Soit un entier n et un nombre premier p. Parmi ces trois affirmations,il s’agit de faire le tri et d’identifier le vrai et le faux : - si p divise n3 – 1 et que 4p – 3 est un carré parfait, alors n ...
On fixe un entier k strictement positif et on suppose que trois nombres réels x,y et z satisfont les équations suivantes : x + y/z = k, y + z/x = k et z + x/y = k. Q1 Démontrer qu’on sait calculer la ...
La variable x étant exprimée en radians (rd), déterminer le plus grand des deux termes : Q1 : , sin(x) + cos(x) pour x =7 rd Q2 : 1, cos(x) – sin(x) pour x = 11 rd Q3 : – 2, tan(x) + cot(x) pour ...
Q1 Déterminer le plus petit entier qui a exactement 2020 diviseurs entiers positifs. Q2 Déterminer le plus petit entier qui au moins 2020 diviseurs entiers positifs.
Jean Moreau de Saint Martin,Claude ...
p et q sont deux nombres premiers distincts tels que p + 2q, 5p + q et 6p + 3q sont des carrés parfaits. Recenser tous les couples d’entiers (a,b) strictement positifs tels que ap + bq sont des carrés ...
Problème proposé par Raymond Bloch
S est la suite des fractions 1/2, 1/5, 1/8, 1/11, 1/14,…dont le numérateur est 1 et le dénominateur un entier positif congru à 2, modulo 3. Q1 Déterminer le ...
Démontrer que tout nombre entier strictement positif peut s’écrire comme la différence de deux entiers strictement positifs qui ont le même nombre de facteurs premiers. Nota:le dénombrement des facteurs ...
Diophante a reçu d’un lecteur fidèle un problème d’arithmétique destiné à être diffusé sur le site diophante.fr mais une tache d’encre a rendu illisible l’une des principales données de l’énoncé : « ...
Pour quelles valeurs de l’entier n positif , les cinq expressions suivantes donnent-elles des nombres premiers : n2020 + 4, n2021 + n2020 + 1, n4040 + n3030 +n2020 + 4, n2020 +n1515 + n505 + 1 et n7070+ ...
Par convention la partie fractionnaire d’un nombre réel x, notée , est la différence entre ce nombre et sa partie entière par défaut. C’est un réel positif ou nul strictement inférieur à 1. Problème ...
Problème proposé par Bernard Vignes Q1 Soit deux nombres réels a et b tels que a³ – 3a² + 5a – 27 = 0 et b³ – 3b² + 5b + 21 = 0. Calculer a + b. Q2 Soient deux nombres réels a et b tels que a³ – 15a² ...
Les dimensions des seize cases rectangulaires de la grille ci-dessus sont toutes des nombres entiers. S étant l’aire de la case du coin supérieur gauche, on a inscrit les aires de sept autres cases ...
Zig a choisi vingt nombres réels positifs xi (i = 1 à 20) dont la somme est égale à 85 et la somme de leurs inverses est égale à 24 puis il calcule S = = somme de toutes les fractions de la forme ...
Problème proposé par Bernard Vignes Démontrer que l’on sait trouver une matrice C telle que C2 = A2021+ B2021
, Maurice Bauval,Daniel Collignon,Maxime Cuenot,Jean Moreau de Saint Martin,Pierre ...
A- Le classique parmi les classiques [* à la main] Avec les quatre opérations élémentaires +, - , * ,/ et des parenthèses mises en tant que de besoin,à l'exclusion de tout autre symbole tel que exposant,racine ...
Trois mois consécutifs ont exactement 4 samedis chacun. Quand est-ce possible ?
Problème paru dans La Jaune et la Rouge d'octobre 2020
solution
Quel nombre est à la fois égal à ab et à ba, a et b étant deux nombres entiers différents ?
Problème proposé par Olivier Cahen, paru dans La Jaune et la Rouge de novembre 2020
...
Déterminez huit entiers à 3 chiffres chacun, un par ligne du tableau ci-contre de sorte que le produit des chiffres de chacun d’eux figure en quatrième colonne et les produits respectifs des chiffres ...
Problème proposé par Michel Lafond Q1 Le triplet Ces trois entiers positifs distincts (a < b < c) ont les caractéristiques suivantes: 1) chacun a 6 chiffres, 2) chacun a 8 diviseurs, 3) ...
Q1 Existe-t-il une progression arithmétique (PA) de 11 entiers positifs tels que les sommes des chiffres de chacun d’eux en représentation décimale forment aussi une progression arithmétique ? Q2 Même ...
Déterminer tous les entiers n, 1 < n ≤ 2021, tels que la moyenne arithmétique et l’écart-type de toute suite de n entiers consécutifs positifs sont des entiers.
Jean Moreau de Saint ...
Problème proposé par Michel Lafond Q₁ Trouver deux 4-uples d’entiers positifs tous distincts (a,b,c,d) et (w,x,y,z) de sorte que a,b,c,d sont de manière unique les plus petits communs multiples des ...
Problème proposé par Bernard Vignes Trouver deux entiers strictement positifs a et b tels que la somme a² + b³ est un entier puissance 4 et la somme a⁴ + b⁶ est un entier puissance 7. Jean ...
On multiplie 59999 par le nombre écrit avec 397 chiffres 1. Quelle est la somme des chiffres du produit ?
Problème inspiré par M.D. Indjoudjian, paru dans La Jaune et la Rouge ...
Problème proposé par Michel Lafond Sans l’aide d’une calculette ou d’un quelconque automate, trouver Q₁ : deux entiers positifs a₁ et b₁ tels que la fraction irréductible a₁/b₁ est comprise entre 9/22 ...
Problème proposé par Anne Bauval Soient a,b,c trois nombres réels strictement positifs. Démontrer l’inégalité suivante :
Avec des approches différentes Jean Moreau de Saint Martin,Pierre ...
G1 - a et b étant deux entiers distincts > 1, démontrer que l’expression dans laquelle il y a une infinité de radicaux im, 2) L = 2021 G2 - On considère l’expression ...
128.
A2848. IGV
(A. Arithmetique et algèbre/A2. Algèbre élémentaire)
Problème proposé par Michel Lafond Il s’agit de calculer trois Intégrales de préférence à Grande Vitesse pour éviter de se perdre dans de longs calculs. 1) calculer l’intégrale définie sur l’intervalle ...
Trouver un entier m positif, si possible le plus petit, auquel on sait associer un entier n distinct de m tel que n + k divise m + k pour toute valeur entière de k comprise entre 0 et 23 (bornes ...
Déterminer le produit des solutions réelles de l’équation
Par ordre alphabétiqueDavid Amar,Anne Bauval,Maurice Bauval,Daniel Collignon,David Draï,Thérèse Eveilleau,Francesco Franzosi,Marc ...
Démontrer que quel que soit l’entier k ≥1, on sait trouver deux entiers a et b strictement positifs de k chiffres l’un et l’autre tels que l’entier n obtenu par concaténation de a et de b séparés par ...
Le 1er janvier dernier, Zig a fabriqué un calendrier circulaire selon la maquette ci-contre. Tous les jours de l’année 2021 sont inscrits dans des cases adjacentes selon l’ordre chronologique et ...
Problème proposé par D.Indjoudjian
Zig dispose d’une calculette de marque déposée @Méphisto dont le clavier comporte trois touches qui permettent d’obtenir à partir d’un entier quelconque n strictement ...
Problème proposé par Bernard Vignes
Combien existe-t-il de carrés parfaits qui contiennent exclusivement Q1 des chiffres impairs? Q2 des chiffres pairs distincts de 0 ?
Pierre Henri Palmade, ...
Problème proposé par Bernard Vignes Zig dispose d’une belle collection de N pierres précieuses de poids tous différents. Après les avoir classées par ordre croissant de poids, il les répartit en quatre ...
Problème proposé par Raymond Bloch Alice,Bernard et Caroline disposent de grilles carrées de dimensions respectives 49 x 49,64 x 64 et 100 x 100 dont toutes les cases contiennent un signe « + ...
Quelle est la première séquence de dix nombres entiers consécutifs dont le premier est divisible par 10, le suivant par 9, le suivant par 8, le suivant par 7, le suivant par 6, le suivant par ...
Déterminer six entiers distincts strictement positifs de somme minimale tels que le produit de leurs factorielles est un carré parfait. Pour les plus courageux : pour tout entier k ≥ 2, sait-on trouver ...
Zig et Puce viennent de jouer N parties dans un tournoi de morpion, chacune d’elles s’étant toujours terminée par la victoire de l’un d’eux et l’attribution d’un point au vainqueur. A cinq moments ...
Zig choisit un entier k ≥ 2 et demande à Puce de trouver le plus petit entier nk de k chiffres,non divisible par 10, qui additionné à l’entier obtenu en inversant l’ordre des chiffres de nk donne un ...
Un entier strictement positif est dit « économe » si sa factorisation canonique(1) utilise un nombre de chiffres strictement plus petit que l’entier lui-même. Par exemple, l’entier ...
Problème proposé par Bernard Vignes Trouver toutes les paires de chiffres (a,b),1≤ a,b ≤ 9, tels que pour tout entier n ≥ 1, il existe un nombre An dont la représentation décimale contient exclusivement ...
On désigne par S(x) la somme des chiffres d’un entier positif x en représentation décimale. Pour tout x, on s’intéresse aux ratios r2(x) = S(x)/S(2x) et r3(x)= S(x)/S(3x) Q1 Prouver que r2(x) ...
On considère les 22022 expressions de la forme où devant chacun des 2022 radicaux on peut avoir soit le signe « + » soit le signe « ‒ ». , Démontrer que leur produit est un carré parfait. ...
Soient deux nombres réels x et y strictement positifs. A l’aide de y, on peut effectuer l’une des opérations suivantes sur x: - lui ajouter y et x devient x + y, - lui soustraire y et x devient ...
Problème proposé par Kaustuv Sengupta 5 billes de plomb de poids différents sont pesées deux par deux. Les dix pesées font apparaître neuf résultats distincts : 52, 56, 60, 68, 72, 76, 80, 84, ...
On recherche les solutions en x réels positifs des neuf équations de la forme(1) : ...
Problème proposé par Bernard Vignes Déterminer le plus petit entier n plus grand que 1 tel que la moyenne quadratique(1) des n premiers entiers positifs est un entier. (1) Nota : La moyenne quadratique ...
Afin de sortir des sentiers battus des équations polynomiales, voici deux équations que l’on peut qualifier d’exotiques :
Ex1 Soit l’équation }}}} = x dans laquelle x est la variable réelle inconnue, ...
Pour tout entier n > 1, on désigne par f(n) le produit de tous les diviseurs positifs de n qui lui sont strictement inférieurs. On recherche les points fixes de f, c'est-à-dire les entiers > 1 ...
Problème proposé par Bernard Vignes Avant de faire ses courses alimentaires, Zig constate que son porte-monnaie contient exclusivement les cinq pièces de valeurs faciales : 10 centimes, ...
Problème proposé par Michel Le Claire (lauréat du prix Affaire de Logique 2022) On raconte que l’abbé Taunière a découvert un trésor dans la crypte rectangulaire de son église, sous les rangées de ...
Proposer deux fonctions a(x) et b(x) non constantes telles que a(2023) et (2023) sont des nombres irrationnels positifs et a(2023)b(2023) = 2023. Exprimer a(2023) et b(2023) avec six décimales ...
Problème proposé par Bernard Vignes Zig fait installer à l’intérieur d’un rectangle ABCD de longueur L et de largeur l, deux piscines circulaires (Γ1) et (Γ2) de rayons r1 et r2 tangentes entre ...
Problème proposé par Bruno Langlois Tout le monde a noté que :2023 = (2 + 0 + 2 + 3)×(22+ 02+ 22+ 32)2 Trouver tous les entiers naturels qui vérifient la même propriété que 2023.
Pierre Leteurtre, ...
Problème proposé par Pierre Jullien Soit la fraction f(n) = 3(n-1)/(n+1) pour n entier et D l'ensemble des entiers p tels que f(p) est décimal. Pour un décimal non nul, on note g(d) l'entier constitué ...
Problème proposé par Bernard Vignes Matthieu et Mathilde et leurs trois enfants Matthias, Matthys et Mathurine la petite dernière font régulièrement du jogging dans la forêt de la Matte sur ...
On considère trois nombres réels x, y et z distincts de 0 tels que x < y < z. Démontrer que la plus petite des six différences y – x, z – x, z – y, abs(1/x – 1/y), abs(1/y – 1/z) et abs(1/x – ...
Problème proposé par Kaustuv Sengupta Existe-t-il ou non une solution en x et y entiers positifs de l'équation ci-dessous : 16(x3 + y3)+ 12(x2 +y2)+ 3(x + y ) = 2 138 156 388? Justifiez votre réponse ...
Zig remplit sur le tableau noir sept colonnes de nombres entiers. La première colonne contient une progression arithmétique de plus de deux termes,strictement croissante lue de haut en bas et aucun ...
Diophante écrit au tableau l’entier 7 et un nombre réel x > 1. A chaque étape, Zig choisit un nombre non nul déjà écrit au tableau et écrit son inverse ou bien choisit deux nombres pas nécessairement ...
Problème proposé par Kaustuv Sengupta Est-il vrai que pout tout entier n ≥ 2, l’entierest divisible par 6 ? Nota : ⌊x⌋ désigne la partie entière par défaut de x. Par exemple ⌊3,905⌋ = 3 et ⌊‒ 2,37 ...
Problème proposé par Bernard Vignes Zig a une cuve qui est équipée de trois robinets R1,R2 et R3 dont les débits respectifs en décalitres par minute sont des entiers distincts strictement inférieurs ...
Problème proposé par Raymond Bloch Dans tout nombre entier de sept chiffres, prouver qu’il est possible d’en retirer trois de sorte que le nombre formé des quatre chiffres restants soit bi-divisible ...
Problème proposé par Bernard Vignes Puce a effacé les cinq chiffres a,b,c,d,e de l’entier ci-après qui est la factorielle d’un entier n. Aidez Zig à déterminer n et les cinq chiffres (sans l’aide ...
Problème proposé par Kaustuv Sengupta Lorsque Zig a converti une température exprimée en degrés Celsius en degrés Fahrenheit à partir de la formule F= 9C/5 + 32, pour C = 275°, il a obtenu F = 527°. ...
Q1 Soit le polynôme P(n) = n17 + n + 1 défini pour tout entier n. Déterminer les valeurs de n > 1 pour lesquelles P(n) est un nombre premier. Q2 Trouver le plus petit nombre premier p1 dont la ...
Recenser les paires d’entiers positifs (n,p) avec n inférieur ou égal à 2023 et p nombre premier tels que : n modulo p + n modulo 2p + n modulo 3p + n modulo 4p + n modulo 5p + n modulo ...
Tintin et Boule accompagnés de leurs chiens Milou et Bill se promènent à pied sur une longue allée rectiligne, à la rencontre l’un de l’autre à des vitesses constantes vt et vb. Dès le début de la ...
Zig établit dans un ordre strictement croissant la liste des fractions rationnelles irréductibles de la forme r = a/b avec a et b entiers, a > b > 1, PGCD(a,b) = 1, telles que ...
On considère l’équation diophantienne xx-y = yx+y dans laquelle x et y sont deux entiers strictement positifs tels que y ≤ x. Q₁ Déterminer tous les couples (x,y) qui satisfont cette équation et dans ...
Problème proposé par Raymond Bloch Un parallélépipède rectangle ABCDEFGH est formé en accolant face contre face des cubes de dimension unité. Quand on regarde les seules faces adjacentes ABCD,ADEF ...
Problème proposé par Raymond Bloch Léa a divisé l’entier naturel n par l’entier naturel d < 150. La séquence de chiffres 2024 est apparue quelque part après la virgule dans la représentation décimale ...
Problème proposé par Kaustuv Sengupta Deux coureurs partent au même instant des coins opposés d'un terrain carré de 3km de côté et courent autour du bord à des vitesses distinctes v1 et v2 qui s’expriment ...
Les PGCD de cinq entiers strictement positifs pris deux par deux sont les entiers 6, 2, 4, 3, 8, 5, 7, p, q, r écrits dans un ordre quelconque. Déterminer la valeur minimale s0 de s = p + q + r. Pour ...
Q1 Démontrer qu’il existe un seul couple de nombres premiers distincts p et q tels que les quatre entiers p – q, 2p – 3q, 4p – 5q et 18p – 19q sont des carrés parfaits. Q2 Démontrer qu’il existe ...
Problème proposé par Bernard Vignes Pour un nombre premier p > 2 et un entier k ≥ 0 fixés à l’avance, on recherche le plus petit entier naturel n(p,k) tel que la somme des chiffres de n(p,k) et ...
La tortue défie le lièvre dans une course organisée avec deux banderoles, la première à 3 kilomètres du départ et la deuxième à 5 kilomètres du départ. Les distances L(t) et T(t) parcourues en ...
Problème proposé par Bernard Vignes Soient deux entiers n et d tels que 1 < n < d avec PGCD(n,d) = 1. Q1 Prouver qu’on peut toujours exprimer la fraction n/d comme la somme d’au plus n fractions ...
Prouver qu’il existe un nombre composé(1) de 2024 chiffres tel que si l’on remplace ses trois derniers chiffres par trois chiffres quelconques, le nombre résultant est toujours composé. Pour les plus ...
Zig, Puce et Diophante décident de jouer à la bataille(1) avec un jeu de 32 cartes. Ils conviennent que le perdant d’une partie laisse sa place au troisième pour la partie suivante. En fin d’après-midi ...
Pour tout entier s ≥ 66, on considère toutes les suites Si (i = 1,2,…k) constituées de 11 entiers distincts strictement positifs dont la somme est égale à s et le produit est égal à pi. Q1 Soit s = ...
Deux suites d’entiers strictement positifs dont le premier terme est égal à 1 sont construites de la manière suivante :
1ère suite : le kième terme ak est égal à ak-1 – 2 si ak-1 – 2 ne figure ...
Sur un segment OA de longueur 100 cm, on trace tous les points i = 1,2,3.... d’abscisse xi = 100 / i. Le premier point est donc en A, le suivant est au milieu de OA,etc... On dispose ...
A la Foire au Trône, Zig est attiré par l’enseigne « On gagne à tous les coups » du stand du marchand de confiseries.... Le forain partage un sachet contenant 2013 pralines en cinq tas distincts et ...
Zig et Puce choisissent à tour de rôle à partir de la gauche les chiffres a,b,c,d,e,f tous distincts d’un nombre entier n de 6 chiffres avec a ? 1. Zig est le vainqueur si n est un nombre ...
On colorie avec quatre couleurs distinctes les points des côtés d’un triangle rectangle isocèle dont les côtés de l’angle droit sont de longueur unité. Déterminer la plus petite distance possible ...
Il y a sur une table deux piles qui contiennent respectivement 2014 et 2015 pièces de monnaie. Q1 Deux opérations sont permises : 1) enlever le même nombre de pièces de chaque pile, 2) ...
On considère deux suites d’entiers naturels positifs constituées l’une et l’autre du même nombre de termes: S1 de terme général uk et S2 de terme général vk définies de la manière suivante ...
Problème proposé par Augustin Genoud Le menuisier Romain possède un grand nombre de pièces en bois ayant la forme de parallélépipèdes rectangles dont les mesures sont des nombres entiers de décimètres. ...
D'après une proposition de Raymond Bloch Cette étape qui relie les villes A à B comporte trois types de tronçons: terrain plat, terrain vallonné avec pente moyenne inférieure à 5% et terrain accidenté ...
Problème proposé par Raymond Bloch Un entier de k chiffres (2 ≤ k ≤10) est beau s’il comporte k chiffres distincts sans commencer par 0 et si toute paire de chiffres consécutifs a un produit qui se ...
Zig a écrit dans quatre cadres différents quatre phrases qui se terminent toutes par un nombre entier positif strictement supérieur à 1. Puce a effacé ces quatre nombres. Retrouvez les.
Par ...
On trace 29 intervalles de longueurs finies sur une même droite avec des chevauchements possibles de certains d'entre eux. On désigne par I le plus petit intervalle fermé qui les contient tous. Si ...
Problème proposé par Augustin Genoud Q1 Quatre euros identiques sont alignés côte à côte sur un support horizontal. La pièce de gauche va rouler sans glisser par dessus les autres pour venir se placer ...
Soit E un ensemble de 13 entiers strictement positifs distincts. Pris deux à deux ils sont relativement premiers entre eux. La différence entre le plus grand terme et le plus petit terme prend la plus ...
Problème proposé par Pierre Jullien Soit un triangle ABC dont les dimensions des côtés AB = c, AC = b et BC = a sont classées dans l'ordre croissant: c ≤ b ≤ a avec a < b + c. L'indice d'inégalité ...
Pour tout entier k ≥ 2 fixé à l'avance, on considère la suite S(k) strictement croissante d'entiers dont le premier terme est égal à 1, telle que si n appartient à S(k), l'entier m = kn en est ...
Problème proposé par Raymond Bloch Pour quelles valeurs de l'entier n peut-on placer les 2n entiers naturels 1,2,3,...,2n le long de la circonférence d'un cercle dit "vertueux" de sorte que n ...
Problème proposé par Raymond Bloch Un club comporte n membres M1, M2,...Mn. Certains, les menteurs, mentent toujours. Les autres, les purs, disent toujours la vérité. Un journaliste questionne chaque ...
