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Plus de 2000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

Accueil Problèmes par thèmes A. Arithmétique et algèbre A1. Pot pourri A109. Le principe des tiroirs et les nombres

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A109. Le principe des tiroirs et les nombres Imprimer Envoyer
A. Arithmetique et algèbre - A1. Pot pourri

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Ce principe mis en évidence par le mathématicien Dirichlet, appelé en France principe des tiroirs et en anglais « pigeonhole principle », s'énonce très simplement : si on range (n+1) objets dans n tiroirs, alors un tiroir au moins contiendra au moins deux objets. Les anglophones disent : "si (n+1) pigeons se retrouvent dans un pigeonnier de n lucarnes, deux pigeons vont se retrouver nécessairement dans la même lucarne".


On peut étendre la formulation du principe en considérant un plus grand nombre d'objets : c'est ainsi que si on range (2n+1) objets dans n tiroirs, alors un tiroir au moins contiendra au moins trois objets et de manière générale, si on range (kn+1) objets dans n tiroirs, alors un tiroir au moins contiendra au moins k + 1 objets, ce qui peut encore s'écrire : si on range p objets dans n tiroirs, alors un tiroir au moins contiendra q objets, où q est la valeur entière éventuellement approchée par excès du quotient p/n.


Ci-après un recueil de différents exercices faisant appel à ce principe très puissant et basés sur les nombres.

Problème N°1

Montrer que parmi 101 nombres entiers distincts, il existe toujours 11 d'entre eux dont la somme est divisible par 11

Problème N°2

Un médecin prescrit à son patient de prendre 100 pilules de XXX pendant 9 semaines consécutives à raison d'une pilule au moins par jour. Il n'y a aucune contre-indication sur le nombre maximum de pilules à ne pas dépasser dans une journée. Montrer que pendant les 9 semaines, il existe toujours une période au cours de laquelle le patient prendra :5 pilules,10 pilules,...,5N pilules
    Jusqu'où peut aller l'entier N ?

    Problème N°3

    On choisit un carré parfait N2 et on choisit N nombres entiers distincts parmi les entiers de 1 à N2 . Pour quelles valeurs de N est-on certain de pouvoir extraire de ces N nombres deux ensembles disjoints de même somme ?

    Problème N°4

    501 nombres différents sont choisis parmi les entiers de 1 à 1000. Montrer qu'il existe toujours au moins un couple de nombres tel que l'un des termes divise l'autre.

    Problème N°5

    Montrer qu'il existe une puissance de 73 qui se termine par 2004 fois le chiffre 0 suivis du chiffre 1 : ....(2004 fois le chiffre 0)..0001.

    Problème N°6

    On constitue l'ensemble S à l'aide de 102 nombres entiers distincts choisis parmi les entiers de 1 à 200. Montrer qu'il existe au moins 2 éléments de S dont la somme appartient S.

    Problème N°7
    Est-il possible que le produit de cinq nombres entiers consécutifs soit un carré parfait ? Si oui, donner au moins un exemple.

    Sources : d'après Martin Gardner Pour la Science n°36 octobre 1980 et nombreuses revues françaises et anglo-saxonnes sur le sujet.

     
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