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Plus de 2500 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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Tous les problèmes sont identifiés par un niveau de difficulté :

Très facile

Facile

Moyen

Difficile

Très difficile

Variable

 

D'autre part, les problèmes se traitent généralement à la main et sont alors repérés par l'icône

 

Pour faciliter leur résolution, l'ordinateur peut être utile. Dans ce cas, vous verrez apparaître aussi cette icône

 

Quand l'ordinateur est indispensable, l'icône figure seule.

 

Pour avoir accès aux solutions de chaque problème, cliquez sur solution.

 

Les figures et les graphes ont été réalisés grâce au logiciel Declic.

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D2925. Le jardin des géomètres- 3ème scène Imprimer Envoyer
D2. Géométrie plane : autres problèmes

calculator_edit.png  

On reprend les notations de D2923 et de D2924
Un cocktail de cercles…
Démontrer que les cercles circonscrits aux triangles ABE,ADF,BCF et CDE concourent en un même point dont on précisera la nature.
La droite EO rencontre les côtés AB et CD  du quadrilatère ABCD aux points G₁ et I₁ et la droite FO rencontre les côtés AD et BC aux points H₁ et J₁.
Démontrer que :
- le cercle de centre OE tangent en H₁ et J₁ aux côtés BC et AD du quadrilatère ABCD est tangent intérieurement en TE au cercle circonscrit au triangle CDE,
- le cercle de centre OF tangent en G₁ et I₁ aux côtés AB et CD est tangent intérieurement en TF au cercle circonscrit au triangle BCF,
- les points F,G,O,I et TE sont cocycliques de même que les points E,J,O,H et TF,
- le cercle circonscrit au triangle CTETF est tangent en C au cercle (ω) circonscrit au triangle ABC.





pdfPierre Renfer,pdfLouis Rogliano et pdfMaurice Bauval ont résolu tout ou partie du problème.

Zig dispose d’une calculette de marque déposée @Méphisto dont le clavier comporte trois touches qui permettent d’obtenir à partir d’un entier quelconque n strictement positif affiché à l’écran :
 1) φ(n), fonction d’Euler, le nombre d’entiers qui sont strictement inférieurs à l’entier n et sont premiers avec lui.
2) σ(n) la somme des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même.
3) τ(n) le nombre des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même.
Q₁ Démontrer qu’il existe une infinité d’entiers n strictement positifs tels que l’entier n égalise son sigma (σ) diminué de son phi (φ) et de son tau(τ).
Q₂ Démontrer qu’il existe au moins un entier n strictement positif tel que son double égalise son sigma (σ) augmenté de son phi(φ) et diminué de son tau(τ).
Q₃ Démontrer qu’il existe une infinité de paires d’entiers strictement positifs (m,n) tels que le rapport des deux entiers est l’inverse du rapport de leur sigma (σ).
Q₄ Soit un entier k ≥ 1. Démontrer que l’équation σ(n) = n + k a un nombre fini de solutions.
Application numérique : déterminer le plus grand entier n₀ tel que σ(n₀) = n₀ + 2021. Démontrer qu’il existe un entier n₁ > n₀ tel que φ(n₁) = n₁ – 2021
 
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