Problème proposé par Bernard Vignes
                                 
Zig fait installer à l’intérieur d’un rectangle ABCD  de longueur L et de largeur l, deux piscines circulaires (Γ₁) et (Γ₂) de rayons r₁ et r₂ tangentes entre elles en un point T, la première tangente aux côtés AB et AD, la seconde aux côtés CB et CD.




















Un plongeoir assimilé à un segment PQ de longueur p passant par T et parallèle au côté AB repose sur les bords des deux piscines respectivement en P,T et Q (voir figure ci-dessus).
Q₁Prouver que la longueur du plongeoir est indépendante du choix des rayons r₁ et r₂ et peut s'exprimer directement en fonction des dimensions du rectangle.
Qâ‚‚ Sachant que la surface de la piscine (Γ₂) est quatre fois plus grande que celle de la piscine (Γ₁), déterminer les dimensions L,l,p,r₁ et r₂  qui sont toutes des entiers exprimés en nombre de mètres ≤ 50.