Le produit 1.2.3...99.100 se termine par un certain nombre de zéros, mais quel est donc son dernier chiffre non nul ? Même question pour 2005!=1.2...2004.2005. Problème proposé par Pierre ...
On rappelle qu'une fraction égyptienne est une fraction dont le numérateur est 1 et le dénominateur est un entier positif. Trouver le plus grand nombre possible de fractions égyptiennes dont le dénominateur ...
On rappelle qu'une fraction égyptienne est une fraction dont le numérateur est 1 et le dénominateur est un entier positif. Exprimer les fractions 1/n pour n=2,3,4,...,10 comme somme d'un nombre fini ...
On donne deux entiers a et b, strictement supérieus à 1 et premiers entre eux. Dans une liste des entiers strictement positifs, sont démasqués les entiers n=ax+by avec x et y positifs ou nuls. Combien ...
Quelle est la plus longue séquence possible strictement décroissante d'entiers positifs dont le premier terme est 2004 et dont les plus grands communs dénominateurs (PGCD) successifs des termes consécutifs ...
Trouver le plus grand nombre possible de fractions irréductibles distinctes dont le numérateur est un nombre premier inférieur à 100 et dont la somme est égale à 1. Source : Revue Tangente n° 69-70 ...
Question n°1
On dispose de trois conteneurs qui ont chacun une capacité de 50 litres. Le premier contient 3 litres d'eau, le second 8 litres et le dernier 23 litres. On adopte la règle suivante ...
Quels sont les quatre derniers chiffres de N= , N étant défini par une tour de 2004 exposants tous égaux à 2004 ? A123-solution
9.
A144. 4x4
(A. Arithmetique et algèbre/A1. Pot pourri)
A144- 4x4 -énoncé A144- 4x4 -solution
Est-il vrai que quand xn - 1 est factorisé sous la forme du produit de polynômes irréductibles avec des coefficients entiers, aucun entier autre que 1, 0 ou - 1 n'apparaît comme coefficient dans l'un ...
Claude Morin ,Jean Moreau de Saint Martin et Pierre Henri Palmade ont résolu le problème.
Solutions de Paul Voyer et Daniel Collignon Autre solution
Q1 Déterminer six entiers distincts à deux chiffres tels que la somme des carrés des trois premiers est égale à la somme des carrés des trois derniers et après suppression du chiffre de droite de chacun ...
On calcule la somme des chiffres de la somme des chiffres de 2005^(2005^2005). On s'arrête de calculer la somme quand il ne reste plus qu'un seul chiffre.Combien de fois doit-on écrire l'expression ...
On considère les k entiers relatifs a1, a2,...,ak ≥– 1 tels que a1 + a2 + ... + ak = k.
Déterminer les valeurs minimales et maximales de P = (a1 + a2).(a2 + a3)...(ak-1 + ak).(ak + a1) dans les cas ...
A177-La_formule_magique-énoncé
A177-La_formule_magique-solution
Problème proposé par Pierre Leteurtre Prouver que quel que soit n entier > 0, l’entier (n + 1)5 – n5 ainsi que ses facteurs premiers, s’il est un nombre composé, sont tous congrus à 1 modulo 10. ...
- Trouver les nombres premiers p tels que 4p + 1 et 7p - 4 sont l'un et l'autre des nombres premiers. - Trouver les nombres premiers p tels que 2p2 + 13 est un nombre premier. - Trouver les nombres ...
Problème proposé par Michel Lafond On dit que des entiers naturels placés autour d’un cercle forment une ronde si deux nombres voisins ont toujours un diviseur commun supérieur à 1. Par exemple [10, ...
Je calcule la somme des inverses des entiers qui vont de 1 à 2011 et j’obtiens une fraction irréductible a/b. Démontrer que 2011a – b est divisible par 2011 à la puissance 4.
Jean Moreau de Saint ...
Ces trois (joyeux) lurons sont des nombres rationnels.Un même entier est la somme de leurs opposés et la somme de leurs carrés.Démontrer que leur produit peut s’écrire sous la forme d’une fraction ...
On construit une séquence d’entiers positifs, négatifs ou nuls de la manière suivante: - le premier terme est 1, - le kième terme est obtenu en additionnant ou en soustrayant (dans n’importe quel ...
Déterminez tous les entiers a,b,c,d avec 1 < a < b < c < d tels que (a − 1)(b − 1)(c − 1)(d − 1) divise abcd − 1. Justifiez votre réponse.
Jean Moreau de Saint Martin, Claude Felloneau,Pierre ...
Zig affirme qu’il a tracé quatre points dans le plan tels que toutes les distances qui séparent les points pris deux à deux sont des entiers impairs. Puce affirme que c’est impossible. Qui a raison ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre Il s'agit ici de construire des séquences « CRmin » de nombres entiers à partir des règles suivantes : 1. la valeur initiale doit être ...
Problème proposé par Dominique Roux n étant un entier plus grand que 2, on retire n nombres dans l'ensemble des entiers de 1 à n2. Peut-on toujours trouver dans les entiers restants n nombres en progression ...
On dit qu'un nombre est chanceux s'il peut s'obtenir
comme la somme d'entiers positifs pas nécessairement distincts entre
eux tels que la somme de leurs réciproques est égale à 1. Par exemple
11 ...
Pour une fraction rationnelle r < 1,on recherche la plus courte séquence de k entiers positifs distincts ai,i = 1,2,...k, tels que le produit des k nombres 1 – 1/ai est égal à r. On désigne ...
Soient un nombre premier p et un entier naturel N qui n’est pas divisible par p et dont l’écriture décimale contient deux zéros. Déterminer les valeurs de p pour lesquelles, quel que soit N satisfaisant ...
Trouver les entiers n tels que où désigne l’ensemble des diviseurs de n,y compris 1 et n. Source : Olympiade japonaise de mathématiques.
Jean Moreau de Saint Martin,Fabien Gigante,Jean Drabbe,Michel ...
Soit un entier n. La somme des diviseurs de n,y compris 1 et n est désignée par σ(n).
On recherche une suite S strictement croissante de k entiers a1 < a2 <...< ak < 2015 telle que ...
Problème proposé par Michel Lafond
Démontrer que tout entier naturel N peut s’écrire par un choix convenable d'un nombre premier p et de signes + et - sous la forme: N = +/- 2 +/- 3 +/- ...
Q1 Trouver le plus petit entier n positif tel que n2 ‒ 1 a 22 diviseurs. Q2 Trouver le plus petit entier n positif tel que n2 ‒ 1 a 10 diviseurs et n2 ‒ 4 en a 48. Q3 Trouver l'entier n, 0 < n ≤ ...
Démontrer qu'il existe une infinité de nombres premiers p tels que dans la période du développement décimal de 1/p le nombre total des chiffres ≤ 4 est égal au nombre total des chiffres > 4. ...
Recette n°1
On choisit un entier p quelconque >= 1015.
Démontrer qu'il existe toujours dans p une chaîne de chiffres
consécutifs dont la longueur maximale est de 16 et telle que le produit
des ...
On s'intéresse au coefficient central de la formule du binôme de Newton: pour k entier > 0, C(2k,k) = 2k!/k!2 avec factorielle de x = x! = 1*2*3*...*(x − 1)*x Q1 Démontrer qu'il existe un entier ...
En utilisant les symboles traditionnels de
l'addition (+), de la soustraction ( -), de la multiplication (*), de
la division ( / ) ainsi que ceux de la factorielle ( ! ) et de la
racine carrée ...
Voici trois miniatures ou « quickies » qui sont
tirées d'épreuves qualificatives pour des olympiades britanniques et
américaines:
Miniature n°1
Montrer qu'il existe une infinité ...
Lors
des dernières fêtes de Pâques, Diophante a aligné sur une même file
dans la grande allée du jardin 37 oeufs de Pâques tous de tailles
différentes.
Chacun ...
Prenez une grande feuille de papier et écrivez tous les entiers de 1 à 2007 dans l'ordre suivant : d'abord le nombre 1, puis tous les nombres premiers dans l'ordre ...
1ère séquence :
On considère la séquence des nombres entiers constituée exclusivement de nombres premiers qui vérifient l'une ou l'autre de ces deux relations pn = 2pn-1 + 1 ou pn = 2pn-1 - ...
Cette « oeuvre d'art » contemporaine
monumentale qui a la forme d'un parallélépipède rectangle est constituée
de 362 558 592 cubes multicolores de 1cm de côté
chacun. Les dimensions du parallélépipède
sont ...
Dans mon jardin, n (compris entre 25 et 50) pots de géranium sont régulièrement espacés le long d’une allée circulaire.En ces temps de sécheresse, je décide de les arroser en parcourant l’allée autant ...
1) Trouver le plus petit entier naturel k tel qu'il existe
un entier inférieur ou égal à 2009k qui a plus d'un
million de diviseurs.
2) Existe-t-il au moins un entier ...
Jean Moreau de Saint Martin, Pierre Henri Palmade, Daniel Collignon, Fabien Gigante, Bruno Kientzel et Antoine Verroken ont répondu au problème.
Par ailleurs ...
Q1
Existe-t-il six entiers naturels a, b, c, d, e et f tous distincts entre eux et
inférieurs ...
Une
fraction unitaire a pour numérateur 1.
1)
Trouver ...
Soient les quatre nombres entiers qui ont respectivement
2009, 2010, 2011 et 32769 chiffres et dont les deux chiffres extrêmes 1 sont
séparés exclusivement par des 0. Démontrer que ces quatre nombres ...
On considère la suite des entiers naturels consécutifs de 1
à 2n et on détermine le
plus grand diviseur impair de chacun d'eux.La somme de ces 2n diviseurs contient 2010 chiffres.Calculer n.
...
Quatre entiers impairs distincts sont tels que la somme du plus petit et du plus grand comme celle des termes intermédiaires sont deux puissances de 4 et leurs produits respectifs sont égaux entre ...
Gilles Nithart,Claude Felloneau,Jean Moreau de Saint Martin,Daniel Collignon,Pierre Henri Palmade et Antoine Verroken ont aisément terrassé les deux colosses. ...
On considère le produit des factorielles des 100 premiers nombres entiers naturels.Quelle factorielle (i.e.le vilain petit canard ) faut il exclure pour que le produit des 99 factorielles restantes ...
On considère quatre progressions arithmétiques dont tous les
termes en nombre infini sont des entiers positifs. Quand on considère
l'ensemble de leurs termes, chacun des nombres de 1 à 12 y apparaît ...
Six nombres premiers obéissent à la charade à tiroirs suivante : - En ajoutant 152 à mon premier puis au carré de mon premier, j’obtiens deux carrés parfaits, - En ajoutant 1 à mon second puis au carré ...
Q1 - Trouver l’entier n dont le produit de tous ses diviseurs, y compris 1 et lui-même, est égal à 10 077 696. Q2 - La somme des diviseurs d’un entier n, y compris 1 et n, est une puissance de 2. Montrer ...
Dans cette immense forêt, des arbres ont été plantés aux points de coordonnées x et y entières (négatives, positives ou nulles) par rapport à une origine O. Un arbre est invisible depuis cette origine ...
On part de la séquence de 45 nombres entiers inférieurs ou égaux à 100, tous distincts dont 43 sont connus :a,b,17, 18, 21, 22, 24,25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 38, 39, 40, 44, 45, 48, 50, 52, 54, ...
Problème proposé par Michel Lafond
n >= 1 étant un entier naturel, il s’agit d’écrire n! comme produit de n facteurs entiers : n != F1 x F2 x F3 x - - - x Fn avec F1 <= F2 <= F3 - - ...
Problème proposé par Maurice Bauval Soit E l'ensemble des entiers x tels que 0 < x < 2011.Trouver une bijection f : E --> E telle que pour tout x de E, la valeur absolue de f(f ( f ( f ( ...
Une suite de nombres est définie par la récurrence
Si les 3 premiers termes sont des entiers, à quelle condition y a-t-il des termes non entiers dans la suite ?
Problème paru ...
Trouver un triplet d'entiers positifs (p,q,r) premiers entre eux, vérifiant p3+q3=9r3, et autre que les triplets (1,2,1) et (2,1,1).
Problème paru dans La Jaune et la Rouge d'avril et mai ...
P1 : Zig écrit un entier positif sur chaque face d’un cube puis il affecte à chaque sommet du cube, un nombre qui est égal au produit des nombres écrits sur les trois faces passant par ce sommet. La ...
Soit N = abc un nombre premier dont
les chiffres ...
Un nombre impair N de chevaliers participent à un gigantesque banquet autour de la fameuse Table Ronde. Chaque convive est invité à choisir un nombre entier (positif, négatif ou nul) et à le communiquer ...
On considère la séquence de nombre entiers définie par son premier terme a(1) = 0 et la relation de récurrence suivante :
- a(n) = a(n-1) + 1 si le plus grand diviseur impair de n est de la forme 4k ...
Diophante s’entraîne à la résolution des équations du second degré . Il décide la règle suivante : il part d’une équation de la forme x2 + ax + b = 0 avec a et b réels. Si son discriminant ...
Il est bien connu que les fourmis sont « les êtres vivants les plus agressifs et les plus guerriers du règne animal ». Conquête territoriale et annihilation des colonies voisines par génocide ...
Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin On définit une suite un par u0 = 0, u1 = 1 et pour tout n ≥ 2 un = 2un - 1 − un-2 si n n’est pas un carré parfait, un = 2un - 1 − un-2 ...
On écrit les parties entières par défaut des nombres réels dans l’ordre n = 1,2,3,.... et on obtient 88,7909,703384,.....
Démontrer que la suite ainsi obtenue contient des entiers ...
Puce choisit une suite S de n ≥ 2 entiers strictement positifs dont n – 1 au moins sont distincts. Il établit la liste de toutes les sous-suites extraites de S ayant au moins un terme et calcule pour ...
Problème proposé par Dominique Chesneau On note I l’ensemble des inverses des entiers strictement positifs . Quel est le plus petit ensemble contenant I et toute moyenne d’un de ses éléments avec un ...
Problème proposé par Michel Lafond Une chèvre est attachée à un piquet P à l’aide d’une laisse de 36 mètres. Peut-elle atteindre le point C (le chou) distant de 35 mètres ? Seul ...
Problème proposé par Jean Nicot La fonction f(x) de la variable réelle x est définie par Q1 Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f et prouver qu’il existe un nombre réel x0 tel que f(x0) ...
Problème proposé par Michel Lafond a,b,c,x,y,z sont 6 nombres réels et on pose un = axn + byn + czn On connaît u0 = 467 / 38, u1 = 25, u2 = 51, u3 = 104, u4 = 218, u5 = 372 Q1. Calculer ...
Problème proposé par Michel Dufour Soit l’application f de N4 dans N4 définie par : f(x,y,z,t) = (abs(x – y), abs(y – z), abs(z – t), abs(t – x)) où abs(X) désigne la valeur absolue de X. Pour tout ...
Sur l’ensemble des rationnels Q+et Q- , on considère les 16 équations . Dans chacune d’elles, l’expression du membre de gauche contient quatre parties entières qui sont imbriquées les unes dans les ...
Problème proposé par Michel Lafond On considère les trois suites définies par les relations de récurrence suivantes : u(n) = 4u(n – 1) – u(n – 2) avec u(0) = 1 et u(1) = 2 pour tout entier n ≥ 2, v(n) ...
Problème proposé par Pierre Renfer Question 1 Pour un entier naturel n non nul, on pose:
Montrer que la suite (un) converge et déterminer sa limite. Question 2 Pour un entier ...
Sur l’ensemble Q des rationnels, résoudre le système des deux équations d’inconnues x et y : ...
Problème proposé par Kaustuv Sengupta La durée de vie maximale d'un habitant de la planète Paradis Vert est de 950 ans (selon les normes terrestres).Les âges des membres d'une famille de quatre personnes ...
Soit la matrice 3 x 3 :
Pour tout vecteur dont les composantes x, y, z sont des entiers, soit le vecteur V1 = D(V0) = │A.V0│dans lequel on prend les valeurs absolues de chacune des trois composantes ...
Pour l’indice i prenant respectivement les cinq valeurs 1,2,3,4,5 trouvez tous les couples d’entiers strictement positifs ai et bi qui satisfont à la fois les deux relations suivantes quel que soit ...
Je dispose de deux récipients aux trois-quarts remplis, le premier d’un litre d’eau pure et le second d’un litre d’alcool pur. Je verse une petite quantité q de liquide du premier dans le second puis ...
On considère les graphes de quatre polynômes distincts p(x),q(x),r(x),s(x) à variables réelles passant par l’origine O et on étudie les positions respectives de ces graphes vus du bas vers le haut ...
Q1 – Existe-t-il des nombres réels a et b tels que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 : 1) a + b est rationnel et an + bn est irrationnel ? 2) a ...
Trouver les nombres réels positifs x tels que x[x[x[x[x[x]]]]] = 221 avec ...
Problème proposé par Jérémy
Junay.
Paolo, lointain descendant de Leonardo ...
Problème proposé par Jérémy Junay
Je
suis en train de lire sur une table plate. A quelle hauteur au-dessus de la
table doit se trouver la flamme d'une ...
Une séquence infinie est définie par : - son premier terme x1 = 2008/1515 qui est le rapport du millésime de l'année en cours à l'année de la bataille de Marignan. - la relation xn+1 = xn + 1/[xn] ...
Les dix produits de cinq nombres réels positifs a, b, c, d
et e pris deux par deux sont tous des nombres entiers. Cinq de ces produits dans
lesquels chacun des cinq nombres a, b, c, d et e est ...
Problème proposé par Dominique Roux qui avertit :
« Selon vos affinités pour l'algèbre ou la géométrie, vous avez deux
manières de traiter ce problème ».
Diophante ...
Un polynôme p(x) de la forme p(x) = xn +an-1xn-1 + an-2xn-2 + ...+ a1x + a0 avec ses coefficients ai entiers pour i =0,1,2,...,n-1 et a0 non nul est dit « merveilleux » s’il s’annule quand x prend respectivement ...
Deux polynômes P(x) et Q(x) de degré n sont appelés par convention « jumeaux » s’ils ont l’un et l’autre n racines entières et si la différence P(x) – Q(x) est une constante non nulle. 1) ...
Existe-t-il un entier n positif et un arrangement de signes « plus » et de signes « moins » tels que l’équation 12010 +/- 22010 +/-32010 + ....+/- n2010 = 0 est satisfaite ? Jean Moreau de Saint ...
Problème proposé par Michel Lafond P, Q, R sont 3 polynômes du second degré tels que les suites P(n), Q(n), R(n) pour n = 0,1,2,.... sont strictement croissantes et aucun terme n'est commun à deux ...
On considère les ensembles constitués d'un nombre impair 2n+1 d'entiers naturels distincts entre eux dont la somme est strictement supérieure à 2008 et dont tout sous-ensemble de n éléments a une somme ...
Dans un repère orthonormé on considère la famille des courbes représentatives de la fonction cubique f(x) = ax3 + bx2 + cx + d contenues dans le carré de centre O dont les côtés de longueur 2 sont ...
Par convention, on dit qu'un entier naturel n est « docile » si l'on peut trouver un ensemble de plusieurs nombres rationnels positifs dont la somme et le produit sont égaux à n. A contrario ...
On part de l'ensemble E0 = avec n entier strictement positif. L'ensemble E0 grandit de la manière suivante : on lui ajoute un entier relatif dès lors qu'on sait trouver un polynôme P(x) dont les coefficients ...
Il est bien connu que l'équation x2008 + y2008 = z2008 n'a pas de solutions entières x,y et z > 0 (théorème de Fermat démontré il y a quelques années par Andrew J.Wiles pour tout exposant n >2). ...
On considère la liste de tous les triplets ordonnés de nombres premiers (p,q,r), tels que l’équation du second degré px2 + qx + r = 0 a au moins une racine rationnelle. Déterminer tous les nombres ...
