Vous choisissez un entier naturel au hasard. La probabilité pour qu'il soit divisible par 2006 est évidemment très faible.

Trois exemples simples vont nous montrer qu'il est possible de trouver des nombres entiers divisibles par 2006 à partir de nombres choisis au hasard.

Exemple n°1

Si N est divisible par 2006, vous êtes comblé par la chance. Démontrez que si N n'est pas divisible par 2006 , vous pouvez remplacer certains des chiffres par des zéros et obtenir un nouveau nombre non nul divisible par 2006.

Exemple n°2
Vous choisissez au hasard deux nombres entiers a et b l'un et l'autre > 2006. Vous fabriquez un entier N à a+b chiffres en alignant a fois le chiffre 1 puis b fois le chiffre 0. N est alors sous la forme 111?1100?.00. Démontrez que par suppression d'un certain nombre de chiffres 1 et d'un certain nombre de chiffres 0, vous pouvez toujours obtenir un nouvel entier N' < N divisible par 2006.

Exemple n°3
Vous choisissez au hasard 11 entiers naturels positifs (i = 1 à 11). Démontrez qu'il existe 11 entiers qui prennent chacun l'une des trois valeurs ? 2 ou 0 ou 2 tels que la somme des pondérés par les soit divisible par 2006. En d'autres termes , définis sur [-2,0,2] tels que .