Problème proposé par Pierre Renfer Dans un triangle scalène ABC on trace le centre O du cercle circonscrit, le point de Nagel N et la droite d'Euler. Démontrer que la droite NO est perpendiculaire ...
Problème proposé par Michel Lafond Partager le rectangle 2017 * 2018 en un minimum de carrés (pas nécessairement distincts).
Maurice Bauval,Claudio Baiocchi,Gwenaël Robert,Jean Moreau de ...
Les hauteurs BB1 et CC1 d'un triangle scalène acutangle ABC se coupent en l'orthocentre H. Les droites symétriques de la médiane AM par rapport aux droites BB1 et CC1 se coupent en un point X. Démontrer ...
Zig part du sommet A1 d'un polygone régulier A1A2A3...A2n de 2n côtés et de centre O. Il parcourt en ligne droite la diagonale A1A3, puis la diagonale A3An, puis le côté AnAn-1, puis la diagonale An-1A2 ...
Problème proposé par Raymond Bloch A l'aide d'une règle et d'un compas, partager un gâteau circulaire en treize portions de même aire. Nota: on ne connaît pas le centre du gâteau
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Problème proposé par Sébastien Terrasson Inscrire le plus grand pentagone régulier dans un hexagone régulier de côté 1.
Lors d'une consultation des archives de diophante.fr, Sébastien ...
Problème proposé par Michel Lafond
Trouver au moins deux configurations distinctes* de k points (k au moins égal à 4) telles que chacune d’elles donne la même suite des k (k – 1) / 2 ...
Soient un triangle ABC et deux points P et Q situés sur deux côtés du triangle tels que PQ partage le périmètre du triangle en deux parties égales.Quand P parcourt les trois côtés du triangle, déterminer ...
On considère cinq points dans le plan tels que trois d’entre eux ne sont jamais sur une même droite et quatre d’entre eux ne sont jamais cocycliques. On trace les dix cercles qui passent par trois ...
On considère un quadrilatère convexe ABCD inscrit dans un cercle de rayon 2 et un point P intérieur à ce quadrilatère (côtés inclus). Déterminer la borne supérieure du produit PA.PB.PC.PD. Pour les ...
Problème proposé par Pierre Jullien Pour carreler sa salle de bain, Papyjules a commandé des carreaux de faïence selon le modèle ci-dessous. Montrer qu’il a le choix en une infinité ...
Problème proposé par Michel Lafond Partager un disque de rayon 23 en huit pièces qui, assemblées différemment, pourront recouvrir complètement un carré de côté 40. [Le chevauchement des pièces est ...
Prouver qu'il est possible de creuser un trou dans un cube de sorte qu'un cube de même dimension puisse passer à travers.
Nos lecteurs Gwenaël Robert,Jean Moreau de Saint Martin, Pierre Henri Palmade,Jean ...
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D1861. Dualité
(D. Géometrie/D1.Géométrie plane : triangles et cercles)
Problème proposé par Pierre Renfer Soit ABC un triangle quelconque. Q1 Soient P, Q, R trois points situés respectivement sur les droites (BC), (CA), (AB) et distincts des sommets du triangle ABC. Montrer ...
Problème proposé par Michel Lafond Un carré est dit inscrit dans un quadrilatère si chaque côté du quadrilatère contient exactement un sommet du carré. Démontrer que si un quadrilatère ...
Problème proposé par Raymond Bloch Q1 Peut-on diviser une triangle quelconque en un nombre fini p de triangles tels que deux quelconques de ces p triangles ne partagent jamais un même côté? Q2 Peut-on ...
Soient un triangle ABC rectangle en A, M le milieu de son hypoténuse et (Γ) son cercle circonscrit. La droite qui passe par les milieux de AB et de AC coupe le cercle (Γ) aux points P et Q. Dans ...
Soient un triangle scalène ABC, son cercle circonscrit (Γ) et un point D sur l'arc de cercle (BC) de (Γ) qui ne contient pas A.On prolonge le côté AB d'un segment BE = BD et le côté AC d'un segment ...
Prouver qu'il est possible de construire un hexagone convexe équiangle dont les longueurs des côtés sont respectivement égales à 2018,2019,2020,2021,2022 et 2023. Prouver qu'il est possible de construire ...
Soit un triangle ABC dont l'angle en A est égal à 45°. On trace l'orthocentre H et le point M milieu du côté BC. Les droites symétriques de la droite AM respectivement par rapport aux hauteurs BB1 et ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre Etant donné le triangle ABC, construire le triangle isocèle A0BC tel que CBA0 = A0CB =BAC*. La droite [BA0] coupe la droite [AC] en A1 et la droite [CA0] ...
Prouver qu'il existe au moins un ensemble fini E de n points dans l'espace qui ne sont pas tous situés dans le même plan de sorte que pour tout couple de points A et B appartenant à cet ensemble, on ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre Le triangle ABC présente en C un angle de 45°. Il est inscrit dans le cercle (Γ) de centre O. C se projette orthogonalement en hC sur AB, et le cercle (ΓC) de ...
Prouver qu'il existe au moins un ensemble fini E de n points dans l'espace qui ne sont pas tous situés dans le même plan de sorte que pour tout couple de points A et B appartenant à cet ensemble, on ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre
Soit le triangle ABC, son point de Lemoine L et Ma, Mb, Mc les milieux des côtés BC, CA, AB. La médiatrice de BC coupe AC en D et AB en D0. Les parallèles à ...
Problème proposé par Jean-Louis Aymé 1. ABC un triangle 2. a, b, c les longueurs respectives de BC, CA, AB 3. 2p le périmètre de ABC 4. (O) un cercle passant par B et C tel que A soit à l’intérieur ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre Soient un triangle ABC et un point M du plan. La parallèle au côté BC passant par M coupe le droite [AB] au point P et la droite [CA] au point P’. La parallèle ...
Dans un triangle ABC, on trace successivement: - l'orthocentre H, - la médiane AM, - le cercle (Γ) de centre O circonscrit au triangle ABC, - la symédiane issue de A qui coupe la droite [BC] au point ...
Problème proposé par Pierre Renfer Soit un triangle ABC et son cercle (Γ) circonscrit de centre O. Le cercle inscrit de centre I touche AC en E et AB en F. Les droites BE et CF se coupent en ...
Problème proposé par Michel Lafond On partage chacun des angles du triangle d’angles (3π/5, 3π/10, π/10) en 9 angles égaux en traçant les 8-sectrices. Combien ces 24 segments déterminent-ils de domaines ...
Problème proposé par Pierre Renfer Pierre a trois amours, Alice, Béatrice et Cécile, qui habitent aux trois sommets A, B, C d’un triangle du plan. Pierre part d’un point P du plan et se dirige vers ...
On prolonge les cinq côtés d'un pentagone convexe ABCDE de manière à former une étoile à cinq branches AHBKCLDMEN. On trace les cercles circonscrits aux cinq triangles qui forment les branches de l'étoile. ...
Dans un triangle ABC, on trace le point M milieu de BC et le point D pied de la bissectrice issue de A. Soit P un point courant de la droite [AD]. La droite symétrique de la droite [BP] par ...
Deux cercles (Γ1) et (Γ2) se coupent aux points M et N. On trace la tangente commune [AB] à ces deux cercles qui est la plus proche du point M avec A sur ( Γ1) et B sur (Γ2 ). La parallèle à la droite ...
On considère quatre pentagones réguliers de même côté égal à 5 centimètres. Chacun d’eux peut être découpé en quatre morceaux au maximum, les découpes d’un pentagone à un autre n’étant pas nécessairement ...
Existe-t-il un triangle ABC dont le périmètre est égal à 134 centimètres, le rayon du cercle inscrit est égal à 12 centimètres et le rayon du cercle circonscrit est égal à 27 centimètres ?
C'est ...
Dans le plan d’un triangle ABC on trace les points A’,B’ et C’ qui sont les réflexions d’un point P quelconque par rapport aux côtés BC,CA et AB. Q1 Démontrer que les cercles (AB’C’), (BC’A’) et (CA’B’) ...
Problème proposé par Dominique Roux On donne un triangle ABC de centre de gravité G On construit les centres A' , B' , C' des cercles (BCG), (CAG), (ABG) Q1 Montrer que le centre de gravité du triangle ...
Soit un triangle scalène ABC. On trace quatre cercles : - le cercle (Γ) de centre O circonscrit à ce triangle, - le cercle inscrit (ω) de centre I, - le cercle exinscrit (Ω) de centre ...
Le sieur de Laterre-Donne(1) a conçu un merveilleux jardin dans lequel il a installé les statues de mathématiciens géomètres célèbres repérés par la première lettre majuscule de leur nom. Il commence ...
Problème proposé par Jean Nicot Zig a acheté une pizza circulaire. Il la partage avec n traits de coupe, rectilignes, allant d’un bord à l’autre, en s’imposant les contraintes : - obtenir le ...
Soit un triangle isocèle ABC de sommet A et de côtés AB = AC > BC = a. On trace le point D sur le côté AC tel que CD = BC = a puis le point E projection de C sur BD. Les rayons des cercles ...
On reprend l'énoncé du problème D2923-Le jardin des géomètres (1ère scène) Démontrer que : - les droites AC,GH et IJ sont concourantes en un même point U (Ulugh Beg), - les droites BD,GJ ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre Soit le triangle ABC qui admet O pour centre du cercle circonscrit à ABC, I centre idu cercle nscrit et Ia, Ib, Ic centres des cercles exinscrits dans les ...
Problème proposé par Dominique Chesneau On considère six points dans l’espace, quatre d’entre eux n’étant jamais coplanaires. Peut-on toujours relier ces six points de façon à construire deux ...
On reprend les notations de D2923 et de D2924 Un cocktail de cercles… Démontrer que les cercles circonscrits aux triangles ABE,ADF,BCF et CDE concourent en un même point dont on précisera la nature. ...
Problème proposé par Dominique Roux Ce problème est le deuxième épisode d’une saga qui en comportera cinq sur le thème: Combien de carrés peut-on inscrire dans un quadrilatère ? On considère un quadrilatère ...
Problème proposé par Dominique Roux Ce problème est le troisième épisode d’une saga qui en comportera cinq sur le thème(1) : Combien de carrés peut-on inscrire dans un quadrilatère ? On considère un ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre Une conique coupe les côtés du triangle ABC en p et p’ sur BC, q et q’ sur AC et r et r’ sur AB. On désigne les six points suivants : a=CrBq, b=ApCr, c=BqAp, a’=Cr’Bq’, ...
Problème proposé par Louis Rogliano
ABC est un triangle et M un point intérieur à ce triangle. Les céviennes relatives à M déterminent six triangles. Montrer que les six centres de gravité de ...
Un triangle est divisé par ses trois médianes en six triangles plus petits. Démontrer que les centres des cercles circonscrits à ces triangles sont cocycliques. Source : Floor van Lamoen,Goes,Pays-Bas. ...
Soit un triangle ABC (scalène et non rectangle). On désigne par A’,B’,C’ les pieds des hauteurs issues de A,B et C sur les côtés BC,CA et AB. Démontrer que les droites d’Euler des triangles AB’C’, A’BC’ ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre On donne l'ellipse (E), deux points fixes D et F de l'ellipse dont les tangentes se coupent en C, et les points A et B, A fixe sur CD, B fixe sur ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre Trouver au moins trois méthodes différentes pour construire à la règle et au compas les intersections d'une droite et d’une parabole définie pars son foyer ...
Problème proposé par Pierre Jullien Soit K le 4-cube unité de R4 euclidien : ensemble des points [ x0, x1, x2, x3 ] , avec 0 ≤ xi ≤ 1 pour 0 ≤ i ≤ 3 On note Ph le plan défini par l'équation : x0 + ...
Soient un triangle ABC acutangle et son cercle circonscrit (Γ). On trace une droite (L) du plan qui coupe les droites (BC),(CA) et (AB) aux points X,Y et Z puis les droites (LA), (LB) et (LC) qui sont ...
On désigne par : 1) A₀,B₀,C₀ les points de contact du cercle inscrit du triangle ABC sur les côtés BC,CA et AB 2) Ai,Bi,Ci les points de contact des trois cercles exinscrits touchant respectivement ...
Le cercle (γ) de centre I est strictement intérieur au cercle (Γ) de centre O. D’un point P quelconque de (Γ) on trace les deux tangentes à (γ) qui coupent (Γ) une deuxième fois aux points Q et ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre Soient dans le plan la rotation Ra de centre A et d'angle α et la rotation Rb de centre B et d'angle β Le point M du plan devient M1 par Ra, qui lui-même devient ...
Dit autrement, il s’agit de rechercher neuf angles sans… les mots dire (idéalement) ou avec le minimum de commentaires. On y parvient en complétant les neuf figures données ci-après avec de nouveaux ...
Problème proposé par Pierre Renfer Soient ABC un triangle et ses cercles exinscrits Γa, Γb, Γc face à A, B, C. Soient Tc et Ta les points de contact du cercle Γb avec les droites ...
Sous le pseudonyme d'Alex, et pendant bon nombre d'années, Alphonse Blaive a diffusé à ses camarades de la région Lyonnaise une feuille mensuelle d'énigmes mathématiques, ``Le problème ...
Problème proposé par Pierre Renfer Dans un triangle ABC, on note G le centre de gravité, I le centre du cercle inscrit, F le point de Feuerbach et P le pied de la hauteur issue de A. Soit M le barycentre ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre Démontrer que lorsque deux triangles sont à la fois en orthologie et en perspective, les axes d'orthologie et de perspective sont orthogonaux. Nota ...
On trace un triangle ABC dont la longueur de la médiane AM est égale à celle du côté BC. On désigne par G son centre de gravité, par K son point de Lemoine et par O le centre de son cercle circonscrit ...
Problème proposé par Jean-Louis Aymé On considère un triangle acutangle ABC, P un point de [BC],(Γ) le cercle circonscrit au triangle APC, R le second point d'intersection de (Γ) avec [AB], Q le point ...
On considère cinq points dans le plan en position générale, c'est-à-dire trois quelconques d’entre eux ne sont pas sur une même droite et quatre quelconques d’entre eux ne sont pas cocycliques. Démontrer ...
Sur la droite qui porte le côté BC d’un triangle acutangle ABC, on trace un point courant D tel que C reste toujours compris entre B et D. Les cercles inscrits des triangles ABD et ACD se rencontrent ...
Problème proposé par Dominique Chesneau Zig découvre des disques de terrain calcinés dans son champ carré de côté 110 mètres. Il apparaît que deux points brûlés ne sont jamais distants de 10 mètres ...
On trace : - un triangle isocèle ABC (AB = AC) dont l'angle en A est obtus. - le cercle (Γ) de centre A et de rayon AB. - le point D sur la droite [AB] tel que AD = BC avec B situé ...
Sur une grande feuille de papier, on trace un segment AB de longueur unité. Démontrer qu’avec une règle (non graduée) et un compas on sait construire un segment de droite de longueur L = ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre Soient une ellipse (E),un triangle ABC inscrit dans cette ellipse et (γ) le cercle inscrit du triangle. On sait par le grand théorème de Poncelet que tout point ...
Soient un triangle ABC, O le centre de son cercle circonscrit, G son centre de gravité et H son orthocentre. On trace les points A’,B’ et C’ symétriques de A,B et C par rapport aux droites [BC],[CA] ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre Des prix fixes par les temps qui courent ? Eh non, hélas. Il s'agit d'une variation sur le porisme*** bien connu des triangles qui ont un même cercle circonscrit ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre ABCD est un quadrilatère convexe inscrit dans le cercle (Γ) de centre O. Montrer que les 4 quadrilatères formés par : 1) les 4 bissectrices internes en A,B,C et ...
Dans un parallélogramme ABCD, on trace en son intérieur un point P tel que les angles PDA et PBA sont égaux. Soient ω1 le cercle exinscrit du triangle PAB dans le secteur du sommet A et ...
Soit un point courant C sur un cercle (Γ) de centre A et de rayon AB = 6. La médiatrice (Δ) du rayon AC rencontre la bissectrice de l’angle BAC au point D et la droite [CD] rencontre la droite [AB] ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre On considère un triangle ABC et un point P en son intérieur. On trace les cercles (PAB), (PBC) et (PCA) circonscrits aux triangles PAB,PBC et PCA. Soit un point ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre Le porisme est la relation entre les coniques C1 et C2 et une famille de polygones inscrits dans C1 et circonscrits à C2. Ici, E1 et E2 sont des ellipses et les ...
Soient A1,B1 et C1 les milieux des côtés BC,CA,AB d’un triangle ABC. Les points B2 et C2 sont respectivement les milieux des segments BA1 et CA1. Le point B3 est symétrique du point C1 par rapport à ...
On trace quatre cercles (γ1), (γ2), (γ3) et (γ4), de rayons r1,r2,r3 et r4 distincts, respectivement tangents aux demi-axes d’un repère orthonormé (Ox’,Oy), (Ox,Oy),(Ox,Oy’) et (Ox’,Oy’) tels que ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre
On part des 3 cercles de D1729: Porisme à 3 ronds fixes. C1 de centre o1, C2 de centre o2 et γ de centre I, tels que tout cercle Γ tangent à C1 et C2 (Γ est intérieur ...
Sur deux demi-droites A0X et A0Y formant un angle aigu a (entier exprimé en degrés), Zig trace une suite de points A1, A2, A3,…Ai…An tels que les points d’indice impair sont sur A0X et ceux d’indice ...
On considère un triangle ABC, ses hauteurs AD,BE,CF et son orthocentre H. La perpendiculaire à la droite [EF] passant par H coupe cette droite au point P, la droite [AB] au point Q et la droite [AC] ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre Soient : - un triangle ABC avec ma ,mb et mc les milieux des côtés BC,CA et AB, - L son point de Longchamps qui est le point symétrique de l’orthocentre par ...
On trace un triangle ABC acutangle, son cercle circonscrit (Γ), son cercle inscrit (γ) de centre I et de rayon r, son orthocentre H. Les droites [AI],[BI] et [CI] coupent (Γ) en A’,B’,C’ milieux des ...
Soit un triangle ABC avec sa médiane AM et O le centre de son cercle circonscrit (Γ). On trace les deux cercles l’un (Γb) tangent en A au côté AB et passant par C et l’autre (Γc) tangent en A au côté ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre Soient le triangle ABC, un point X du plan, les céviennes AX, BX, CX et les points D sur AX, E sur BX, F sur CX. AF coupe CE en U, CD en E0, BD en S et BC en P, ...
Problème proposé par Dominique Chesneau Il est facile de trouver un rectangle que l’on peut découper en n rectangles semblables au rectangle initial . Et si on exige en plus que les rectangles considérés ...
Problème proposé par Kaustuv Sengupta Bernard vient de terminer la construction d'une maison d’hôte et invite Alice à la visiter. Bernard : "Ma maison qui a la forme d’un polygone régulier est installée ...
Problème proposé par Pierre Renfer Soient ABC un triangle non isocèle, O le centre de son cercle circonscrit et L son point de Lemoine. La droite (BC) coupe la bissectrice intérieure de A en I1 ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre Déterminer la surface minimale occupée par un polygone articulé dont tous les côtés en nombre impair k ≥ 3 sont de longueur 1. 1er cas : le polygone est non croisé ...
Problème proposé par Pierre Renfer Soient ABC un triangle et G un cercle passant par B et C. Le cercle G recoupe la droite (AB) en P et la droite (AC) en Q. Q1 Soit U le point d’intersection de la ...
Soient un triangle ABC son cercle circonscrit (Γ) et son centre de gravité G. Les médianes AA0, BB0 et CC0 coupent le cercle (Γ) aux deuxièmes points d’intersection A1, B1 et C1 On trace ...
Problème proposé par Pierre Renfer Soit ABC un triangle. Soient p, q, r les projections orthogonales sur les droites (CA), (AB), (BC). Q1 Montrer qu’il existe des points M et M’ sur (BC), N ...
On trace dans le plan Oxy un carré OABC avec A sur l’axe des abscisses positives et C sur l’axe des ordonnées postives telles que OA = OC = k. Q₁ Déterminer le plus petit entier k tel qu’on sait découper ...
Problème proposé par Dominique Chesneau Zig et Puce s'affrontent dans un tournoi de pâte à modeler à plusieurs rondes . Initialement la pâte forme un bloc unique posé sur la table puis Zig et Puce ...
Un polynôme p(x) de la forme p(x) = xn +an-1xn-1 + an-2xn-2 + ...+ a1x + a0 avec ses coefficients ai entiers pour i =0,1,2,...,n-1 et a0 non nul est dit « merveilleux » s’il s’annule quand x prend respectivement ...
Existe-t-il un entier n positif et un arrangement de signes « plus » et de signes « moins » tels que l’équation 12010 +/- 22010 +/-32010 + ....+/- n2010 = 0 est satisfaite ? Jean Moreau de Saint ...
Soit un triangle scalène ABC dont l’angle en A est inférieur à 45°. On trace les points P et Q respectivement symétriques de B et de C par rapport aux côtés AC et AB. La perpendiculaire issue de A à ...
