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Plus de 3000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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A397. Nombres économes et dispendieux Imprimer Envoyer
A3. Nombres remarquables

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Un entier strictement positif est dit « économe » si sa factorisation canonique(1) utilise un nombre de chiffres strictement plus petit que l’entier lui-même.
Par exemple, l’entier 1536 = 3*29 est économe avec les trois chiffres de sa factorisation (2,3 et 9) moins nombreux que le quatre chiffres (1,3,5,6) qui le composent. De même l’entier 3125 = 55 est économe avec les deux chiffres (5 et l’exposant 5) de sa factorisation à comparer aux quatre chiffres qui le composent(1,2,3,5).
A l‘inverse, l’entier est dit « dispendieux » si le nombre de chiffres de la factorisation est strictement plus grand que son propre nombre de chiffres.
Par exemple,l’entier 216 = 23.33 est dispendieux car les quatre chiffres de la factorisation (2 et trois fois 3) sont plus nombreux que les trois chiffres (1,2,6) qui le composent.

Q₁ Déterminer les dix plus petits entiers économes et vérifier que quatre d’entre eux ont pour somme 2022 (solution unique).
Pour les plus courageux : trouver deux entiers consécutifs économes.

Q₂ Pour tout entier dispendieux N, on désigne par r, coefficient de cherté, le rapport du nombre de chiffres distincts de la factorisation de N au nombre de chiffres distincts de N.
Par exemple 2022 = 2*3*337 est un entier dispendieux et son coefficient de cherté est 3/2.
Trouver un entier dispendieux de quatre chiffres distincts dont le coefficient de cherté est égal à 2.
Prouver que pour r prenant successivement les neuf valeurs 2,3,4,5,6,7,8,9,10 on sait trouver au moins un entier dispendieux.

 

(1) Nota : la factorisation canonique d'un entier est son écriture comme produit de puissances de nombres premiers. Exemples : 96 = 25.3, 1350 = 2.33.52

 

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