Problème proposé par Augustin Genoud Un championnat de course à pied est organisé en 16 épreuves. Pour chaque épreuve, 10 points sont attribués au premier, 6 au deuxième, 4 au troisième, 3 au quatrième, ...
Cent entiers sont écrits sur une ligne et prennent initialement la valeur 0. A chaque tour, il est possible d’en choisir neuf et de retrancher 1 du premier, 2 du second, etc…,8 du huitième et d’ajouter ...
Problème proposé par Raymond Bloch Monsieur X et son épouse sont d’heureux grands-parents qui organisent une grande réunion de famille. Tous les participants ont des âges différents (exprimés en années ...
Problème proposé par Bernard Vignes Le train venant d’Aumale (A) et celui venant de Blangy-sur-Bresle (B) circulent dans des directions opposées sur une voie unique. Les deux trains qui sont constitués ...
Problème proposé par Dominique Souder Le Salon du C.I.J.M. n’a pas pu, hélas, se tenir fin mai 2020, pour cause de la Covid-19. Quel dommage, on y prend son pied en faisant des maths tout en s’échappant ...
Des entiers positifs a1 = 12, a2, a3,….sont en progression arithmétique de raison > 1. Il existe un entier k tel que = 2000. En déduire
Par ordre alphabétique: Anne Bauval,Maurice ...
Q1 On considère la suite d’entiers 1,1,2,3,5,8,4,3,7,1,8,9,…. Déterminer le 2021ième terme. Q2 Combien y a-t-il de suites distinctes d’entiers consécutifs dont la somme est égale à 2021 ...
Problème proposé par Michel Lafond Q1 Déterminer le plus grand entier k tel qu’il existe une suite Sk strictement croissante de k fractions irréductibles de la forme ni/di pour i = 1,2,..k , qui sont ...
Problème proposé par Bernard Vignes 2021 nombres 1, 1/2 , 1/3, 1/4, 1/5,…..,1/2021 sont écrits au tableau. On peut supprimer deux d’entre eux p et q et les remplacer par p + q + pq. Après 2020 opérations ...
Dans votre porte-monnaie, il y a 26 pièces. Si vous sortez 20 pièces au hasard de votre porte-monnaie, vous retirerez toujours au moins une pièce de 1 euro, deux pièces de 10 centimes, et cinq pièces ...
On considère n nombres différents de zéro. Pour chaque paire de nombres, on calcule la somme et le produit des deux nombres. Q1. n = 9 et la moitié des produits sont négatifs. Déterminer le nombre ...
Diophante choisit les nombres premiers p = 43 et q= 47 qui sont les deux facteurs premiers du millésime 2021 puis Zig colorie consciencieusement au feutre rouge(1) tous les points dont les abscisses ...
Problème proposé par Pierre Renfer
Soient trois suites de réels vérifiant : et
pour tout entier naturel n
Montrer que les trois suites convergent vers une limite commune. ...
Démontrer que la suite de terme général un définie par la relation de récurrence 2/un = 1/un-1 + 1/un-2 avec
u0 = 682, u1= 114917, est convergente et déterminer la limite de un quand n tend vers ...
Le contour de ce bel oiseau au plumage bleu clair est défini par un certain nombre de petites croix (y compris son œil). Déterminer le nombre minimum de droites que l’on sait tracer de sorte que chacune ...
Zig aligne sur une même rangée 30 cartes dont 15 ont le dos rouge et 15 ont le dos bleu. Sur chacune de leur face est écrit un numéro chosi parmi l’ensemble des entiers naturels de 1 à 60. Les 30 numéros ...
Problème proposé par Augustin Genoud Le triangle à gauche ci-dessous contient 4 billes par côté. Il faut déplacer trois billes, au minimum, pour obtenir la triangle inversé construit à droite. ...
Vingt signes « < » et « > » tombent du ciel dans un ordre quelconque sur une première rangée, de la même manière que les « pile » et « face » apparaissent successivement à l’issue de vingt lancers ...
Zig écrit sur une première ligne la suite S₁ des entiers naturels de 1 à 3000 dans l’ordre croissant. Puce efface tous les termes de S1 de rang multiple de 3 et obtient la suite S2, Zig calcule ...
On considère la suite S d’entiers naturels définis par les trois premiers termes a0 = a1 = a2 = 1 et le terme
général an égal pour tout n ≥ 3 à avec ⌊X⌋ qui désigne la partie entière ...
On considère la suite infinie A d’entiers positifs de terme général a(m) définie par a(1) = 1, a(2) = 2 et pour tout m > 2, a(m) est le plus petit entier strictement supérieur à a(m –1) qui n’est ...
Q1 Zig établit une suite Z strictement croissante d’entiers > 0 de terme général z(i) i = 1,2,3,… telle que pour k = 0,1,2,3,… z(3k + 1) est le plus petit entier pair, z(3k+2) est le plus petit ...
Zig trace sur une grande feuille de papier un nombre entier k de lignes droites et note sur chaque droite Di (i = 1 à k) le nombre ni de points d’intersection qu’elle a avec une ou plusieurs ...
A partir d’un entier k quelconque positif, on peut fabriquer l’entier 3k + 1 ou bien l’entier k/2 si k est pair ou bien l’entier (k – 1)/2 si k est impair, Prouver qu’à partir de l’entier 1 on sait ...
Problème proposé par Kaustuv Sengupta Les trois enfants Alice, Bernard et Caroline habitent trois maisons de la rue Math-Ernel dont les numéros distincts sont des entiers compris entre 1 et ...
Je dispose d’une belle collection de dés à 6 faces. 1)Ai je plus de chance d’obtenir l’as à l’issue du lancer d’un dé que six as en lançant simultanément 6 dés ? 2)Ai je plus de chance d’obtenir successivement ...
Diophante et trois de ses petits enfants ont acheté des livres de récréations mathématiques adaptées à leurs âges. Les quatre ouvrages ont des nombres de pages distincts,celui du troisième enfant comportant ...
J’ai fabriqué la maquette d’un polyèdre régulier qui comporte n faces que je numérote de 1 à n. Je lance ce polyèdre à la manière d’un dé et je note le numéro de la face sur laquelle il repose sur ...
Un restaurateur avec les 20 couverts de sa salle, une compagnie aérienne avec 200 sièges à bord de ses avions moyen courrier et le gérant d’un stade contenant 2000 places constatent que 5% en moyenne ...
Je trace dans le plan un certain nombre de cercles puis un même nombre d’ellipses et de lignes droites. Toutes ces figures donnent un maximum de 2011 points d’intersection.Dénombrer les cercles et ...
Zig et Puce se livrent à un jeu de bataille avec un paquet de 52 cartes numérotées de à 1 à 52.Les deux joueurs reçoivent chacun 26 cartes puis à tour de rôle chacun choisit une carte de sa main, la ...
Sachant que le plus grand terme de toutes les combinaisons des entiers de 1 à n pris 62 à 62 vaut en moyenne 1984, déterminer n.
Raymond Bloch,Daniel Collignon,Francesco Franzosi,Patrick Gordon,Jean ...
On supprime 2016 chiffres après avoir écrit les 2016 premiers nombres entiers à la queue leu-leu. Déterminer le plus grand entier résultant possible.
Par ordre alphabétique ont résolu le problème ...
Problème proposé par Jean-Louis Margot (à partir du problème G2923) Soit le triangle de Pascal. On numérote ses éléments de haut en bas et de gauche à droite à partir de 1. Ainsi le 1 sommet du triangle ...
Puce trace k points (k > 3) sur une feuille de papier de sorte que trois quelconques d'entre eux ne sont jamais alignés et quatre quelconques d'entre eux ne sont jamais sur un même cercle. ...
Déterminer les quadruplets d'entiers a,b,c,d distincts strictement positifs tels que = 120 avec qui désigne le nombre de combinaisons de choisir k éléments dans un ...
On donne dans un plan n points (sans qu'il y en ait 3 alignés). Traçant toutes les droites joignant ces points 2 à 2, on obtient des points d'intersection autres que les points donnés. Supposant ...
Sur l'intervalle [0,1],on choisit au hasard* successivement n points, indépendamment les uns des autres, d'abscisses respectives U1 ,U2,....Un On considère les deux variables aléatoires discrètes X ...
J’ai l’habitude de dîner dans le bistrot de mon quartier sans réserver à l’avance si bien qu’à mon arrivée j’ai une probabilité p*> 0 qu’une table soit libre. Ce soir, une fois n’est pas coutume, ...
Zig fait comme Dédé le petit cochon de la Française des Jeux qui joue au jeu de l’oie en grattant des dés. Au prix de 8 €, il achète un ticket sur lequel figurent 12 dés à gratter et il gratte autant ...
On appelle ck « cousin le plus proche de l’entier k » le plus petit entier supérieur à k dont la somme des chiffres (sdc) est égale à celle de k. Par exemple c2020 = 2101 avec sdc(2101) = sdc(2020) ...
Zig et Puce surfent sur le site de Mathspourtous.com qui propose à la manière de Diophante.fr des problèmes mathématiques classés selon cinq catégories : - arithmétique : 240 problèmes numérotés ...
Zig décide de construire la maquette d’une pyramide à base carrée dont les quatre faces triangulaires sont équilatérales avec une collection de boules en bois de buis, chacune de diamètre 30 mm et de ...
Alain, Bernard et Camille ont préparé des poivrons farcis avec un rouge, un jaune, un vert, qu’ils coupent en deux. Il y a donc 6 demi-poivrons. Chacun en prend 2. Combien de possibilités ?
...
On considère les triplets pythagoriciens (a,b,c) dont deux des trois termes sont des nombres premiers et auxquels on associe les triangles rectangles ABC de côtés a,b,c. Recenser tous les ...
Alice, Bernard, Caroline et Damien disent la vérité indépendamment les uns des autres avec la même probabilité p (connue de Diophante) et mentent avec la probabilité q = 1 ‒ p. Alice déclare qu’il pleut ...
Sept joueurs organisent un tournoi à pile ou face. Chacun lance en même temps que les autres une pièce de monnaie (supposée parfaite) et si l’un d’eux obtient « pile » et les six autres « face » ou ...
Trois joueurs A,B,C organisent un tournoi à pile ou face. Chacun lance en même temps que les deux autres une pièce de monnaie (supposée parfaite) et si l’un d’eux obtient « pile » et les deux autres ...
La salle de classe du professeur Probabilis dispose de n tables alignées sur p >2 rangées et q colonnes ( n = pq). Lorsque le professeur enseigne les rudiments du calcul des probabilités à ses n ...
Q1 Déterminer le plus petit entier N tel qu’il existe 2022 entiers n strictement positifs ≤ N dont la partie entière de la racine carrée divise l’entier n lui-même. Q2 Pour un entier k strictement positif, ...
Zig dessine un polygone (P) régulier de 2k + 1 côtés inscrit dans un cercle de centre O et dont il numérote les sommets de 1 à 2k + 1. Puis il demande à Puce de réaliser un très grand nombre N ...
Calculer le nombre de puissances distinctes de la forme ab avec a et b entiers, 2 ≤ (a, b) ≤ 48.
Marie-Nicole Gras,Thérèse Eveilleau,Claude Felloneau,Olivier Pasquier de Franclieu,Daniel ...
Existe-t-il une permutation des 2023 entiers de 1 à 2023 écrits sur une même ligne de sorte que pour toutes les paires d’entiers i et j les moyennes arithmétiques (i + j)/2 ne figurent jamais ...
Dans ce pays d’un vieux continent où les maîtres-mots sont désormais « Festivus, Festivus » et la bureaucratie est devenue très envahissante, la dernière édition du Code du Travail précise dans sa ...
On dispose de poutres parallélépipèdiques rectangles en séquoia dont les dimensions exprimées en décimètres sont des entiers a, b et c compris dans l’intervalle semi-ouvert ]1,300]. Q₁ Sachant qu’une ...
Problème proposé par Kamal Benmarouf Zig aligne les cartes d’un premier jeu de 52 cartes (dos rouge) selon l’ordonnancement du tableau ci-après :
...
}
La partie est perdue. Le roi (R) est mort. Il entre maintenant dans le purgatoire des échecs. C’est un endroit qui ressemble à un petit échiquier 3x3. Il y a dessus trois cases particulières: ...
Problème proposé par Augustin Genoud ...
Soit p un nombre entier naturel >1. On considère un sous-ensemble X de l’ensemble E = qui contient le nombre maximal Np d’entiers x tels que si x appartient à X, alors 2x n’appartient pas à X Déterminer ...
Problème proposé par Pierre Jullien ...
Zig et Puce décident les règles d'un nouveau jeu avec les cinq dés qu'ils viennent d'utiliser lors d'une partie de Yams. Chacun à tour de rôle lance les cinq dés et calcule la somme s des chiffres ...
Dans le jeu classique de la bataille navale qui oppose deux joueurs munis pacifiquement d'une feuiile de papier quadrillé et d'un crayon,...chaque joueur, avant le dèbut des hostilités, doit placer.dix ...
Problème proposé par Yves Foussard Soit un graphe à six noeuds nommés 1,2,3,4,5 et 6 et douze arêtes désignées par les numéros des noeuds qu’elles ont pour extrémités : 12,13,16,23,24,25,26,34,35,36,45,56. ...
2015 personnes sont sur un immense champ de foire de sorte que les distances séparant deux quelconques d’entre elles sont toutes distinctes. Chacune lance une tarte à la crème en direction de son voisin ...
Problème proposé par Raymond Bloch
Trouver (en moins de trois minutes chronomètre en main) l'entier de la case (?) du coin supérieur du damier ci-contre de sorte que les entiers qui y figurent forment ...
Au centre de n cases d'un vaste échiquier de dimensions 1009 x 1009, on place n jetons. Q1 Démontrer que pour n = 2018, il y a toujours quatre jetons qui sont les sommets d'un parallélogramme. Q2 Démontrer ...
Huit musiciens désignés par A,B,C,..,G,H vont participer au Festival d’été 2019 des musiques vivantes des Monts de la Madeleine qui comporte un certain nombre N de concerts. N est le plus petit entier ...
Problème proposé par Raymond Bloch
Chaque case d’un quadrillage 100 x 100 contient un signe plus (+). On peut inverser tous les signes d’une ligne ou d’une colonne, autant de fois qu’on le souhaite. ...
La grille ci-après a l’allure d’une grille de sudoku dans laquelle l’objectif est de compléter chacun des neuf carrés 3x3 ainsi que chaque ligne et chaque colonne du carré 9x9 avec tous les chiffres ...
Remplir un tableau 3x3 avec neuf entiers positifs distincts de sorte que : - les trois entiers de chaque ligne, de chaque colonne et de chaque diagonale principale sont les longueurs des côtés d’un ...
Problème proposé par Raymond Bloch Les cases d’un échiquier n x n contiennent 2021 jetons. Les nombres de jetons de deux cases voisines – par une arête commune – diffèrent de 1 exactement. Certaines ...
F171 – Nombres croisés [** à la main] 1ère grille : Les sept entiers 1022, 1122, 1212, 1221, 2101, 2102 et 2212 sont placés dans la grille carrée ci-contre 4 x 4. Déterminer le 8ième entier. ...
Compléter ces deux multiplications de deux entiers à 3 chiffres. 1ère multiplication ...
La grille 12x12 ci-dessus est partiellement remplie de chiffres 0 ou 1. Il s’agit de la compléter avec ces mêmes chiffres de sorte que : 1) chaque ligne contient autant de 0 que de 1. Il en est ...
Le graphe ci-après contient 24 sommets et de nombreuses arêtes qui s’entrecroisent. Est-il possible de le démêler de sorte qu’il devienne planaire, c'est-à-dire que ses arêtes ...
Compléter ces deux multiplications :
Nota : chaque ligne contient au moins un chiffre distinct de 0.
Maurice Bauval,Raymond Bloch,Daniel Collignon,Maxime Cuenot,Thérèse Eveilleau,Pierre ...
Q1 Pour tout entier k ≥ 2,on remplit un triangle isocèle appelé T(k) avec k(k+1)/2 nombres entiers régulièrement disposés en quinconce de la manière suivante : un entier au sommet, deux entiers sur ...
Problème proposé par Raymond Bloch On définit une « grille » comme un ensemble sans trou de cases carrées 1x1, chaque case étant attachée à au moins une autre case par une arrête commune. Une grille ...
On pose la division suivante avec le dividende D et le diviseur d qui sont des entiers respectivement de 7 et de 4 chiffres. Le quotient est un nombre décimal avec cinq chiffres après la virgule.
...
Problème proposé par Thérèse Eveilleau Les maisons A et B d’Alice et de Bernard sont situées du même côté de la rivière rectiligne R sans être sur une même perpendiculaire à celle-ci. Alice à Bernard: ...
Problème proposé par Raymond Bloch Dans chacune des trois additions (indépendantes les unes des autres) ci-après : ...
Problème proposé par Raymond Bloch Une tour fofolle est seule présente sur un échiquier 9x9. Elle se déplace horizontalement et verticalement comme une tour d’un ...
A partir de huit nombres premiers distincts a,b,c,d,e,f, g et h, il s’agit de remplir la grille 4x4 ci-dessous avec des nombres entiers de quatre chiffres dont les définitions sont données le long ...
Problème proposé par Augustin Genoud
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Problème proposé par Raymond Bloch. Les 25 cases d'une grille carrée 5x5 sont initialement vides. Une seule opération est possible : placer 1 dollar dans une case et dans toutes les cases voisines ...
Dans un triangle ABC dont O est le centre du cercle circonscrit, on trace la hauteur AH issue du sommet A.Le cercle de diamètre AH coupe respectivement AB et AC en deux points D et E autres que A.Démontrer ...
Les diagonales AC et BD d’un quadrilatère convexe ABCD mesurent 560 mm et 870 mm et déterminent entre elles un angle de 60°. Quel est le périmètre minimum de ce quadrilatère mesuré au millimètre ...
Problème proposé par Yves Foussard Avec la règle seule et un cercle dont on connaît le centre : a)tracer le symétrique d’un point par rapport à un autre point, b)tracer le symétrique d’un point par ...
Calculer l’aire d’un décagone qui est inscrit dans un cercle et qui a cinq côtés consécutifs de longueur égale au nombre d’or et les cinq autres côtés de longueur égale à l’inverse de ce nombre d’or. ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre Deux cercles C1 de centre I et C2 de centre J se coupent en A et B. Une droite ? passant par A coupe C1 en M et C2 en N. Les droites MI et NJ se coupent en P. ...
Problème proposé par Dominique Roux Soit un triangle ABC acutangle.Les bissectrices intérieures des angles en B et en C coupent respectivement AC et AB en L et M. Démontrer que l’angle en A est égal ...
Problème proposé par Dominique Roux Trouver tous les triangles scalènes dont l’un des angles vaut 60° et dont les dimensions des côtés sont des nombres entiers de centimètres, l’une d’elles étant égale ...
Donner une solution purement géométrique des deux égalités suivantes : sin7° + cos11° - cos25° + sin29° - sin43° = 0 cos3° + sin7° + sin13° - cos17° - cos23° - sin27° -sin33° +cos37° +cos43° = 0
...
On trace les droites qui chacune partagent un carré de dimension unité en deux quadrilatères dont l’aire du plus petit est une constante c < 1/2 . Combien de droites faut-il tracer au minimum ...
Problème inspiré par Pierre Jullien
Soient un point courant A sur l’axe des y et les points B et C d’abscisses – 3 et + 3 sur l’axe des x.On trace le point D sur l’axe des x négatifs tel que BD ...
1er problème On désigne par D,E,F les projections des sommets d’un triangle ABC sur une droite quelconque (L).Démontrer que les perpendiculaires aux trois côtés BC,CA et AB passant respectivement ...
On trace un point A₁ sur la circonférence (Γ) du cercle circonscrit à un triangle équilatéral ABC. Sur les côtés A₁B, BC et CA₁ du triangle A1BC, on trace respectivement les points P1,Q1 et R1 tels ...
Douze lacets de même longueur sont noués entre eux à leurs extrémités de manière à constituer un filet comportant huit noeuds qui peuvent être placés sur les sommets d’un cube d’arête a. On ...
On considère 2015 points distincts choisis au hasard dans l’espace et libellés Pi pour i variant de 1 à 2015 puis un point A0 distinct de ces points. En partant de A0, Zig le téméraire se rend au point ...
Dans un repère orthonormé Oxy, on trace les sommets d’un carré OABC avec O(0,0), A(1,0), B(1,1) et C(0,1). Soit D un point courant du segment AB.
La demi-droite (OD) coupe la demi-droite (CB) ...
