A382. Achille est fort - A382. Achille est fort A3. Nombres remarquables... | Les jeux mathématiques de Diophante, plus de 300

Plus de 3000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

Accueil

Problèmes par thèmes

A. Arithmétique et algèbre

A3. Nombres remarquables

A382. Achille est fort

Avertissement

Tous les problèmes sont identifiés par un niveau de difficulté :

Très facile

Facile

Moyen

Difficile

Très difficile

Variable

D'autre part, les problèmes se traitent généralement à la main et sont alors repérés par l'icône

Pour faciliter leur résolution, l'ordinateur peut être utile. Dans ce cas, vous verrez apparaître aussi cette icône

Quand l'ordinateur est indispensable, l'icône

figure seule.

Pour avoir accès aux solutions de chaque problème, cliquez sur solution.

Les figures et les graphes ont été réalisés grâce au logiciel Declic.

Avertissement

A382. Achille est fort

A3. Nombres remarquables

Un nombre entier n est dit « puissant » si pour chaque facteur premier p de cet entier, p² est aussi un diviseur de n.
Un nombre d’Achille⁽¹⁾ est un entier puissant sans être une puissance parfaite.
Par exemple n = 72 = 2³.3² est un nombre d’Achille mais n = 216 = 2³.3³ ne l’est pas car 216 = 6³.
φ(n) étant la fonction indicatrice d'Euler de n,c’est à dire le nombre d'entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à n et premiers avec n,un nombre d’Achille n est dit « fort » jusqu’au degré k si les entiers successifs φ(n), φ⁽²⁾(n)=φ(φ(n)),… …,φ^(k)(n)=φ(φ(...φ(φ(n))...)) sont tous des nombres d’Achille.
Q₁ Recenser les nombres d’Achille ≤ 2019.
Q₂ Déterminer les nombres d’Achille forts au premier degré qui sont inférieurs ou égaux à 2019.
Q₃ Déterminer les nombres d’Achille forts jusqu’au troisième degré qui sont inférieurs ou égaux à 10⁷.

(1)Nota : Nom donné par Henry Bottomley. Comme le héros mythologique Achille, ces nombres sont puissants, mais pas parfaits.

Jean Moreau de Saint Martin,

Pierre Henri Palmade,

Jacques Guitonneau,

Daniel Collignon et

Antoine Verroken ont résolu tout ou partie du problème.
Nota: il y a 32 nombres d'Achille forts jusqu'au troisième degré qui sont inférieurs ou égaux à 10⁷.

Crée et hébergé par Kangourouge.com