Ce nombre entier A a 2008 chiffres. Vous le passez à la moulinette avec la recette suivante : vous mettez le dernier chiffre en première position et vous obtenez un nombre B que vous élevez au carré pour obtenir un nombre C. Vous mettez le premier chiffre de C en dernière position et vous obtenez un nombre D qui, ô miracle, est le carré de A. Quelles sont les valeurs possibles de A ?
Source : liste des problèmes présélectionnés aux Olympiades internationales de mathématiques 2003.

On considère les deux nombres à 2008 chiffres chacun A = 9 810 810 ......810 (avec le chiffre 9 qui précède 669 fois 810)  et B = 9 568 568 .......568 avec le chiffre 9 qui précède 669 fois 568).

Quel est le plus grand des deux termes A/B ou 81/79 ?

1ère séquence :

On considère la séquence des nombres entiers constituée exclusivement de nombres premiers qui vérifient l'une ou l'autre de ces deux relations p_n = 2p_n-1 + 1 ou p_n = 2p_n-1 - 1 avec p₁ nombre premier et n entier quelconque > 1. Par exemple :p₁ = 2, p₂ = 3, p₃ = 7 et p₄ = 13.

2ème séquence:

On considère la séquence strictement croissante constituée par les carrés parfaits d'entiers naturels tels que la différence de deux termes consécutifs est un nombre premier ou le carré d'un nombre premier.Par exemple : c₁ = 64, c₂ = 81 et c₃ = 100.

3ème séquence :

On considère la séquence strictement croissante des nombres entiers triangulaires qui forment une progression géométrique.Par exemple : t₁ = 1, t₂ = 6 et t₃ = 36.

Nota : on rappelle que le n-ième nombre triangulaire est égal à la somme des n premiers entiers naturels.

Démontrez que chacune de ces trois séquences n'a jamais un nombre infini de termes. Indiquez les séquences les plus longues que vous avez trouvées.

Pour les plus courageux, généralisation dans la 1 ère séquence avec les deux relations de la forme p_n = 2p_n-1 + 2k+1  ou p_n = 2p_n-1 - (2k+1). Discutez en fonction de k entier > 0.

Q1 : Démontrer qu’il existe un seul chiffre impair x distinct de 5 tel que l’entier N = 38xxx....xxx obtenu par concaténation de A = 38 et d’un nombre quelconque de chiffres x est toujours composé.
Q2 : Prouver (sans l’usage d’un quelconque automate) que les quatre nombres suivants sont composés:
- N = 34 867 844 010 000 008 101 (nombre à 20 chiffres)
- N = 2011²⁰¹² + 2011²⁰¹¹ + 1
- N = 16²⁰¹¹ + 22²⁰¹¹ + 56²⁰¹¹ + 77²⁰¹¹
- N = 4¹⁴ + 6¹⁵ + 3³⁰
Q3 : Les termes de la suite a_n sont des nombres entiers strictement positifs et pour tout n>=1,a_n+1 = a_n² + 5a_n + 1. Est-il possible qu’avec un nombre a₀ convenablement choisi, chaque terme de la suite soit un nombre composé ?

Parmi les diviseurs communs des nombres N de la forme N = a³⁷ - a avec a entier a positif quelconque, quel est le plus grand nombre palindrome ?

Combien y a-t-il de diviseurs communs > 1 des nombres N ?

Déterminer les nombres entiers naturels n tels que la quantité n³ + 87n - 287 soit le cube d'un entier positif.

Cette « oeuvre d'art » contemporaine monumentale qui a la forme d'un parallélépipède rectangle est constituée de 362 558 592 cubes multicolores de 1cm de côté chacun. Les dimensions du parallélépipède sont telles que chacune des grandes diagonales traverse intérieurement 2008 cubes. Quelles sont les dimensions de l'oeuvre d'art ?

Nota : il existe un modèle réduit de cette oeuvre à l'échelle de 1/10 avec des cubes de 4 mm de côté.

Dans une base b, je considère un entier m à deux chiffres entre lesquels j'intercale un chiffre x pour obtenir un entier n à trois chiffres tel que m*n = 2008. Les entiers m et n s'écrivent avec les chiffres 0 à 9 qui ont leur valeur habituelle. Trouver b,m et n.

Traditionnellement quand un article devient périmé, le commerçant le brade. Nous faisons de même avec le millésime 2008 qui n'aura plus cours dans un mois et qui figure dans les énoncés de plusieurs exercices en stock dans les tablettes de Diophante. Faîtes votre choix :

1-      L'entier N = 1000......01 qui a 2008 chiffres dont deux « 1 » encadrant 2006 chiffres « 0 » est-il premier ou composé ?

2-      Existe-t-il un entier N divisible par 5²⁰⁰⁸  qui a  2008 chiffres a) tous impairs ? b) sans un seul zéro ?

3-      Existe-t-il au moins un nombre entier divisible par 2008 et dont la somme des chiffres est égale à 2008 ?

4-      Existe-t-il une séquence de 2008 entiers consécutifs qui contient exactement 28 nombres premiers ?

5-      Parmi les entiers naturels 1,2,3,...,2008, constituer un sous-ensemble aussi grand que possible, sans que deux quelconques de ses éléments aient 6 ou 11 pour différence ?

6-      Existe-t-il 2008 nombres entiers strictement positifs tels que deux d'entre eux  ont au moins un facteur commun > 1 et tout sous-ensemble de k entiers (k>2)  a 1 comme seul facteur commun?

Nota :

-          Les exercices ne sont pas nécessairement classés selon le niveau de difficulté.

-          Les lecteurs avertis feront valoir à juste titre que ces « soldes » peuvent très bien être remis au goût du jour en 2009 ou à défaut en 2010 et au delà. Ils sont libres d'établir toutes les généralisations qu'ils jugent intéressantes.

Cet entier N à 2009 chiffres comporte 200 fois au moins chacun des dix chiffres de 0 à 9. Démontrer que N a un multiple inférieur à sa puissance quatrième qui comporte dans sa représentation décimale au plus quatre chiffres distincts.

Dans mon jardin, n (compris entre 25 et 50) pots de géranium sont régulièrement espacés le long d’une allée circulaire.En ces temps de sécheresse, je décide de les arroser en parcourant l’allée autant de fois que nécessaire selon la régle suivante :
- j’arrose un premier pot puis je passe un pot,
- j’arrose un deuxième pot puis je passe deux pots,
........
- j’arrose un kième pot puis je passe exactement k pots,
etc....
Je parviens à arroser tous les géraniums et je m’arrête quand ils ont été arrosés au moins une fois.
Combien y a-t-il de pots? Combien de pots ont été arrosés deux fois ou plus ?

Comment s’appellent les entiers naturels qui sont absents de la séquence définie par la relation u_n= où [] désigne la partie entière par défaut et n prend les valeurs entières 1, 2, ….,n,… ?

Ceux qui sont absents de la séquence déterminée par la relation v_n = ? Ceux qui sont absents des séquences déterminées par les relations w_n,k= définies respectivement pour k = 2,3,4?

Soit N = n^p + pⁿ avec n et p entiers naturels positifs.

Quand n et p sont de même parité, N est évidemment composé car c'est toujours un nombre pair.

Qu'en est-il avec n et p de parités différentes ?  On examinera successivement pout tout p < 30, la plus petite valeur de n qui donne N premier.

Ce problème est proposé par Jean Moreau de Saint Martin

Hippolyte dit à Diophante, un beau matin : ``J'ai réussi à démontrer la conjecture de Legendre !''

Cette conjecture énonce qu'entre deux carrés parfaits consécutifs, on trouve toujours au moins un nombre premier.``Très bien,'' répond Diophante, ``je vais pouvoir laisser mon nom à un nombre remarquable : le nombre de Diophante D,  nombre réel tel que, en l'élevant n fois au carré, la partie entière de D^(2^n) est toujours un nombre premier.''

1) Que pensez-vous de cette prétention ? Comment Diophante peut-il s'y prendre pour fabriquer un nombre D (ou même plusieurs) ?

2) En réalité, la conjecture de Legendre n'est toujours pas prouvée. Mais les progrès faits dans la connaissance de la répartition des nombres premiers ont montré (théorème d'Ingham, 1932) qu'entre deux cubes parfaits consécutifs assez grands * on trouve toujours au moins un nombre premier. Montrez qu'il existe un nombre M appelé nombre de Mills tel que, en l'élevant n fois au cube, la partie entière de M^(3^n) est toujours un nombre premier.

* Ce qui veut dire plus grands qu'une certaine limite, dont on peut seulement dire qu'elle est finie.

Trouver une suite de longueur minimale constituée d'entiers positifs dont le produit est multiplié par 2009 quand chaque terme est incrémenté d'une unité.

On dit qu'une suite de k entiers positifs consécutifs est constituée de k moutons blancs s'il n'existe aucun mouton noir qui est relativement premier avec les k-1 autres termes. Quelle est la plus petite valeur de k pour laquelle il puisse exister une suite de k moutons blancs ? Pour cette valeur de k, donner la suite dont le premier terme est le plus petit possible.

Deux petites annonces sont parues dans le dernier numéro de la gazette MNP (Mordus de Nombres Premiers) :

- cherche suite de nombres premiers (NP), pas nécessairement distincts, telle que rapport de leur produit à leur somme = 10. Même question si rapport = 2009.

- cherche suite la plus longue possible de NP pas nécessairement distincts dont somme de trois quelconques d'entre eux est NP et dont plus grand terme est plus petit possible.

Pourriez-vous répondre favorablement à ces deux petites annonces ?

Q1 Existe-t-il six entiers naturels a, b, c, d, e et f tous distincts entre eux et inférieurs à 2009  tels que a divise b² + b + 1, b divise c² + c + 1, c divise d² + d + 1, d divise e² + e + 1, e divise f² + f + 1 et f divise a² + a + 1 ?

Q2 Trouver tous les entiers naturels a, b et c , a > b > c,  tels que a divise bc - 1, b divise ca - 1 et c divise ab - 1.

Q3 Trouver tous les nombres premiers a, b et c tels que a divise b^c + 1 , b divise c^a + 1 et c divise a^b + 1

Une fraction unitaire a pour numérateur 1.

1)      Trouver une collection de 2009 fractions unitaires, distinctes ou non, dont la somme est égale à 1 et dont les dénominateurs sont des carrés parfaits.

2)      Pour quelles valeurs de l'entier n, existe-t-il une collection de n fractions unitaires, distinctes ou non, dont la somme est égale à 1 et dont les dénominateurs sont des carrés parfaits.

Source : d'après concours général de mathématiques

Nota important
Dans la notice qui accompagne les doses de phi-tau-sigma, on peut lire en tout petits caractères:

Démontrer qu’il existe un entier positif N tel que pour tout entier n qui lui est strictement supérieur, il existe une sous-chaîne contigüe de la représentation décimale de n qui est divisible par 2011. Par exemple si n = 67881029, alors 678,8810,788102 sont toutes des sous-chaînes contigües de n.
A noter que 0 est divisible par 2011.
Source : Olympiades canadiennes de mathématiques 2011.

On considère la suite des entiers naturels consécutifs de 1 à 2ⁿ et on détermine le plus grand diviseur impair de chacun d'eux.La somme de ces 2ⁿ diviseurs contient 2010 chiffres.Calculer n.

Quatre entiers impairs distincts sont tels que la somme du plus petit et du plus grand comme celle des termes intermédiaires sont deux puissances de 4 et leurs produits respectifs sont égaux entre eux.Quelles sont les valeurs possibles des quatre termes quand le plus grand n’excède pas 2011 ?

Pour les plus courageux : trouver la formule générale des entiers qui figurent nécessairement dans l'une au moins de ces progressions ?

Parmi les n premiers entiers naturels 1,2,...n (n > 4), on choisit k nombres tous distincts. On les appelle par convention « francs-tireurs » si leur produit est égal à la somme des n - k nombres restants.

Q1 : Montrer que pour tout n supérieur  à 4, on trouve toujours des francs-tireurs par groupe de trois mais pas nécessairement quand ils sont deux seulement.

Q2 : Pour quelles valeurs de n inférieures ou égales à 2010 existe-t-il deux francs-tireurs consécutifs ?

Q3 : Pour n = 2010, quel est le plus grand nombre possible de francs-tireurs.

Trouver le plus petit nombre premier dont le carré est la somme des diviseurs d’un carré parfait qui est lui-même la somme des diviseurs du cube d’un nombre premier.
Pour les plus courageux : démontrer que c’est le seul entier avec cette propriété.

Q1- Cet entier A a exactement 40000 diviseurs qui sont strictement supérieurs à 1. Prouver que A est le carré d'un carré parfait.

Q2- Cet autre entier B est de la forme 2ⁿ + 1 avec n égal au produit de 10 nombres premiers distincts strictement supérieurs à 3. Prouver que B a plus d'un million de diviseurs.

Six nombres premiers obéissent à la charade à tiroirs suivante :
- En ajoutant 152 à mon premier puis au carré de mon premier, j’obtiens deux carrés parfaits,
- En ajoutant 1 à mon second puis au carré de mon second,j’obtiens deux fois le double d’un carré parfait,
- En ajoutant mon second à mon troisième puis au carré de mon troisième,j’obtiens deux fois le double d’un carré parfait,
- En ajoutant mon troisième à mon quatrième puis au carré de mon quatrième,j’obtiens deux carrés parfaits,
- En ajoutant mon quatrième au triple de mon cinquième puis au triple du carré de mon cinquième,j’obtiens deux fois le double d’un carré parfait,
- En ajoutant mon cinquième à mon sixième puis au carré de mon sixième,j’obtiens deux fois le double d’un carré parfait.
Mon tout N est un entier < 1000000 qui est le produit de quatre nombres premiers distincts a,b,c et d dont trois sont choisis parmi les six nombres logés dans la charade, tel que N – 1 est en même temps un multiple de a – 1, de b – 1, de c – 1 et de d – 1. Trouver N.

Par convention, on dit qu’une suite de nombres entiers positifs est équipondérée si tous les entiers qui la composent ont la même somme de leurs chiffres.Par exemple la suite 7,16,52,223,1411 dans laquelle la somme des chiffres de chaque terme est égale à 7, est équipondérée.
Q1 : Trouver cinq suites équipondérées constituées respectivement de 2011, 2012, 2013, 2014 et 2015 nombres entiers positifs pas nécessairement distincts et qui ont toutes la même  somme S de leurs termes, S prenant  la plus petite  valeur possible.
Q2 : Démontrer qu’il existe 2011 suites équipondérées constituées respectivement de 1,2,3,...,2011 nombres entiers positifs pas nécessairement distincts, qui ont toutes la même  somme de leurs termes. Calculer la plus petite valeur possible de cette somme.

Q? : Soit un entier n qui est une puissance de 2.Démontrer que parmi 2n – 1 entiers naturels, on peut toujours en trouver n dont la somme est divisible par n.[***]
Q? : Généraliser avec un entier n positif quelconque en démontrant que parmi 2n-1 entiers, on peut toujours en trouver n dont la somme est divisible par n.[*****]

Dans une botte de foin faite de brins numérotés de 1 à 1000000 (un million),dénicher deux brins dont les numéros p et q sont tels que pour tout entier n >0, les nombres p.2ⁿ + 1 et q.2ⁿ  -  1  ne sont jamais premiers.On essaiera de trouver les deux brins les plus proches possibles.

Trouver un entier naturel n inférieur à 2011 divisible par trois entiers distincts dont la conversion dans trois bases entières a,b et c distinctes donne respectivement des nombres uniformes à 3, 4 et 6 chiffres avec deux au moins de ces nombres qui n’utilisent pas le même chiffre. Démontrer que cet entier n est unique.
Nota : un nombre uniforme ou rep-digit est formé par la répétition du même chiffre compris entre 1 et 9.

Voici quatre miniatures sur des nombres premiers réunis en famille sous la houlette de « 2011 »  :
Q1 : Sans l’aide d’une calculatrice, exprimer 2011 comme la somme des carrés de nombres premiers distincts entre eux.
Q2 : Déterminer les nombres premiers jumeaux (p et p+2) inférieurs à 2011 dont la demi-somme est soit un carré parfait soit un nombre triangulaire.
Q3 : Calculer le reste de la division de la somme 2011¹⁸⁷⁰  + 1871²⁰¹⁰  par 3762581.
Q4 : On calcule respectivement les sommes des 2010 et des 2011 premiers nombres premiers. Montrer qu’il y a au moins un carré parfait entre ces deux sommes.

Sachant que 40 ! = abc def g83 247 897 734 345 611 269 596 115 894 27h ijk lmn opq, trouver les 17 chiffres manquants a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p et q.
Nota : il est demandé d’éviter de faire 39 fastidieuses multiplications pour calculer 40 ! et de ne pas utiliser un quelconque automate sauf pour vérifier le résultat obtenu.

Dans cette immense forêt, des arbres ont été plantés aux points de coordonnées x et y entières (négatives, positives ou nulles) par rapport à une origine O. Un arbre est invisible depuis cette origine si le segment qui le relie à O passe par au moins un autre arbre. On abat tous les arbres invisibles depuis l’origine. Démontrer que la forêt contient alors des clairières carrées de dimensions quelconques dont les côtés sont parallèles aux axes de coordonnées. Localiser les clairières carrées de côtés 3 et 4 situées strictement à l’intérieur du secteur défini par 0 < x < y et dont le centre est à une distance inférieure à 2011 de l’origine.

P1 : Des entiers positifs sont dits « semblables » s’ils sont écrits avec les mêmes chiffres. Par exemple : 112,121,211 écrits avec deux chiffres ‘1’ et un chiffre ‘2’. Trouver le plus petit entier  qui a au moins 2011 chiffres et qui est  la somme de deux entiers qui lui sont semblables.
P2 : Trouver trois entiers positifs tels que leur addition donne un nombre dont la somme des chiffres dépasse 125 et l’addition de deux quelconques d’entre eux donne un nombre dont la somme des chiffres est toujours plus petite que 10.
P3 : Trouver le plus grand entier dont tous les chiffres sont distincts et qui est la somme de deux entiers écrits l’un et l’autre avec seulement deux chiffres distincts. Par exemple, l’entier 1476 qui a quatre chiffres distincts est la somme de 1121 et de 355 écrits respectivement avec les chiffres (1,2) et (3,5).

Trouver trois ensembles de quatre entiers naturels distincts > 1 dont la somme est égale à 2011 et dont le plus petit commun multiple (PPCM) est respectivement :
1)égal à 2730,
2)le plus petit possible,
3)le plus grand possible.

La terre tourne autour du soleil selon une orbite complète qui dure 365 jours 5 heures 48 minutes et 46 secondes. Le calendrier grégorien est conçu avec des années bissextiles de 366 jours pour toutes les années divisibles par 4 à l’exception des années divisibles par 100 mais pas par 400. Déterminer la correction apportée sur une période de 400 ans. En opérant toujours avec les années bissextiles, trouver une meilleure correction sur une période plus courte.

Problème proposé par Michèle Raffault
A l'aide des quatre seules opérations élémentaires +, -, *, /. complétées par des  parenthèses,déterminer neuf équations qui expriment 2011 à partir des chiffres pris dans l’ordre de la séquence 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9 et des huit autres  séquences obtenues par permutation circulaire. Les concaténations de chiffres (exemples :12 et 456)  sont interdites ainsi que les exponentiations, les racines carrées et les factorielles.
Par exemple pour obtenir le nombre 4 à partir de la séquence 1,2,3,4,5 on peut écrire  4 = ((1*2+3)*4)/5 puis 4 = 2*(3 – 4) + 5 + 1 puis 4 = 3*4 – (5 +1 +2) etc...

On part de la séquence de 45 nombres entiers inférieurs ou égaux à 100, tous distincts dont 43 sont connus :a,b,17, 18, 21, 22, 24,25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 38, 39, 40, 44, 45, 48, 50, 52, 54, 55, 56, 60, 63, 66, 70, 72, 75, 76, 77, 78, 80, 84, 85, 88, 90, 91, 95, 96, 99,100.
On remplace deux termes quelconques de la séquence x et y par le nombre rationnel xy/(x+y) et on poursuit le processus jusqu’à ce qu’il ne reste plus qu’un seul terme.
1) Démontrer que quel que soit l’ordre dans lequel sont pris les termes, l’expression qui donne le terme final en fonction de a et de b est toujours la même.
2) Si le terme final est égal à 2/5, déterminer a et b.
Challenge : faire tous les calculs à la main comme au temps des pharaons...

Problème proposé par Michel Lafond

n >= 1 étant un entier naturel, il s’agit d’écrire n! comme produit de n facteurs entiers :
n != F₁ x F₂ x F₃ x - - - x F_n avec F₁ <= F₂ <= F₃ - - - <= F_n-1 < F_n
en rendant F₁ le plus grand possible.
Ainsi :
avec 27!= 7³ x 8³ x 9⁴ x 10⁴ x 11² x 12⁵ x 13² x 17 x 19 x 23 x 25 on a F1=7
avec 27! = 8⁴ x 9⁶ x 10⁶ x 11² x 12 x 13² x 14³ x 17 x 19 x 23 on a F₁=8.
Essayer de trouver le plus grand F₁ possible lorsque n appartient à l'ensemble {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100}.

Q₁ : Pour tout entier naturel positif n, existe-t-il au moins un multiple de n qui contient tous les chiffres de 0 à 9 ?
Q₂ : Trouver un entier n de cinq chiffres non nuls tous distincts qui est égal à la somme de tous les entiers que l’on peut former avec trois de ses chiffres.
Q₃:  Existe-t-il un carré parfait à 7 chiffres ne contenant pas le chiffre 9 qui reste un carré parfait si on incrémente chacun de ses chiffres d’une unité ?
Q₄ : Trouver le plus petit entier n tel que l’entier 1 peut s’écrire comme la somme de n nombres réels pas nécessairement distincts qui contiennent exclusivement des 0 et des 7.
Q₅ : Des parenthèses (..) peuvent être placées de différentes manières dans l’expression N(k) = 1/2/3/4...../k où / désigne l’opération « division » et k est un entier naturel positif. Par exemple deux valeurs possibles de N(4) sont N(4) = (1/2)/(3/4) = 2/3 et N(4) = ((1/2)/3)/4 = 1/24. On s’intéresse à N?(k) et N?(k) qui sont respectivement le plus grand entier et le plus petit entier susceptibles d’être obtenus. Le rapport N?(k) / N?(k) est égal à 518400. En déduire k.

Cet entier n est le produit de deux nombres premiers jumeaux p et p + 2. On calcule le produit P(n) de la somme σ(n) des diviseurs positifs de n (1 et n inclus) par le nombre σ(n) des entiers positifs qui sont inférieurs à n et sont premiers avec n. P(n) est divisible par 1 000 000. Quels sont les deux plus petits jumeaux possibles? [**]
Pour les plus courageux : démontrer qu’un entier n est le produit de deux nombres premiers jumeaux si et seulement si P(n)=σ(n).σ(n) est de la forme an² + bn + c avec a,b et c coefficients entiers à déterminer.[*****]

Q1- On considère  la somme d’un entier p à 2k + 1 chiffres et de l’entier q dont les chiffres sont ceux de p lus dans l’ordre inverse. Pour quelles valeurs de k cette somme  peut-elle comporter exclusivement des chiffres impairs ? Application numérique : p a 2011 chiffres.
Q2- On additionne un entier naturel p à l’entier q obtenu en  arrangeant les chiffres de p dans un ordre différent. La somme p + q peut-elle être formée de 2011 chiffres 9 ?

On considère l’ensemble des entiers de la forme p² – 1 avec p nombre premier ≥ 2. On choisit quatre entiers positifs n₁,n₂,n₃ et n₄. Quand p varie, les restes de la division de p² – 1 par chacun de ces entiers  prennent respectivement trois,quatre,cinq et six valeurs possibles.Trouver ces quatre entiers qui forment une progression arithmétique lorsqu’on les prend dans un certain ordre.

Problème proposé par Maurice Bauval

Soit E l'ensemble des entiers x tels que 0 < x < 2011.Trouver une bijection f : E --> E telle que pour tout x de E, la valeur absolue de f(f ( f ( f ( f(x))))) – 2x est multiple de 2011.

On désigne par p(n) le produit des diviseurs de l’entier naturel n, y compris n lui-même.
Q₁ : Soient deux entiers naturels positifs a et b tels que p(a) = p(b). Peut-on avoir a > b ?
Q₂ : Trouver le couple d’entiers naturels  a et b, 1≤ a, b≤ 2012, tels que p(a)= 324p(b).
Q₃ : Démontrer que quel que soit l’entier k >1, il existe toujours un entier a tel que p(a) est la puissance d’ordre k d’un entier. Application numérique : k = 2011 et k = 2012.
Q₄ : Démontrer qu’il existe une infinité de triplets d’entiers naturels a,b,c, tous supérieurs à 1,tels que p(a) = p(b).p(c)

Q₁ : Soit un nombre premier p. Montrer qu’il existe au moins un entier positif n tel que la représentation décimale de pⁿ contienne exactement 2013 zéros à la queue leu leu.
Q₂ : Existe-t-il un entier naturel positif dont la somme des chiffres est égale à 2013 et dont la somme des chiffres de son carré est égale à 2013² ?
Q₃ : Existe-t-il un entier de 2013 chiffres qui donne toujours un entier composé quand on remplace trois quelconques de ses chiffres adjacents par trois chiffres arbitrairement choisis ?
Q₄ : Soient   une première suite de m > 2013 entiers consécutifs et  une deuxième suite de n = m – 9 entiers consécutifs qui a neuf termes de moins que la précédente. On forme les entiers M et N obtenus par concaténation dans un ordre quelconque des entiers appartenant à chacune de ces suites. Est-il possible que M = N ? Si oui, donner un exemple des deux suites. Si non, justifier votre réponse.
Q₅ : On désigne par P(x) et S(x) le produit et la somme des chiffres d’un entier x. Existe-t-il au moins un entier naturel n tel que P(P(n)) + P(S(n)) + S(P(n)) + S(S(n)) = 2013 ?
Pour les plus courageux disposant  d’un automate :  donner le plus petit n possible.

Jean Moreau de Saint Martin, Pierre Henri Palmade et Gaston Parrour ont résolu tout ou parie du problème.

1ère pincée : trouver tous les entiers naturels a et b tels que 1 < a <  b et dont la différence entre leur plus petit commun multiple (PPCM) et leur plus grand commun diviseur (PGCD) est égale à 2012.
2ème pincée : on a trouvé dans de vieux manuscrits la relation (3^? + 1, 3¹⁶³⁷+ 1) = (3^? + 1,3¹⁶³⁷– 1) dans laquelle (a,b) désigne le plus grand commun diviseur (PGCD) des entiers a et b et le point d’interrogation ? est un exposant devenu illisible. Si l’on admet que cet exposant est un entier positif, identique dans les deux membres et inférieur à 1637, trouver sa plus grande valeur possible.
Nota : c’est en 1637  que Pierre de Fermat n’a pas détaillé la démonstration de son grand théorème car les marges de son cahier étaient trop étroites...
3ème pincée : pour k égal respectivement à 2,3,4 et 5, trouver la valeur maximale du plus grand commun diviseur (PGCD) de n^k + 1 et de (n+1)^k + 1 quand n parcourt l’ensemble des entiers naturels.

Déterminer tous les triplets d’entiers uniformes strictement positifs tels que dans chaque triplet le plus grand des entiers est  égal à la somme du deuxième et du carré du troisième et l’un d’eux contient 2013 chiffres.
Nota : dans le système de numération décimale un entier uniforme est un entier naturel formé par la répétition d'un seul chiffre.

Jean Moreau de Saint Martin,Claude Felloneau, Daniel Collignon, Jean Drabbe, Pierre Henri Palmade, Jean Nicot, Gaston ParrourMaurice Bauval et Philippe Laugerat ont résolu le problème.