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Plus de 2000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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A1897. Une belle salade de phisteaux Imprimer Envoyer
A. Arithmetique et algèbre - A1. Pot pourri

calculator_edit.png computer.png  

Déterminer le plus petit entier n > 1 tel que le phi du sigma de son tau est égal à la fois au sigma du tau de son phi et au tau du phi de son sigma.
Pour les plus courageux : déterminer deux autres entiers p et q qui ont la même propriété.
Nota
La fiche nutritionnelle du phisteau fait apparaître trois composantes φ,σ,τ:
- φ(n) = phi(n) = nombre d’entiers compris entre 1 et n inclus et premiers avec n (indicatrice d’Euler de l’entier n),
- σ(n) = sigma(n) = somme des diviseurs de n, y compris 1 et n lui-même,
- τ(n) = tau(n) = nombre de diviseurs de n.


pdfJean Moreau de Saint Martin,pdfMarc Humery,pdfPierre Henri Palmade,pdfFrancesco Franzosi,pdfPaul Voyer,pdfThérèse Eveilleau,pdfMarc Foubert,pdfBernard Vignes,pdfPatrick Gordon,pdfJean-Louis Legrand,pdfPierre Leteurtre,pdfJacques Guitonneau,pdfAntoine Verroken ont résolu le problème et obtenu le premier entier n = 34 qui répond à la première question. Les plus courageux ont obtenu d'autres entiers qui ont la même propriété : 36,96, 128 et 468 tous inférieurs à 500.
Ces résultats pourraient laisser croire que les entiers qui satisfont les conditions de l’énoncé sont de plus en plus rares quand n croit. En effet comme τ(n) est significativement plus petit que σ(n) et φ(n), on a le sentiment (à tort) que pour n grand , φ(σ(τ(n))) est  toujours inférieur aux deux autres fonctions σ(τ(φ(n))) et τ(φ(σi(n))).On serait alors tenté de dire que les solutions sont en nombre fini. Il n’en est rien si l'on regarde les résultats obtenus par pdfDavid Draï qui a recensé 28 entiers < 1000000 qui satisfont les deux égalités φ(σ(τ(n))) =σ(τ(φ(n))) = τ(φ(σi(n)))  .
On constate que dans la factorisation de ces 28 entiers  la grande majorité d’entre eux ont des facteurs premiers tous
< 100 et l’on retrouve toute la panoplie des facteurs premiers < 100. Peut-on donc raisonnablement conjecturer que le nombre de solutions à ce
problème est infini ?

 
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