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Plus de 3000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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D264. Incursion erdösienne en géométrie Imprimer Envoyer
D2. Géométrie plane : autres problèmes

calculator_edit.png  

On considère un quadrilatère convexe ABCD inscrit dans un cercle de rayon 2 et un point P intérieur à ce quadrilatère (côtés inclus). Déterminer la borne supérieure du produit PA.PB.PC.PD.
Pour les plus courageux:
On considère un polygone convexe de n côtés A1,A2,....,An inscrit dans un cercle de rayon n et un point Q intérieur à ce polygone (côtés inclus). Déterminer la borne supérieure du produit QA1.QA2....QAn
Source: d'après un problème proposé par Paul Erdös en 1993.

Solution


pdfFabien Gigante,pdfGaston Parrour,pdfJean Moreau de Saint Martin,pdfBernard Vignes,pdfPierre Leteurtre,pdfPierre Jullien et pdfPaul Voyer ont obtenu la même valeur 27 comme borne supérieure du produit PA.PB.PC.PD et 2n(n-1)n-1 comme borne supérieure du produit QA1.QA2....QAn.
Le problème posé par Paul Erdös en 1993 consistait à déterminer la borne supérieure du produit PA.PB.PC calculé à partir d'un point P intérieur à un triangle ABC inscrit dans un cercle de rayon r. Dans ce cas, la borne supérieure est égale à 32r3/27.
De manière générale avec un polygone convexe de n côtés inscrit dans un cercle de rayon n, la borne supérieure du produit QA1.QA2....QAnest égale à (n-1)n-1.(2r/n)n.
 
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