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Problèmes par thèmes A. Arithmétique et algèbre A1. Pot pourri A1864. Une bande de k-premiers
Problèmes par thèmes A. Arithmétique et algèbre A1. Pot pourri A1864. Une bande de k-premiers
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| A1864. Une bande de k-premiers |
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| A. Arithmetique et algèbre - A1. Pot pourri |
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Un entier est appelé par convention k-premier s’il est égal au produit de k nombres premiers distincts. Par exemple 2015 = 5*13*31 est 3-premier mais 18 = 2*3*3 ne l’est pas.
On considère quatre entiers w,x,y,z pris dans cet ordre qui ont les propriétés suivantes : 1) ils sont respectivement 1,2,3,4-premiers, 2) x est le plus grand et y est le plus petit, 3) leur produit est un carré parfait, 4) leur somme S est 5-première. Trouver la bande des cinq entiers w,x,y,z,S tels que S est la plus petite somme possible. Tous nos lecteurrs ont bien constaté qu'avec la valeur minimale de S = 2310 = 2*3*5*7*11 et à partir des cinq nombres premiers 2,3,5,29,47, il existait cinq entiers (47,1363,30,870,2310) répondant aux quatre conditions de l'énoncé. C'est la solution à laquelle avait pensé l'auteur du problème qui était convaincu, à tort, qu'elle était unique....Une fois n'est pas coutume,il existe cinq autres solutions qui font intervenir des nombres premiers > 100 avec une même somme S = 2310 et qui ont été détectées par  Jean Moreau de Saint-Martin,Philippe Laugerat,Maurice Bauval et Gilles Thomas.La solution mentionnée ci-dessus,accompagnée éventuellement d'une autre solution, a été donnée par: Pierre Henri Palmade, Raymond Bloch,Daniel Collignon,Abdelali Derias, Francesco Franzosi,Jacques Frédéric,Patrick Gordon,Marc Humery,Gaston Parrour,Marie-Christine Piquet,François Tisserand,Antoine Verroken et Paul Voyer. |
