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Plus de 2000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

Accueil Problèmes par thèmes A. Arithmétique et algèbre A1. Pot pourri A120. Produits d'entiers divisés par leur somme

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A120. Produits d'entiers divisés par leur somme Imprimer Envoyer
A. Arithmetique et algèbre - A1. Pot pourri
calculator_edit.png  
Trouver cinq entiers positifs distincts tels que pour n'importe quel triplet choisi parmi eux le produit des trois nombres est divisible par leur somme.

A120-solution

Pierre Gineste propose une suite dont le terme maximum est 11550. Voici sa solution :


Il faut trouver 5 nombres xi tels que: x_i*x_j*x_k=a*(x_i+x_j+x_k) avec a entier (relation R1)

On recherche des nombres de la forme n*N avec n=1,2,3,4,5la relation (R1) devient: i*j*k*N^3=a*(i+j+k)*N soit a=i*j*k*N^2/(i+j+k) (R2)

(i+j+k) vaut 1,2,3 ?. 12. On peut donc prendre pour N le PPCM des 12 nombres 1 à 12. PPCM= 2^3*3^2*5*7*11=27720.

Les 5 nombres 27720, 55440, 83160, 110880 et 138600 répondent à la question.

On peut aussi rechercher les plus petits nombres qui répondent à la question. Remarquons alors que:

1/ dans (i+j+k) qui vaut entre 1 et 12, le facteur premier 2 est au maximum à la puissance 3 (pour 8), 3 à la puissance 2 (pour 9), les autres à la puissance 1. Dans (R2), N est présent à la puissance 2: il suffit donc de prendre 2 à la puissance 2 et 3 à la puissance 1: on peut donc prendre pour N=PPCM/6=4620

2/ Pour que (i+j+k) soit pair, il faut que l'on ait l'un des 3 nombres i,j,k pair: il faut donc que i*j*k soit pair. Si l'on a le facteur 2 à la puissance 1 dans N, on aura donc 2 à la puissance 3 dans (i*j*k*N^2) quand (i+j+k) est pair en particulier quand i+j+k=8. Il suffit donc de prendre N=PPCM/12=2310

La série de 5 entiers recherchée est donc: 2310, 4620, 6930, 9240, 11550.


Existe-t-il une série ayant un 5° élément inférieur à 11550?

 
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