du pentagone. Démontrer que les points ...
Problème proposé par Dominique Roux On donne deux points A et B et un cercle (C) de centre C. Une droite variable, passant par B coupe le cercle en deux points P et Q. 1er épisode : on suppose que ...
Problème proposé par Dominique Roux Démontrer que dans un triangle acutangle ABC,la somme des distances du point de Fermat(1) aux trois sommets est égale au double de la médiane AM issue du sommet ...
Problème proposé par Pierre Jullien et Thérèse Eveilleau:
On dispose de carreaux en céramique identiques qui ont la forme hexagonale de l’illustration ci-contre. Ils ont la caractéristique d’avoir ...
Le cercle inscrit d’un triangle ABC a pour centre I et touche les côtés BC,CA et AB aux points D,E et F. M étant le milieu de BC, la droite MI coupe la hauteur AH au point P. La droite DE coupe au ...
On trace quatre points A,B,C et D sur la circonférence d’un cercle de rayon unité et de centre O qui déterminent trois angles AOB = 153°, AOC = 343° et AOD = 76°. A la règle et au compas (avec si ...
Problème proposé par Dominique Roux On donne deux points A et B et un cercle (C) de centre C.Une droite variable, passant par B coupe le cercle en deux points P et Q. On étudie le lieu de chacun ...
Puce a confectionné un joli polyèdre convexe P1 en noyer dont deux des faces sont identiques et parallèles entre elles. Zig scie délicatement une petite pointe à chaque sommet de P1 sans que les découpes ...
Soit ABCD un quadrilatère dont les sommets sont cocycliques et qui admet en son intérieur un cercle tangent à ses côtés AB,BC,CD et DA aux points K ,L,M et N respectivement. Les bissectrices extérieures ...
Tracer à la règle et au compas un point P du plan d’un triangle ABC tel que les triangles PAB,PBC et PCA ont même périmètre. Jean Moreau de Saint-Martin,Paul Voyer et Jean Nicot ont résolu ...
