Grille proposée par Daniel Collignon Il s’agit de remplir cette grille selon les règles habituelles avec les chiffres de 1 à 9 tous différents, qui ne se trouvent jamais plus d’une fois sur une ...
Dans cet album de famille, il y a 31 photos. Sur chacune d’elles il y a : - trois femmes, celle de droite et celle de gauche étant respectivement sœur et fille de celle qui se tient au milieu.Les ...
Dans cette salle S qui réunit trente six personnes, toute personne connaît(1) exactement le même nombre k de participants. Dans toute paire de personnes qui se connaissent, on constate que l’une et ...
Problème proposé par Michel Lafond On appelle carré magique décimal [CMD] d’ordre n un carré de n x n cases contenant les entiers de 1 à n2 et tel que : Les sommes des n lignes, des n colonnes et des ...
Vous devez réparer une vasque située au centre d’un bassin d’eau circulaire de 15 mètres de diamètre. Vous disposez de quatre planches de 10 mètres de long chacune. Pouvez vous accéder au centre du ...
Problème proposé par Jacques Boudier Q1 Démontrer que l’on sait trouver au moins un entier N strictement positif qui est la somme de deux carrés parfaits d'au moins quatre manières différentes, ...
Diophante donne à Zig le nombre entier z > 4 et à Puce le nombre entier p > 4 puis il demande à chacun d’eux de tracer sur le recto puis sur le verso d’une feuille de papier respectivement z ...
Problème proposé par Jean Nicot Zig a suivi en partie un sentier rectiligne très long bordant un très grand bois. Il s’en écarte perpendiculairement sur 500 mètres, jusqu’à un point A où il repère un ...
Problème proposé par Dominique Chesneau On considère un quadrillage carré aussi grand que l’on veut posé au sommet d’une montagne et orienté au nord. Sur chaque case est dessinée une flèche pointant ...
N attractions sont disséminées dans un vaste parc de loisirs. Le réseau de voies piétonnes qui les relie entre elles est conçu de sorte que pour aller de n’importe quelle attraction n°i à une ...
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C252. Hypersudoku
(Problèmes par Thèmes/C. Cryptarithmes, sudoku et opérations codées)
La grille ci-après contient 18 entrées. Si l’on essaie de la résoudre selon les règles classiques des grilles de Sudoku, elle comporte 1699 solutions. C’est pourquoi une contrainte supplémentaire a ...
Grille proposée par Kaustuv Sengupta Ce problème de nombres croisés se compose de dix nombres binaires à 5 chiffres placés dans une grille 5 x 5, chaque ligne et chaque colonne ayant un nombre binaire ...
Trouver une suite de mouvements des cavaliers blancs et noirs telle que les cavaliers blancs s’installent à la place des cavaliers noirs et les cavaliers noirs à la place des cavaliers blancs. Nota ...
Problème proposé par Dominique Souder ...
Problème proposé par Kaustuv Sengupta La grille 7x7 ci-après contient 36 chiffres de 1 à 6, chacun d’eux figurant six fois.
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Problème proposé par Gilles Armand Préambule Soient trois îles représentées par trois sommets A, B, . Elles sont reliées par P, Q, R ponts qui sont autant d’arêtes reliant deux sommets comme ...
Problème proposé par Dominique Roux Soient ABC un triangle, O le centre de son cercle circonscrit, et ? un cercle rayon ? variable et de centre O.On désigne par A’B’C’ le triangle tangentiel de ABC ...
On trace deux droites perpendiculaires qui passent par l’orthocentre d’un triangle ABC sans être parallèles à l’un quelconque des côtés du triangle. Elles déterminent trois segments sur les droites ...
On suppose que l’aire de n’importe quel triangle formé avec trois points choisis parmi cinq points situés dans un même plan est au moins égale à 2. Démontrer qu’il existe un triangle dont l’aire est ...
Problème proposé par Dominique Roux On part de deux carrés ABCD et AB'C'D' de centres O et O', orientés dans le même sens. On construit le milieu G de OO’, les milieux B" et D" de BB' et DD' ainsi ...
Combien y a-t-il dans le plan de quadrilatères non superposables y compris par retournement, dont les quatre côtés et la distance qui sépare les milieux des deux diagonales ont pour dimensions pas ...
Problème proposé par Dominique Roux On donne trois points A,B et C dans le plan et pour tout point M on construit les orthocentres A', B', C' des triangles respectifs MBC, MCA, MAB. Montrer que les ...
Problème proposé par Michel Lafond Montrer qu'on peut partager un carré de dimension entière en 2011 carrés plus petits et de dimensions entières toutes différentes.
Jean Moreau de Saint Martin ...
Dans un triangle ABC ayant O pour centre du cercle circonscrit et H pour orthocentre, les angles aux sommets A,B et C valent respectivement 50°,70° et 60°. Sur le côté AC, on trace le point D ...
Sur une vieille tablette en bois, on trouve la trace d’un cercle (C) de diamètre AB. A partir d’un point P sur AB,ont été successivement dessinés : - le cercle (C’) de diamètre AP - le triangle isocèle ...
Problème proposé par Michel Lafond
Existe-t-il un polyèdre convexe dont toutes les faces sont des polygones réguliers et qui contient au moins un triangle, un carré, un pentagone et un hexagone ? ...
Problème proposé par Dominique Roux On part de deux carrés ABCD et AB'C'D' de centres O et O', orientés dans le même sens. On construit le milieu G de OO’, les milieux B" et D" de BB' et DD' ainsi ...
Problème proposé par Michel Lafond On dit que P est un polygone diophantien de diamètre D s’il est convexe, si tous ses côtés sont mesurés par des entiers positifs, et s’il est inscrit dans un cercle ...
Note liminaire : en faisant appel à des approches différentes (géométrie classique, géométrie projective, complexes, géométrie analytique,etc...),le lecteur est invité à donner plusieurs solutions ...
Problème proposé par Dominique Roux On donne trois points A,B et C dans le plan et pour tout point M on construit les orthocentres A', B', C' des triangles respectifs MBC, MCA, MAB. Montrer que si ...
Problème proposée par Michel Lafond Démontrer qu’on ne peut pas recouvrir entièrement une table carrée à l’aide de deux nappes carrées strictement plus petites.
Pierre Henri Palmade,Jean Nicot ...
1er angle droit Soit un triangle ABC dont O est le centre du cercle circonscrit. Le cercle tangent en A à AB et passant par C rencontre en un deuxième point P le cercle tangent en A à AC et passant ...
Problème proposé par Claudio Baiocchi On dispose d’une feuille de papier sur laquelle ont été tracés un cercle avec son centre O. On donne trois points quelconques A,B et C qui ne sont pas sur une ...
Problème proposé par Yves Foussard Tracer à la règle seule : 1) la tangente à un cercle donné passant par un point du cercle. 2) la tangente à ce cercle passant par un point extérieur au cercle. ...
Problème proposé par Pierre Jullien A partir d’une feuille de format A4, construire n triangles équilatéraux de même dimension la plus grande possible qui ont des intérieurs disjoints entre eux mais ...
Problème proposé par Dominique Roux On donne dans le plan 4 points A,B,C,D. On prend les symétriques d'une droite variable L passant par D, par rapport à chacun des 3 côtés du triangle ABC. On obtient ...
Dans un triangle ABC dont les points O,I et H sont respectivement le centre du cercle circonscrit,le centre du cercle inscrit et l’orthocentre, les cercles exinscrits touchent les côtés BC,CA et AB ...
Problème proposé par Dominique Roux On donne dans le plan 4 points A,B,C,D. On prend les symétriques d'une droite variable L passant par D, par rapport à chacun des 3 côtés du triangle ABC. On obtient ...
Problème proposé par Dominique Roux Soit un triangle ABC rectangle en C.Soit X un point variable sur la hauteur issue de C. On appelle droites vertes les deux droites joignant A aux points communs ...
Problème proposé par Dominique Roux On reprend l’énoncé et les notations de D1944 et de D1945. Q1 Démontrer que la conique C est tangente en O à la droite d’Euler du triangle ABC Q2 Démontrer que ...
Problème proposé par Dominique Roux On reprend l’énoncé et les notations de D1944. Démontrer que la conique Co passe par : Q? le centre O du cercle circonscrit au triangle ABC Q? l’orthocentre H’ ...
Q1*** - Six points A,B,C,D,E et F dans l’espace sont tels que les segments AB,BC et CD sont respectivement parallèles aux segments DE,EF et FA. Par ailleurs la distance AB est strictement supérieure ...
Problème proposé par Dominique Roux On donne dans le plan 4 points A, B, C, D. On prend les symétriques d'une droite variable L passant par D, par rapport à chacun des 3 côtés du triangle ABC. Comment ...
Problème proposé par Dominique Roux On donne dans le plan 4 points A, B, C, D. On prend les symétriques d'une droite variable L passant par D, par rapport à chacun des 3 côtés du triangle ABC.On obtient ...
Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin Sur une sphère de rayon 1, on a tracé quatre cercles tangents deux à deux. Etablir la relation qui lie leurs rayons.
Jean Moreau de Saint ...
Démontrer que pour tout entier n > 12, on sait trouver les dimensions entières a et b d’un rectangle (R) dont la surface est strictement supérieure à n sans que l’on puisse découper dans ce rectangle ...
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D474. Euromaths
(D. Géometrie/D4. Pavage du plan et de l'espace - Dissection)
Problème proposé par Michèle Raffault
Prouver que l’on peut placer à l’intérieur d’un cercle de rayon 18 cm sans recouvrement un exemplaire de chacun des 7 billets libellés en €. Les dimensions ...
Problème proposé par Michel Lafond Peut-on mettre un parallélépipède rectangle de dimensions 4 x 5 x 18 dans le cube de côté 15 ? Paul Voyer,Maurice Bauval,Pierre Jullien,Jean Moreau de Saint Martin,Patrick ...
Problème proposé par Dominique Roux Démontrer que dans tout triangle ABC où l’angle en A n’est ni le plus grand ni le plus petit des trois angles, le centre du cercle inscrit est à égale distance ...
Problème proposé par Pierre Jullien D170-Le triangle de Sierpinski -énoncé
Paul Voyer,Louis Rogliano,Pierre Henri Palmade,François Bulot et son auteur Pierre Jullien ont résolu le problème. ...
Problème proposé par Louis Rogliano Q1 : Tracer à la règle et au compas un triangle équilatéral dont les trois sommets se trouvent respectivement sur chacun des trois côtés d’un triangle ABC quelconque. ...
Problème proposé par Michel Lafond Partager un gâteau circulaire de 19 cm de rayon en 13 parts pas nécessairement égales entre elles, chacune ayant un diamètre inférieur à 13 cm. Nota : Le diamètre ...
Q1 : A partir des sommets d’un triangle ABC, on mène les trois droites qui partagent le périmètre du triangle en deux parties de même longueur. Démontrer qu’elles sont concourantes en un point J. ...
Problème proposé par Dominique Roux On donne un point F intérieur à un cercle (O) de centre O. Une droite variable passant par F coupe le cercle (O) en deux points M et N. Le cercle de diamètre [FM] ...
J’affirme que j’ai construit deux polyèdres convexes : l’un dans lequel toutes les faces ont six arêtes ou plus et l’autre dans lequel les nombres d’arêtes qui partent de chaque sommet sont tous distincts. ...
Un point P du cercle circonscrit à un triangle ABC se projette respectivement sur les droites BC et AC en deux points I et J. La droite IJ coupe la droite AB en un point K. Ha et Hb sont ...
Puce trace à main-levée dans un triangle acutangle ABC les projections P,Q et R de l’orthocentre H sur les trois médianes AI,BJ et CK puis il trace les cercles circonscrits aux triangles ABP,BCQ et ...
Problème proposé par Dominique Roux On donne dans le plan 3 points A, B, C et deux droites perpendiculaires (d') et (d'') sécantes en un quatrième point D. (d') coupe les côtés respectifs du triangle ...
Problème proposé par Michel Lafond Un rectangle arithmétique (a, b) est un rectangle de a x b cases (a lignes et b colonnes) contenant (dans l’ordre de lecture) les entiers 1, 2, 3 --- a x b. On dit ...
Les deux côtés d’un triangle acutangle ABC ont pour longueur l’un 11 et l’autre 10. Le point de concours des trois céviennes qui aboutissent aux points de contact des côtés du triangle ...
Un cercle Γ1 de centre O₁ est tangent intérieurement en un point M à un cercle Γ de centre O. Soit un point O2 de la circonférence de Γ1. La demi-droite OO₂ coupe le cercle Γ en un point N. ...
Dans un triangle ABC, O est le centre du cercle circonscrit (Γ), H est l’orthocentre, D est le pied de la hauteur issue de A sur la droite (BC) et E celui de la hauteur issue de B sur la droite (AC). ...
Problème proposé par Dominique Roux
On donne 3 points A , B , C sur un cercle (O). Les tangentes à ce cercle en A , B , C forment un triangle A'B'C'. On sait que les droites AA' , BB' , CC' ont ...
Problème proposé par Dominique Roux à partir d’un énoncé de la compétition australo-britannique « The 2013 Mathematical ashes » On donne sur un cercle de centre O, 4 points fixes A,B,C,D,et sur la ...
Un triangle ABC admet (Γ) pour cercle circonscrit et (Γ1) pour cercle inscrit de centre I. Le cercle (Γ1) et le cercle (Γ2) circonscrit au triangle AIB se rencontrent aux deux points ...
Problème proposé par Dominique Roux On donne deux points A et B et un cercle (C) de centre C.Une droite variable, passant par B coupe le cercle en deux points P et Q.On étudie le lieu de chacun des ...
Problème proposé par Dominique Roux La médiatrice d'une corde MN d'un cercle coupe ce cercle en X et Y et coupe MN en Z. P étant un point du cercle (NXZ) distinct des trois points N,X et Z, la ...
Montrer qu’il est possible d’arranger une infinité de carrés de dimensions 1/2,1/3,1/4 ,1/5,... ,1/n,..à l’intérieur d’un carré de côté 5/6 sans qu’ils se chevauchent deux à deux mais que c’est impossible ...
Problème proposé par Dominique Roux On donne deux droites de l’espace D et D’, un segment AA’ se déplace de façon à ce que A reste sur D et A’ sur D’. On délimite ainsi un solide de l’espace. Calculer ...
Problème proposé par Michel Lafond On a n disques de rayons 1, 2, 3, …, n. Ces disques doivent tous être disposés dans un demi-plan de bord (D) avec les deux contraintes suivantes : Chaque disque doit ...
Problème proposé par Dominique Roux On reprend les notations de l'énoncé D1980, et l'on suppose que (L) est la tangente en O au cercle (ABC) 1) Quelle courbe décrit le point P lorsque O parcourt ...
On considère un réseau R de points à coordonnées entières dans un carré de côté n et on colorie en bleu certains des points de R de sorte que tout carré de côté k ,(1? k ? n), dont les sommets sont ...
Problème proposé par Dominique Roux On donne une ellipse de centre O dont les sommets du petit axe sont K et K'. pour tout point P du cercle de diamètre [K'K] la tangente en P à ce cercle coupe l'ellipse ...
Problème proposé par Dominique Roux On donne deux points A et C. Pour tout point B soit D sa projection orthogonale sur AC. On note I et E les centres des cercles inscrits dans les triangles ABC et ...
Problème proposé par Michel Lafond Peut-on paver le carré 2015 x 2015 avec deux sortes de pavés (disponibles à volonté) : des dominos (rectangles 1 x 2) et des triminos (rectangles 1 x 3) avec la contrainte ...
Problème proposé par Dominique Roux Montrer que parmi les 64 cercles ( Ix, Ey, Fz ) de l'énoncé D192.Des lieux peu communs (3ème épisode), il en existe 8 qui passent toujours par B. Pour chacun de ...
Soient un triangle ABC et un point P variable sur la droite BC de sorte que C est situé entre B et P et les cercles inscrits aux triangles ABP et ACP se rencontrent en deux points D et E.Montrer que ...
Problème proposé par Michel Lafond Un décagone ayant un centre de symétrie est inscrit dans un cercle. On mesure en centimètres les distances d’un point M de l’espace à sept sommets du ...
Peut-on construire un ensemble de 10 rectangles tels que chacun d’eux ne peut pas être recouvert complètement par les 9 autres, sachant qu’on a toute latitude d’utiliser ensemble tout ou partie des ...
Le cercle inscrit de centre I d’un triangle ABC touche les côtés BC,CA et AB aux points A1,B1et C1. La droite A1I coupe la médiane AA’ du triangle ABC au point P. La perpendiculaire menée de I à la ...
On prépare douze allumettes dont cinq d'entre elles ont 5 cm de longueur et les sept autres 2 cm de longueur afin de résoudre le casse-tête suivant:Construire un polyèdre pas nécessairement convexe ...
Problème proposé Michel Lafond Soient a,b et c les sommets d'un triangle équilatéral de côté égal à l'unité. On trace les cercles (Γ1),(Γ2) et (Γ3) de centres a,b et c et de rayon unité. Le point A ...
Problème proposé par Jean Moreau de Saint-Martin Dans un triangle non isocèle, la hauteur, la bissectrice intérieure et la médiane issues d’un même sommet se classent dans cet ordre par longueur croissante. ...
On donne deux triangles abc, a'b'c' d'un même plan. Les droites bc et b'c' se coupent en A ; A' est l'intersection de la parallèle à bc menée par a et de la parallèle à b'c' menée par a'. Les points ...
Problème proposé par Michel Lafond Dans le plan, on appelle orthogone un polygone (A1,A2,A3 ,....An) [An+1 = A1] tel que : • Les sommets sont deux à deux distincts. • ...
Problème proposé par Michel Lafond Le carré Cn de côté n est dit séquençable si on peut le paver entièrement et sans chevauchement avec les rectangles R1,R2, ...,Rk dont les dimensions ...
Soient G et H le centre de gravité et l'orthocentre d'un triangle acutangle ABC avec AB ≠ AC. La droite AG coupe le cercle circonscrit au triangle ABC aux points A et M. Soit N le symétrique de M par ...
Dans un cercle (Γ) on trace une corde AB de milieu M, distincte de son diamètre. Soit un point courant C de l'arc (γ) de ce cercle tel que le triangle ABC est toujours acutangle. Dans le triangle ABC,on ...
Soit un polygone régulier de 2016 côtés inscrit dans un cercle de rayon unité.Une triangulation de ce polygone consiste à le partager en 2014 triangles qui ne se recouvrent pas et dont les sommets ...
Problème proposé par Dominique Roux Trouver le côté du plus grand cube placé à l'intérieur d'un tétraèdre régulier de côté 1.
Pierre Jullien,Jean Moreau de Saint Martin,,Pierre Henri Palmade et ...
Les points A',B' et C' sont les points de contact des cercles exinscrits d'un triangle ABC avec les côtés BC,CA et AB. Démontrer que le centre du cercle circonscrit au triangle A'B'C' est sur le cercle ...
Problème proposé par Pierre-Jean Laurent Pour un point P quelconque d'un triangle acutangle ABC, on suppose seulement connues les distances PA, PB, PC aux trois sommets ainsi que les distances PA', ...
Problème proposé par Paul Voyer Zig a invité Puce et sept de ses amis à partager son gâteau d’anniversaire qui a la forme d’un disque circulaire de rayon 15 cm. Il souhaite découper de manière originale ...
Les médianes d'un triangle ABC se rencontrent au centre de gravité G. On trace les trois cercles respectivement circonscrits aux triangles passant par le milieu du segment joignant un sommet à G et ...
Soit (Γ) le cercle circonscrit à un triangle ABC acutangle. Le point P est variable sur l'arc BC qui ne contient pas le point A On trace les centres IC,IA et IB des cercles inscrits des triangles ...
Problème proposé par Jean-Louis Aymé Soit un triangle ABC dont le cercle inscrit (γ) touche les côtés BC,CA et AB respectivement aux points D,E et F. Soient M le deuxième point d'intersection de la ...
Problème proposé par Jean-Louis Aymé Dans un triangle ABC, la bissectrice intérieure de l'angle en A coupe le côté BC au point D. Les deux tangentes communes aux cercles circonscrits aux triangles ABD ...
Problème proposé par Pierre Renfer Dans un triangle ABC non isocèle on trace six points : le centre O du cercle circonscrit, le centre I du cercle inscrit, l'orthocentre H, le centre de gravité G, ...
Déterminer le nombre maximal de diagonales de même longueur dans un hexagone convexe. Donner un exemple de la configuration ainsi obtenue.
Claudio Baiocchi,Claude Felloneau,Pierre Henri Palmade,Jacques ...
Soit un triangle acutangle ABC avec AB ≠ AC qui admet (Γ) pour cercle circonscrit de centre O. Les tangentes au cercle (Γ) aux points B et C se rencontrent au point D. La droite AO coupe la droite ...
