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D2956. Polygones écrasés

D2. Géométrie plane : autres problèmes

Problème proposé par Pierre Leteurtre
Déterminer la surface minimale occupée par un polygone articulé dont tous les côtés en nombre impair k ≥ 3 sont de longueur 1.
1^er cas : le polygone est non croisé et k est quelconque
2^ème cas : le polygone⁽¹⁾ est croisé (i.e. si au moins deux côtés non consécutifs sont sécants) et k prend successivement les valeurs 5,7 et 9.
⁽¹⁾ Nota : par convention, on prendra l’aire d’un polygone croisé égale à la somme des aires affectées du signe + de tous les polygones élémentaires qui le constituent.

Solution

Le premier cas de ce problème a été traité et résolu par Peter Winkler dans son ouvrage Mathematical Mind-Benders sous la rubrique "Collapsing a polygon".L'aire minmale est √3/4 pour tout polygone ayant un nombre impair ≥ 3 de côtés de longueur 1 et elle est nulle avec un nombre pair ≥ 4 de côtés.
Dans sa solution du 2ème cas,Pierre Leteurtre obtient des surfaces minimales légèrement inférieures à √3/4 quelles que soient les valeurs de k = 5,7 et 9 avec des configurations très proches de celles analysées par P. Winkler. Michel Goudard obtient des surfaces minimales bien inférieures avec des polygones réguliers étoilés.

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