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Plus de 2500 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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A135. Les tours de puissances de 2 Imprimer Envoyer
A. Arithmetique et algèbre - A1. Pot pourri
calculator_edit.png  

Les puissances de 2 pour n=0,1,2,3,4,5,6,... sont bien connues : 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ....


On peut empiler certaines de ces puissances dans une tour les unes au dessus des autres sans qu'elles soient nécessairement toutes calées à droite. On calcule pour chaque colonne la somme des chiffres appartenant à la même colonne et on obtient ainsi les fondations de la tour. On s'intéresse aux tours dont les fondations sont toutes égales entre elles comme le montre l'exemple ci-après :


Cette tour est caractérisée par :

- sa largeur L=3 qui est le nombre de colonnes remplies par au moins un chiffre,
- sa hauteur hors fondations h=6 qui est le nombre de puissances de 2 utilisées,
- ses fondations qui sont égales à la somme f=14 commune à toutes les colonnes.
    Question n°1

    Il s'agit de trouver le plus petit entier n tel que toutes les puissances de 2 comprises entre 0 et n inclus puissent s'empiler dans une tour dont la largeur L est égale au nombre de chiffres de  et la hauteur h est égale à n+1. Quelles sont les fondations correspondantes ? Trouver l'entier suivant n' qui donne une tour ayant les mêmes caractéristiques.

    Question n°2

    Faire l'inventaire aussi exhaustif que possible de toutes les tours de largeurs L=2,3,4,5 et 6 et dont les hauteurs sont les plus petites possibles.


 
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