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Plus de 3000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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Tous les problèmes sont identifiés par un niveau de difficulté :

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A374. Les entiers sympathiques Imprimer Envoyer
A3. Nombres remarquables

calculator_edit.png  

Soit un entier n > 0. On dit que l'entier k est sympathique s'il existe 2k entiers  distincts strictement positifs a1,a2,..ak,b1,b2,..bk tels que les sommes a1+ b1, a2 + b2, ...ak + bk sont deux à deux distinctes et strictement inférieures à n.
Q1 Démontrer que si k est sympathique, alors k est inférieur ou égal à un nombre rationnel r0 que l'on déterminera en fonction de n.
Q2 Démontrer que lorsque r0  est un entier, il est lui-même sympathique.
Application numérique: n = 14 puis n = 5049

Solution


Ce problème est une variante du 5ème exercice du concours général de mathématiques de 1996 dans lequel la valeur de r0 = (2n - 3)/5 figurait explicitement dans l'énoncé.
pdfJean Louis Legrand,pdfClaude Felloneau,pdfPierre Henri Palmade,pdfJean Moreau de Saint Martin,pdfJacques Guitonneau,pdfDavid Draï,pdfThérèse Eveilleau,pdfDaniel Collignon ont résolu le problème en obtenant cette valeur de r0 = (2n-3)/5 qui correspond au plus grand intervalle possible [0,r0] à l’intérieur duquel tout entier k est sympathique.
Comme l'énoncé ne précisait pas qu'il s'agissait du plus grand intervalle possible, nous avons accepté la solution de pdfGaston Parrour qui donne une valeur de r0 = (n-1)/3.
 
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