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Problèmes par thèmes A. Arithmétique et algèbre A4. Equations diophantiennes A4941. Le millésime pour objectif commun
Problèmes par thèmes A. Arithmétique et algèbre A4. Equations diophantiennes A4941. Le millésime pour objectif commun
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| A4941. Le millésime pour objectif commun |
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| A4. Equations diophantiennes |
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Problème proposé par Raymond Bloch
Alice,Bernard et Caroline disposent de grilles carrées de dimensions respectives 49 x 49,64 x 64 et 100 x 100 dont toutes les cases contiennent un signe « + ». La Loi autorise chacun d’eux à inverser les signes de toutes les cases soit d’une même ligne soit d’une même colonne, les « + » devenant des « ‒ » et les « ‒ » devenant des « + ». La Loi peut être appliquée autant de fois que les trois amis le souhaitent et à chaque tour chacun d'eux fait le décompte des signes « ‒ » qui sont dans la grille. Q1 Démontrer qu’un seul des trois amis peut obtenir un nombre total de 2022 signes « ‒ ». Q2 Déterminer le plus petit millésime M postérieur à 2022 que les trois amis peuvent simultanément obtenir. Ce problème a donné lieu à deux interprétations bien distinctes: - le nombre N(i,j) des signes "moins" est le cumul des signes "moins" obtenus à chaque étape pour les i + j inversions réalisées sur i lignes distinctes et j colonnes distinctes, ce qui donne N(i,j) = n*(i+j) - i*j avec une grille carrée de dimension n.Dans ce cas on a les solutions de  Daniel Collignon,Pierre Henri Palmade,Louis Rogliano,Nicolas Petroff et Raymond Bloch- le nombre N(i,j) de signes "moins" est obtenu en photographiant la grille à l'issue de i + j inversions sans calculer à chacune des inversions le nombre des nouveaux signes "moins" qui apparaissent. Dès lors, N(i,j) = n*(i+j) - 2*i*j.La première question a une solution mais la second n'en a pas comme le montrent les réponses de Jean Moreau de Saint Martin et Dominique Chesneau |
