a) Exprimer 2004 à l'aide des chiffres 1 à 9 utilisés isolément dans n'importe quel ordre avec les seuls opérateurs + et x comme si les opérations étaient réalisées sur une calculette ordinaire (par exemple :3 + 4 x 5 = 7 x 5 = 35).

b) Même question avec les chiffres 1 à 9 utilisés isolément dans l'ordre et les opérateurs +, - , x , / , puissance (^), racine carrée , factorielle (!). Les parenthèses sont admises.

c) Même question en supprimant successivement un chiffre de 1 à 9 et en utilisant les autres chiffres toujours dans l'ordre avec les opérateurs de b). Il s'agit de trouver 9 formules qui utilisent le moins de symboles possibles. d) Exprimer 2004 en utilisant de façon répétitive un seul chiffre (de 1 à 9) ainsi que les opérateurs +, - , x , / , ^ et factorielle( !). Les parenthèses sont aussi admises.

Trouver une partition de 2004 sous la forme de nombres entiers a, a,...,a,... tels que S[a]=2004 et S[1/a)]=1

Depuis minuit, les aiguilles sur l'horloge se sont croisées pour la 2004ème. Quelle heure est-il ?
Nota : lorsque les trois aiguilles se croisent en même temps, on ne compte qu'un seul croisement.

0,000 499 001..

L'expression ci-dessus représente l'inverse de 2004, en écriture décimale. Quelle est sa 2004ème décimale ?

2004 cartes numérotées de 1 à 2004 sont placées sur la circonférence d'un cercle dans cet ordre. Partant de la carte n°1, on supprime la carte n°2, puis la carte n°4 etc? puis la carte n°2004 puis on continue le processus en éliminant toujours une carte sur deux. Quel est le numéro de la dernière carte restante ?

2004 cartes numérotées de 1 à 2004 sont placées faces visibles sur la circonférence d'un cercle dans cet ordre. Dans un premier temps, partant de la carte n°2 on retourne une carte sur deux ,c'est à dire la n°2,puis la n°4,la n°6.....

Dans un deuxième temps, partant de la carte n°3 on retourne une carte sur trois, c'est à dire la n°3, puis la n°6, la n°9,....

A la 1002ème, on retourne la carte n°1002 puis la carte n°2004.

A la 1003ème, on retourne la carte n°1003?

A la dernière étape on retourne la carte n°2004.
Quelles sont les cartes dont les numéros sont visibles ?

Existe-t-il un entier N tel que 2004*N=222222....2222 ? Si oui, quel est le nombre de chiffres de N?

Une calculette est en panne. Il est seulement possible d'utiliser les touches +, - , = et 1/x (fonction inverse). Toutes les touches numériques ainsi que la mémoire fonctionnent. Comment calculer le produit 176 * 12 qui est égal à 2004 ?

Quels sont les côtés du plus petit triangle dont le périmètre et l'aire sont des multiples de 2004 ?

On considère 2 cercles C(1) et C(2) de rayon unité tangents entre eux et à l'axe des abscisses. On construit le cercle C(3) tangent à l'axe des abscisses et à C(1) et C(2)., puis le cercle C(4) tangent à C(2) ,C(3) et à l'axe des abscisses,... puis C(n) tangent à C(n-2) et C(n-1).... Si les abscisses des centres de C(1) et C(2) sont respectivement 0 et 2, quel est le rayon du cercle C(2004) et l'abscisse de son centre ?

Il y a plusieurs siècles, une bande de 2004 voleurs fut arrêtée parmi lesquels se trouvait le fils du roi. Ils furent jetés en prison avec un matricule pour chacun, le fils du roi le numéro 1et le chef de bande portant le numéro 2. Après un procès plus qu'expéditif, ils furent condamnés à la pendaison mais le roi décida une mesure de clémence faite sur mesure pour son fils. « Demain, proclama-t-il, tous les prisonniers portant leur matricule sur le dos seront transférés dans la cour de la prison et placés sur les 2004 sommets d'un polygone régulier spécialement tracé à cette occasion. Je partirai du numéro 1 qui sera libéré (comme par hasard !) puis je compterai 1 sommet dans le sens des aiguilles d'une montre et le prisonnier qui se trouve placé à ce sommet sera libéré. Partant du matricule k affiché par cet homme, je compterai k sommets toujours dans le sens des aiguilles d'une montre et je désignerai ainsi un troisième prisonnier qui sera libéré et ainsi de suite?mais si dans mes comptages successifs, j'arrive à un sommet vide car le prisonnier qui s'y trouvait a été libéré, alors tous les prisonniers restants seront pendus.

Le chef de bande qui n'était pas sot cogita une bonne partie de la nuit et le lendemain matin il fit en sorte que les prisonniers puissent se placer sur les sommets du polygone selon un ordre qu'il avait soigneusement calculé. Tous les prisonniers y compris lui-même furent libérés. Comment a-t-il fait ? Quand fut-il libéré ?

PS Il est conseillé de commencer le problème avec une bande à effectif réduit?

2004 nombres entiers relatifs (<0,=0 ou >0) dont la somme est égale à 1,sont placés sur les sommets d'un polygone régulier. Existe-t-il un sommet de ce polygone tel qu'en collectionnant dans le sens des aiguilles d'une montre les nombres adjacents, la somme cumulée de ces nombres soit toujours positive jusqu'au ramassage du dernier ?

Quels sont les 4 derniers chiffres de  où "2004" apparaît 2004 fois dont 2003 fois en tant qu'exposant?

On rappelle que les exposants consécutifs sont calculés du haut vers le bas.

Par exemple est égal à

On considère le nombre N obtenu par la juxtaposition dans l'ordre descendant des entiers 2004,2003,...jusqu'à 1.Trouver au moins un facteur premier de N.

Dans l'ensemble des entiers naturels de 1 à 2004, on définit le sous-ensemble E tel qu'aucun d'eux ne soit le double d'un autre. Quelle est la taille maximale de E?

Quelle est cette taille si un nombre quelconque de E n'est jamais le triple d'un autre ? ni le double ni le triple d'un autre ?

On considère une suite de nombres entiers tous positifs tels que la somme d'un terme quelconque (autre que le dernier) et du quadruple du terme voisin de droite est toujours égale à 2004. Quel est le nombre maximum de termes de la suite ?

2004 et la séquence croissante des PGCD (plus grands communs dénominateurs)

Quelle est la plus longue séquence possible strictement décroissante d'entiers positifs dont le premier terme est 2004 et dont les PGCD des termes consécutifs pris 2 à 2 sont strictement croissants?

Sur un grand damier de jeu, on dispose de N=2004 pions blancs qui deviennent noirs quand on les retourne. On choisit un nombre P=19 et l'on retourne P pions autant de fois que nécessaire de manière à n'avoir que des pions noirs. Est-ce possible? Si oui, quel est le nombre minimum de retournements nécessaires ?

Noir ou blanc ?

Sur ce même damier, 2004 pions sont répartis en 1002 pions blancs et 1002 pions noirs et on convient des opérations suivantes : deux pions de la même couleur sont remplacés par un pion blanc et deux pions de couleurs différentes sont remplacés par un pion noir. On répète ces opérations jusqu'à ce qu'il ne reste plus qu'un pion Existe-t-il un processus qui permet de n'avoir qu'un seul pion blanc ?

Qu'en est-il si la répartition initiale est de 1003 pions blancs et 1001 pions noirs ?

Trouver les entiers A et B tels que le nombre N défini par la concaténation de A et B encadrant 2004 soit un multiple de 2004 le plus petit possible.

Trouver les plus petits entiers A et B tels que A/B = 2,00420042004200420042....

On écrit les entiers 2004,2003,... les uns à la suite des autres en ordre décroissant jusqu'à 1. On veut restituer l'ordre croissant 1,2,3, ..2003,2004 en adoptant le mode opératoire suivant : on choisit un nombre k de la séquence et on le déplace de k cases en partant de son voisin de droite. Si lors du déplacement on arrive à la fin de la séquence, on poursuit le décompte en partant de la première case. Le nombre k prend alors sa place d'arrivée et le nombre chassé prend la place qu'avait le nouveau venu. Par exemple dans la séquence 2,5,1,3,4 le déplacement du chiffre 3 amène ce dernier à la place du chiffre 5 et la nouvelle séquence s'écrit 2,3,1,5,4.

Quel est le nombre minimal de déplacements qui permet de reconstituer la séquence croissante de 1 à 2004 ?

Trouver le plus petit nombre qui a strictement 2004 diviseurs y compris 1 et lui-même.