Problème proposé par Pierre Jullien et Thérèse Eveilleau:

On dispose de carreaux en céramique identiques qui ont la forme hexagonale de l’illustration ci-contre. Ils ont la caractéristique d’avoir deux côtés opposés parallèles et de même longueur.

Démontrer qu’il est possible de paver tout le plan avec ces carreaux sans chevauchement ni trous.
La caractéristique de deux côtés opposés et de même longueur est-elle nécessaire pour réaliser un pavage complet du plan  avec des carreaux  de forme hexagonale?

Michel Lafond et Paul Voyer ont résolu le problème en prouvant d'abord qu'il est possible de paver tout le plan avec le carreau bleu de l'énoncé et en donnant ensuite l'exemple d'un pavage complet du plan avec des carreaux de forme hexagonale qui n'ont pas deux côtés opposés parallèles et de même longueur.
Une précision importante mérite d'être apportée : la condition "deux côtés opposés parallèles et de même longueur" n'est pas suffisante.Les deux figures ci-après illustrent les deux configurations où respectivement les vecteurs A₁B₁ et D₁E₁ sont de même sens et les vecteurs A₂B₂ et D₂E₂ de sens opposé.
On mène les parallèles à ces vecteurs passant par les points C₁ et F₁ dans la première figure et par C₂ et F₂ dans la deuxième.Dans la figure n°1, on constate qu’il est impossible de trouver un ou plusieurs hexagones susceptibles de paver le secteur B₁A₁F₁ avec un angle en A₁ de 27.51° qu’on ne retrouve dans aucune relation d'angles avec les autres sommets de l’hexagone primitif.
A l’inverse dans la figure n°2 l’angle B₂C₂D₂ se décompose en angle A₂B₂C₂ + angle C₂D₂E₂.Par des retournements adéquats de l’hexagone primitif, le pavage du secteur B₂C₂D₂ est donc toujours possible.
En conclusion, lorsqu'on trace le contour orienté ABCDEFA de l'hexagone, les vecteurs AB et DE doivent être de sens opposés.
On lira avec intérêt la contribution de l'auteur du problème Pierre Jullien avant de se rendre sur le site Bienvenue en Mathématiques magiques,où Thérèse Eveilleau présente deux très belles animations:- la première permet de s'entraîner à paver l'écran aves des hexagones particuliers ou des polygones à transformer.- la deuxième permet de transformer un quadrilatère quelconque en un hexagone "paveur" grâce à un vecteur de translation.