Problème proposé par Michel Lafond Deux rationnels et mis sous forme de fractions irréductibles, sont dits "cousins" si Démontrer que si ...
Problème proposé par Michel Lafond Q1. Placer des parenthèses dans l’expression 1/2/3/4/5/6/7/8/9/10 pour que le résultat soit aussi proche de 1 que possible. Q2. Faire de même avec les entiers de ...
Problème proposé par Michel Lafond Pour k appartenant à , on dit qu’un carré (parfait) est k-digital si son écriture décimale nécessite exactement k chiffres non nuls, chacun utilisé au moins une fois. ...
Par convention un entier naturel est appelé "bicolore" s’il est écrit exclusivement avec deux chiffres a et b distincts, a pair > 0 et b impair. Q1 Donner une suite strictement décroissante de dix ...
Q1 Déterminer le plus grand commun diviseur des deux nombres : 2017! et 2015! − 1 Q2 Pour tout entier k tel que 1 < k < 2017, déterminer en fonction de k le reste de la division de (k − ...
On considère huit nombres réels a,b,c, d,e, f, g, h. Démontrer que l'un au moins des six nombres ac + bd, ae + bf, ag + bh, ce + df, cg + dh, eg + fh est ≥ 0.
Jean Moreau de Saint Martin,Pierre ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre
Le carré parfait 36 = 62 peut s'écrire de cinq façons comme la différence de deux nombres de deux chiffres qui sont miroirs l'un de l'autre : 36 = 51 − 15 = 62 ...
A partir d'une suite S d'un nombre fini de nombres réels strictement positifs,on construit une suite infinie dont le terme général est ak. On a a1 = somme des termes de S, a2 = somme des carrés des ...
Trouver tous les couples d'entiers (p,q) tels que 3p+7q soit un carré parfait.
Problème paru dans La Jaune et la Rouge de décembre 2017
solution
Démontrer que la somme des cubes des entiers de 1 à n inclus est le carré de la somme des entiers de 1 à n.
Problème proposé par Olivier Cahen, paru dans La Jaune et la Rouge de ...
L'entier n (plus grand que 1) peut-il diviser la différence 3n-2n ?
Problème proposé par Jean Meier, paru dans La Jaune et la Rouge de novembre 2017
solution ...
Existe-t-il un multiple N de 52018 qui ne contient aucun chiffre zéro dans sa représentation décimale? Nota: on ne demande pas la valeur de N mais la preuve de son existence.
Claude Felloneau,Jean ...
Démontrer la propriété suivante: Tout nombre n dont le carré se compose(1) des carrés de deux nombres entiers consécutifs m et m+1 est égal à la somme des carrés de trois nombres entiers x,y et z dont ...
Il s'agit du 2018ième problème diffusé sur le site de diophante.fr. Millésime oblige, ce problème contient 2018 inconnues. Résoudre le système des 2018 équations suivantes dans lesquelles les variables ...
Problème proposé par Raymond Bloch Trouver un ensemble de six nombres entiers consécutifs tels que leur produit est aussi le produit de trois nombres entiers consécutifs. Pour les plus courageux: ...
Problème proposé par Pierre Renfer On appelle triangle héronien un triangle dont les longueurs des côtés sont des entiers et dont l'aire est aussi un entier. Trouver l'ensemble des triangles ...
Les longueurs des côtés d'un rectangle ABCD sont deux nombres entiers p et q relativement premiers entre eux tels que p < q et le périmètre du rectangle = 2(p + q) ≤ 2018. On ...
Trouver deux entiers distincts strictement positifs compris entre 2018 et 2180 dont le produit est un carré parfait et qui encadrent un seul carré parfait,sans qu'ils soient l'un et l'autre des carrés ...
On trace sur l'axe des abscisses x'Ox du plan à deux dimensions les points A,B,C et D respectivement d'abscisses entières 1,2,3 et 2018. On suppose qu'il existe dans le même plan une famille (infinie) ...
Jambe-de-Bois et ses douze pirates se sont emparés du fameux galion San José à bord duquel ils ont récupéré un butin de 184 319 pièces en or sonnantes et trébuchantes. Jambe-de-Bois décide une ...
Déterminer le plus petit entier n > 1 tel que le phi du sigma de son tau est égal à la fois au sigma du tau de son phi et au tau du phi de son sigma. Pour les plus courageux : déterminer deux autres ...
Trouver tous les entiers naturels n tels que le produit de leurs chiffres en représentation décimale est égal à : Q1 : n2– 10n – 22 Q2 : – n2 + 72n – 1280
Par ordre alaphabétique Maurice Bauval,Jean-Luc ...
Déterminer tous les nombres premiers p et q tels que p2 + q3 est un cube parfait.
Jean Moreau de Saint Martin,Pierre Henri Palmade,Jean-Louis Legrand,Marc Humery,Pierre Renfer,David Draï,Michel ...
...et que trois navires N1,N2 et N3 se déplacent à vitesses constantes en plein milieu de l'Atlantique en gardant le même cap, N₁ étant le plus rapide des trois. A 8h 45mn, 20 milles marins séparent ...
Un entier naturel n est dit "harmonieux" quand la moyenne harmonique de ses diviseurs (y compris 1 et lui-même) est un entier appelé "harmonie" Q1 Déterminer deux entiers harmonieux inférieurs à 2018 ...
Soient trois entiers strictement positifs a,b et c tels que a divise le cube de b, b divise le cube de c et c divise le cube de a. Démontrer que le produit des trois entiers divise leur somme élevée ...
Soit un entier p ≥ 2. On s'intéresse aux entiers naturels n (dont on a classé les diviseurs dans l'ordre croissant) qui sont égaux à la différence entre les puissances pième de leur troisième ...
Problème proposé par Raymond Bloch Cet autocar part à la casse après avoir parcouru un million de km. Depuis sa mise en service, son ordinateur de bord a enregistré tous les nombres successifs de km, ...
Soit un entier strictement positif duquel on retranche le carré de la partie entière de sa racine carrée. A partir de l'entier ainsi obtenu, on poursuit l'opération jusqu'à faire apparaître pour la ...
Q₁ Trouver un entier n1 qui est le multiple de trois nombres premiers distincts p, q et r dont les développements décimaux des inverses 1/p, 1/q et 1/r admettent tous trois la même période égale à 13. ...
Trouver un quadruplet et un quintuplet d'entiers strictement positifs pas nécessairement distincts, qui ont les caractéristiques suivantes: - ils ont même somme de leurs termes qui est un carré ...
Le quadrilatère ABCD a ses quatre côtés AB = a,BC = b ,CD = c,DA = d et l'une de ses diagonales AC= e dont les longueurs s'expriment en nombres entiers de centimètres.Comme le montre ...
Diophante écrit au tableau noir trois fractions rationnelles strictement positives qui ont les propriétés (P) suivantes : elles sont irréductibles, leurs dénominateurs sont strictement inférieurs à ...
Soit un entier n > 1. On pose a = et b = . Q1 Démontrer que, pour tout n, les deux nombres a et b sont dans l'intervalle ouvert ]0,1[ et que l'un des deux termes est toujours plus ...
Soit A un multiple de 641(232-1).
a/ Montrer que Un=(A+1)2n+1$ est un nombre composé si l'entier n n'est pas multiple de 64.
b/ Déterminer A de façon que Un soit ...
On forme la suite des parties entières des logarithmes de base 2 des entiers naturels.
Donner une expression de la somme S(n) des n premiers termes, en un nombre de termes indépendant de ...
Q1 Zig écrit une suite croissante S1 de n entiers consécutifs strictement positifs qui contient exactement un carré parfait. Il met le signe "+" devant ce carré et tous les entiers qui le précédent ...
Problème proposé par Pierre Renfer Question 1 Pour trois réel x, y, z strictement positifs, on note respectivement m, g, h leurs moyennes arithmétique, géométrique, harmonique. Démontrer l’inégalité ...
Problème proposé par Thérèse Eveilleau Ce problème est une modélisation simplifiée de la propagation de la chaleur. Une maison est constituée de huit pièces et d'un patio central disposés dans ...
Problème proposé par David Draï.
On considère : - un cercle de diamètre d,
- deux cordes de ce cercle, parallèles, de longueurs a et b ( a < b ), situées de part et d’autre du centre du ...
Soient 12 nombres réels choisis dans l'intervalle ouvert ]1,12[. Démontrer que trois d'entre eux peuvent toujours être retenus comme longueurs des côtés d'un triangle acutangle (i.e. dont tous les ...
Problème proposé par Raymond Bloch Q1 L'entier m à trois chiffres est un multiple d'un nombre premier p à trois chiffres. On insère un entier m1 à deux chiffres entre deux chiffres adjacents de m de ...
Soit un entier n > 0. On dit que l'entier k est sympathique s'il existe 2k entiers distincts strictement positifs a1,a2,..ak,b1,b2,..bk tels que les sommes a1+ b1, a2 + b2, ...ak + bk sont ...
Trouver trois nombres rationnels, si possible les plus petits, tels que les carrés de chacun d'eux augmentés puis diminués de la somme de ces trois rationnels donnent les carrés de six nombres rationnels. ...
Problème proposé par Thérèse Eveilleau Q1 Déterminer les plus petits répunits en base 10 qui sont respectivement divisibles par a) un carré parfait b) deux carrés parfaits distincts c) trois carrés ...
Problème proposé par David Draï Combien de chiffres possède le plus petit nombre du type 111...111 qui est divisible par 999...999, si ce dernier nombre contient 2 019 chiffres ? Le démontrer.
Pierre ...
Q1 Déterminer tous les couples d'entiers (m,n) strictement positifs tels que mn − 1 est un diviseur de n3 + 3. Q2 Pour les plus courageux: déterminer tous les couples d'entiers (m,n) strictement positifs ...
Zig calcule les produits des entiers consécutifs m et m + 1 pour tout m variant entre − 2019 et 2019. De son côté Puce choisit un entier b > 1 et calcule les produits des entiers n et n + b pour ...
Pour tout entier n > 0, on définit f(n) = n + ent() ou ent(..) désigne la partie entière par défaut. On définit la suite ai pour i = 0,1,2,... par a₀ = entier m > 0 distinct d'un carré parfait ...
Problème proposé par Michel Lafond Un nombre rationnel est dit italien s’il est le quotient de deux termes de la suite de Fibonacci : F1 = F2 = 1 et si n ≥ 3 Fn = Fn-1 + Fn-2 Q1. Trouver ...
Q1 Démontrer qu'il existe au moins un entier n tel que la somme: 22016 + 22014 + 22013 + 22008 + 2n est un carré parfait. Q2 Trouver toutes les couples d'entiers (m,n) ...
Montrer qu’il existe trois nombres complexes x,y et z tels que xyz ≠ 0 et pour tout nombre premier p > 3, on a la relation xp + yp = zp. Pour les plus courageux:démontrer qu'il est impossible de ...
On considère l’ensemble (E) des entiers de neuf chiffres distincts sans zéro. Q1 Un élément de (E) est dit « beau » s’il est divisible par 37. Démontrer sans l’aide d’un quelconque automate que ...
Trouver quatre nombres rationnels qui ont la propriété suivante : quelle que soit la paire (a,b) de l’ensemble de ces quatre rationnels, il existe au moins un élément de l’ensemble égal à un carré ...
Problème proposé par Michel Lafond Étant donnés deux mots de 5 lettres A = (a1,a2,a3,a4,a5) et B = (b1,b2,b3,b4,b5) écrits avec l’alphabet usuel de 26 lettres, on appelle distance de A à B le ...
Q1 Trouver deux entiers m et n tels que les PCGD pij des neuf couples d’entiers (m + i,n + j) pour 1 ≤ i ,j ≤ 3 sont tous strictement supérieurs à 1. Quels que soient i et j = 1,2 ou 3,pij > ...
Démontrer que parmi quatre entiers strictement positifs distincts, on peut toujours en trouver trois, par exemple a,b et c, tels que : a5bc3 + a3b5c + ab3c5 – (a5b3c + a3bc5 + ab5c3) est divisible ...
Deux entiers positifs distincts p et q (p < q) sont « joliment moyennés » si trois au moins de leurs moyennes arithmétique, géométrique,harmonique et quadratique sont toutes des nombres entiers. ...
Déterminer tous les triplets d’entiers (x,y,z) ≥ 0 tels que 2x.3y + 1 = 7z.
Bruno Langlois,Fabien Gigante,Claude Felloneau,Jean Moreau de Saint Martin,François Tisserand,Pierre Renfer,Thérèse ...
Déterminez le plus grand des deux termes : Justifiez votre réponse. Nota : il s’agit d’un problème posé en 2018 aux olympiades bulgares de mathématiques. Bien entendu les candidats n’avaient ...
Problème proposé par David Draï Soit f une fonction de ℕ* dans ℕ telle que : - f(n) = 0 si le chiffre des unités de n vaut 4, - ∀ a, b ∈ ℕ* , f(ab) =f(a) + f(b), - parmi les entiers inferieurs à ...
Problème proposé par Alain Delahodde
On considère les deux suites définies par :
u0 = 1 u1 = 5 et un = 6.un-1 – un-2 et v0 = 1 v1 = 5 et vn = ((vn-1)2 +4)/vn-2 ...
Soit un entier k strictement positif. On recherche toutes les paires d’entiers x et y strictement positifs, 1 ≤ x ≤ y, de somme s = x + y et de produit p = xy tels que s + p = 2k Q₁ Démontrer ...
Un nombre entier n est dit « puissant » si pour chaque facteur premier p de cet entier, p² est aussi un diviseur de n. Un nombre d’Achille(1) est un entier puissant sans être une puissance parfaite. ...
Problème proposé par Bernard Vignes Démontrer que toute puissance de 2019 d’ordre k ≥ 1 peut s’écrire sous la forme de la fraction (x2 + y2)/(x – y) avec x et y entiers positifs. Application numérique ...
Q1 Déterminer toutes les suites de 21 entiers consécutifs contenant exactement 8 nombres premiers. Q2 Déterminer toutes les suites de 100 entiers consécutifs contenant exactement 25 nombres premiers. ...
Q1 Zig calcule la somme S de tous les entiers palindromes de n chiffres et constate que S se termine par 17 zéros. Déterminer l’entier n qu’il a choisi et la somme S qu’il a obtenue. Q2 Démontrer ...
Pour tout entier i > 0,on désigne par ai l’entier le plus proche de . Pour tout entier k, on calcule à savoir la partie entière par défaut de la somme des inverses de ai pour ...
Après l’abordage du galion Neptune, Barbe-Noire et ses acolytes récupèrent un gros butin, toutefois plus modeste que d’habitude car il contient moins de 500 000 écus. Barbe-Noire naturellement le ...
Problème proposé par Raymond Bloch On recherche les listes (L) qui contiennent le nombre maximum N de nombres entiers qui ont les caractéristiques suivantes : - ils sont compris entre ...
Problèmes proposés par Michel Lafond Q1 Quels sont les chiffres c du système décimal qui permettent d'écrire 2020 = .......en utilisant exclusivement le chiffre c le symbole + et le point décimal ? ...
Q1 Montrer qu’on sait trouver une infinité de quadruplets d’entiers positifs dans l’ordre strictement croissant a1 < a2 < a3 < a4 tels que a3 = a2 + ...
Problème proposé par Raymond Bloch On appelle factorion un entier positif qui est égal à la somme des factorielles de ses chiffres (SFF). La somme peut être réduite à un seul terme et par convention ...
Trouver les entiers positifs p et q vérifiant la double inégalité q < p < 2q tels qu’il existe exactement 2020 entiers qui divisent au moins un des deux nombres 10p et 20q.
Pierre Henri Palmade,Daniel ...
Problème proposé par Bernard Vignes Q₁ Trouver le plus petit entier n tel que n2 + 1 divise n!, avec n! = factorielle de n = produit des n premiers entiers consécutifs [*] Q₂ Montrer qu'il ...
Diophante choisit un entier n de la forme n = pqr, produit de trois nombres premiers distincts, encore appelé « entier 3-presque premier sans facteur carré ». Il donne cet entier n à Zig et l’entier ...
Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin Si S(x) est la somme des chiffres de l’entier x, montrer que l’équation S(x2)/S(x) = m a des solutions pour tout m entier fixé. Qu'en est-il quand la ...
Q1 Nous sommes trois entiers positifs distincts à sept chiffres communément appelés nombres de Niven (ou encore nombres Harshad) qui sont divisibles par la somme de leurs chiffres (en base 10). Nous ...
Q1 Déterminer tous les sextuplets d’entiers a1,a2,a3, a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ 1 et b1,b2,b3, b1 ≥ b2 ≥ b3 ≥ 1 tels que le produit des trois premiers est égal à la somme des trois derniers et le produit des trois ...
Zig dispose d’une collection de poids en laiton de masses pas nécessairement distinctes qui peut être divisée en quatre lots ou bien en cinq lots ou bien en six lots et pour chaque répartition les lots ...
Quels sont les carrés parfaits de 4 chiffres (ne commençant ni se terminant par un zéro), obtenus par concaténation de deux carrés ?
Problème proposé par M.D. Indjoudjian, paru dans ...
Dans un repère Oxy orthonormé, on trace sur l’axe des abscisses positives les points A0,A1,A2,A3,…An les uns à la suite des autres et sur l’axe des ordonnées positives les points B0,B1,B2,B3,…Bn les ...
Q1 Trouver trois entiers k,p et q > 0 tels que Q2 Trouver un entier k et deux rationnels u et v tels que Q3 Trouver trois nombres rationnels a,b,c tels que
Gaston Parrour,Jean Moreau ...
L’auteur de l’énoncé du problème A1707 récidive avec une nouvelle proposition de problème qui contient trois taches rendant illisibles trois caractères d’une équation: Déterminer les trois solutions ...
Q1 Résoudre l’équation algébrique en x réel : 8x – 18x = 18x – 27x. Q2 Résoudre l’équation diophantienne en x et y entiers positifs: x2 + 26455 = 2y. Q3 L’entier x positif ajouté à 10 puis à ...
Neuf entiers positifs en progression arithmétique ont un carré pour somme de leurs carrés. Quelle est la plus petite valeur de cette somme ?
Problème paru dans La Jaune et la Rouge de décembre ...
Un triplet parfait est formé de 3 entiers consécutifs dont chacun est somme de deux carrés parfaits non nuls. Pouvez-vous en trouver des exemples ? En construire des familles infinies ?
...
Problème proposé par Bernard Vignes Soit un nombre réel α. Calculer en fonction de α l’intégrale I(α) ci-après.
Pierre Henri Palmade,Louis Rogliano,Anne Bauval,Pierre Renfer,Marc Humery,Maxime ...
La fonction φ (phi) appelée indicatrice d'Euler est la fonction qui à tout entier naturel n non nul associe le nombre d'entiers compris entre 1 et n (inclus) et premiers avec n. Soit un entier k > ...
Q1 Existe-t-il 30 entiers positifs distincts de somme s1 < 2021 et de plus petit commun multiple p₁ tels que s1 et p1 sont fidèles au rendez-vous, en d’autres termes s1 = p1 ? Q2 Existe-t-il ...
Zig dispose d’une calculette de marque déposée @Méphisto dont le clavier comporte trois touches qui permettent d’obtenir à partir d’un entier quelconque n strictement positif affiché à l’écran : 1) ...
Pour tout entier n strictement positif, démontrer que la somme des parties entières par défaut des racines kième de n pour k = 2,3,…,n est égale à la somme des parties entières par défaut des logarithmes ...
Démontrer qu’il est toujours possible de représenter : Q1 - un entier positif de la forme 3k – 2 avec k entier ≥ 1 comme la somme d’un carré parfait et de deux cubes parfaits. Q2 - un entier positif ...
L'écriture décimale de l'entier 2021 n'utilise que 3 chiffres distincts (0, 1, 2) sur 10. Quelles sont les bases de numération où cet entier s'écrit avec deux chiffres distincts seulement ?
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Sait-on trouver : - 2 nombres rationnels > 0 dont la somme et le produit sont égaux à 7 ? - 3 nombres rationnels > 0 dont la somme et le produit sont égaux à 7 ? - 4 nombres rationnels > 0 ...
Q₁ -Trouver 78 entiers consécutifs strictement positifs, appelés décatriaphobes dont la somme des chiffres n’est jamais divisible par 13. Q₂ - Trouver le plus grand nombre possible > 100 d’entiers ...
La fonction φ (phi) appelée indicatrice d'Euler est la fonction qui à tout entier naturel n non nul associe le nombre d'entiers compris entre 1 et n (inclus) et premiers avec n. Soit un entier m > ...
Problème proposé par Bernard Vignes On considère les polynômes Pk(x) de degré k à coefficients entiers dont le coefficient de xk est égal à l’unité. Déterminer la plus petite valeur possible de ...
Problème proposé par Dominique Chesneau Une bande de largeur L (nombre entier) est formée par deux lignes parallèles d’un quadrillage orthonormé. Quelle est la plus grande aiguille de longueur M que ...
Soit un entier n ≥ 3. Démontrer qu’il existe toujours au moins un ensemble E de 2n entiers positifs distincts qui satisfont la propriété suivante : pour tout entier m = 2,3,…,n on peut réaliser une ...
