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Plus de 2500 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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A2945. Petit poisson peut devenir grand Imprimer Envoyer
A2. Algèbre élémentaire

calculator_edit.png  

On part de l'ensemble E0 = {0,n} avec n entier strictement positif.
L'ensemble E0 grandit de la manière suivante : on lui ajoute un entier relatif dès lors qu'on sait trouver un polynôme P(x) dont les coefficients y compris le terme constant sont extraits de E0 et qui admet cet entier relatif pour racine.
Par exemple à partir de E0 = {0,3}, on peut ajouter ‒ 1 qui est racine de P(x) = 3x + 3 = 0, le coefficient 3 étant extrait deux fois de E0.
E0 devient ainsi E1. Le processus se poursuit avec les ensembles E2,...,Ei.... aussi longtemps qu'on sait trouver un entier relatif qui est la racine d'un polynôme dont les coefficients y compris le terme constant sont extraits de l'ensemble précédemment constitué.
Q1 Démontrer que le petit poisson E0 ne devient jamais infiniment grand et que pour un entier n donné,on parvient toujours en un nombre fini k d'étapes à un ensemble final Ek ayant k + 2 éléments. Montrer que k est toujours supérieur ou égal à un entier k0 que l'on déterminera.
Q₂ A partir du petit poisson E0 = {0,2016}, déterminer le plus grand nombre possible d'éléments susceptibles d'être ajoutés à E0.


pdfClaude Felloneau,pdfPaul Voyer et pdfJean Nicot ont résolu le problème.

 
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