1/ Le ballon est formé de pièces pentagonales et hexagonales, sans que plus de 3 pièces soient en contact au même point. Combien y a-t-il de pièces de chaque sorte ? Pouvez-vous en donner la raison ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre Soit un triangle ABC et une droite Δ passant par l’orthocentre H. Δa, Δb et Δc sont les droites symétriques de Δ par rapport aux droites [BC], [CA] et [AB]. Démontrer ...
Problème proposé par Pierre Renfer Soit (Γ) le cercle circonscrit d’un triangle ABC. Soient I, J, K les milieux respectifs de [BC], [CA], [AB]. Trois droites, de même direction d, passant par A, B, ...
Les points E et F sont les milieux des diagonales AC et BD d’un quadrilatère ABCD inscriptible. Démontrer que la diagonale AC est la bissectrice de l’angle BED si et seulement si ...
Problème proposé par Pierre Renfer Soit ABC un triangle. Soient E et F les points de contact du cercle inscrit avec [AC] et [AB]. Soit M le milieu de [EF]. Soit G le point de Gergonne (le point d’intersection ...
Problème proposé par Bernard Vignes On effectue une rotation d’un polygone régulier P0 de n côtés d’un angle α dans le sens horaire autour de son centre O et on obtient un polygone Pα La figure ci-après ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre Avec un total de huit segments de droite, tracez à la règle et au compas six triangles ayant deux à deux la même aire Nota : les traits de construction ne sont ...
Problème proposé par Pierre Renfer Soient ABC un triangle et H1,H2,H3 les pieds des hauteurs issues de A, B, C respectivement. Soient T1,T2,T3 les points de contact du cercle inscrit avec (BC), ...
Problème proposé par Jean-Louis Aymé 1. ABC est un triangle acutangle 2. IJK est le triangle médian 3. U est un point de (JK) 4. V est le point d'intersection de (UC) et (KI) 5. W est le ...
Ces deux solides dont les patrons sont illustrés ci-après ont l'un et l'autre quatorze faces, le premier avec huit triangles équilatéraux et six carrés et le deuxième avec huit hexagones réguliers ...
Trouver tous les triangles à côtés entiers dont l'aire est mesurée par le même nombre que le périmètre.
Problème proposé par Les Reid, paru dans La Jaune et la Rouge de novembre 2023 ...
Problème proposé par Pierre Renfer Soit ABC un triangle dont les longueurs des côtés [BC], [CA], [AB] sont notés a, b, c. Soient A1 et A2 les points à distance a de A, sur les demi-droites ...
Soit un point X sur le côté CD d’un carré ABCD avec les sommets A,B,C,D tracés dans le sens horaire. Sur le cercle de diamètre AX, on trace un point Y autre que le point D puis dans le sens anti-horaire ...
ABCD est un carré, une sécante menée par B coupe son cercle inscrit en E et F. Maximiser l'aire du triangle DEF.
Problème paru dans La Jaune et la Rouge d'août-septembre 2023 ...
Problème proposé par Pierre Jullien A l’aide d’un ruban élastique de 5 cm de largeur, on réalise cette figure remplie de pentagones réguliers.
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Soient un triangle ABC et son cercle inscrit (γ) de centre I qui touche les côtés BC,CA et AB respectivement en D,E et F. Prouver que : Q1 la polaire de l’orthocentre H du triangle BIC par rapport ...
Démontrer qu’on sait trouver un hexagone ABCDEF convexe qui a les propriétés suivantes : a) il se partage en quatre triangles adjacents ABC,ACD,ADE,AEF tels que l’aire de chacun d’eux est un multiple ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre Soit le triangle ABC. Les cercles (Γ) passant par A et tangents à la droite [BC] touchent cette droite en D et coupent les droites [AC] en E et [AB] ...
Problème proposé par Pierre Jullien Dans un pavage en étoile d’ordre 5 obtenu avec une même tuile hexagonale, les points A, B, C, D, E semblent alignés. Qu’en est-il exactement ?
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Je plie une feuille rectangulaire, amenant un coin sur le coin opposé. Les dimensions de la feuille, de même que les longueurs du pli et de la diagonale, sont des nombres entiers de centimètres. ...
Quatre points A, B, C, D sont marqués dans cet ordre sur une droite du plan. En quel point du plan se placer pour voir sous le même angle les trois segments AB, BC, CD ?
Problème ...
Problème proposé par Pierre Leteurtre Sur les côtés du triangle ABC on construit 3 triangles isocèles BCA’, CAB’ et ABC’ (1) avec les relations d’angles < BCA’ = <A’BC ...
Zig s’amuse à tracer des polygones pas nécessairement convexes mais non croisés de n côtés (n = 3,4,5,6,….) qui comportent le plus grand nombre possible d’angles internes aigus (i.e. < 90°). ...
Pour décorer l’arbre de Noël chacun de mes huit petits-enfants m’a commandé une guirlande d’étoiles en papier doré faite d’un même nombre k de polygones convexes dont la forme varie selon leurs âges ...
Dans un lot de pièces d'apparence identique, se trouvent deux pièces dont le poids diffère de celui des autres. On dispose d'une balance trébuchet permettant de dire si les poids des contenus des ...
Combien de pesées distinctes peut-on faire avec n pièces, en mettant un nombre égal de pièces dans chaque plateau de la balance ? Donnez-en une approximation pour n grand.
Problème paru dans ...
Montrer que la moyenne des carrés des termes de la nème ligne du triangle de Pascal est un nombre entier. Problème paru dans La Jaune et la Rouge de janvier 2004
solution ...
Du temps de la guerre froide le KGB dépêche un espion aux Etats-Unis pour connaître la flotte exacte du tout nouvel avion de combat des Américains. Les jours et les semaines passent et le ...
Le plus petit entier représentable de deux façons comme somme de deux cubes est 1729. Sauriez-vous en trouver un autre ? Voici une indication pour vous mettre sur la voie. 1729=123+13=103+93. ...
Reconstituez la multiplication ci-dessous, sachant qu'elle utilise seulement les chiffres 2, 3, 5 et 7. Problème proposé par Xavier Cognat, paru dans La Jaune et la Rouge d'avril 2004 ...
Comme dans le problème A10144, on appelle ``guillotiné'' d'un nombre entier le nombre obtenu en enlevant le chiffre de gauche et en le réécrivant à droite. -- Quel est le plus petit entier égal ...
Je considère l'ensemble S des nombres réels positifs dont l'écriture en base 10 utilise seulement les chiffres 0 et 7. Montrer que tout nombre réel positif est somme de 9 (au plus) éléments de S ...
J'appelle ``guillotiné'' d'un nombre entier le nombre obtenu en enlevant le chiffre de gauche et en le réécrivant à droite. Cette opération peut être répétée, donnant les guillotinés successifs, ...
Non sans hésitation, car la théorie des fractions continues n'est plus guère enseignée, je vous propose un problème qui fait appel à cette technique, en assortissant son énoncé de quelques explications ...
Vingt enfants attendent leurs grands-pères dans la cour de la maternelle. Chaque enfant a un grand-père en commun avec chacun des autres enfants. Prouver qu'un des grands-pères a au moins 14 ...
Premier épisode Un juge interroge trois suspects A, B et C. L'un est un Vrai (qui dit toujours la vérité), un autre un Faux (qui ne peut jamais dire une phrase vraie) et le troisième un Inconstant ...
Une ruche est constituée de 19 cellules hexagonales égales (voir figure). Les cellules sont numérotées de 1 à 19. Montrer qu'il y a, parmi les 42 frontières entre cellules, au moins une où ...
Au tableau sont inscrits un certain nombre de 0, de 1 et de 2. Tant qu'il subsiste des chiffres distincts, on effectue, au hasard, l'une des opérations suivantes : -- effacer un 0 et un 1, ...
Deux amis André et Bernard, tous deux parfaits logiciens, choisissent chacun un entier naturel qu'ils confient séparément à leur ami commun Christian. Celui-ci leur dit : ``En combinant vos ...
Jules et Romain tirent tour à tour d'un paquet de 32 cartes un nombre de cartes qui est 1 ou un nombre premier. Celui qui ne peut plus prendre, le paquet étant épuisé, a perdu. Jules a commencé, quel ...
Dans une variante simplifiée d'un jeu de réflexion bien connu, Jules doit deviner une combinaison de 5 couleurs choisie par Romain (sans répétition) dans un ensemble de 8 couleurs. Jules propose des ...
Un colloque réunit 25 personnes, et se déroule en ateliers de 5 personnes durant chacun une demi-journée. On veut qu'au cours de ce colloque, deux quelconques des participants aient été ensemble au ...
Jules et Romain jouent au jeu suivant : chacun à son tour, on choisit un nombre entier entre 1 et 7, et on l'ajoute au total précédent, de façon à obtenir un nombre premier. Le premier qui ...
L'épreuve consiste, pour les membres d'une équipe, à recevoir des chapeaux rouges ou jaunes. Chacun ne peut pas voir la couleur de son chapeau, mais peut voir la couleur de tous les autres. ...
Trois mathématiciens qui ont un raisonnement parfaitement logique se prêtent au jeu suivant : le meneur de jeu, qui dispose de 4 timbres jaunes et 4 timbres rouges, en colle 2 sur le front ...
Un sacristain voulait connaître l'âge de son curé, mais celui-ci n'avait jamais voulu le lui dire. Un jour le curé rencontra le sacristain et lui dit : ``Je vais vous poser un problème. Si ...
a) Etudier la suite d'entiers un définie par u1=1, un+1=un + up, où up est le premier terme de la suite qui soit au moins égal à un/2. b) J'appelle U-décomposition d'un entier N l'ensemble ua,ub,...,ui ...
On donne 650 points dans un cercle de rayon 16. Montrer qu'on peut tracer un anneau de rayon intérieur 2 et de rayon extérieur 3 qui couvre 10 au moins des points donnés. Problème R18 du ...
Un magicien a 100 cartes numérotées de 1 à 100. Il les répartit dans 3 boîtes, de façon qu'aucune boîte n'est vide, pour le tour que voici. Un spectateur choisit deux des boîtes, tire une carte ...
Jules et Romain jouent au jeu suivant. L'un d'eux (Jules par exemple) pense à un nombre entier, de 1 à 16. Romain doit trouver ce nombre en posant jusqu'à 7 questions à réponse par oui ou non. ...
Jules et Romain jouent selon la règle suivante : chacun pioche à son tour dans un tas de jetons, en prenant un ou plusieurs jetons, mais pas plus de 5 et pas le nombre que vient de prendre son ...
Le noble jeu des échecs connaît de nombreuses variantes par rapport aux règles du jeu homologuées. L'une d'entre elles connue sous le nom d'échecs Marseillais consiste, en respectant le mouvement ...
a) On veut découper un cube en N cubes. Montrer que c'est impossible si les cubes du découpage sont tous de tailles différentes.
b) Sans la condition du a), pour quelles valeurs de N est-ce possible? ...
Six orateurs, A, B, C, D, E, F, y prennent la parole, mais on a mélangé leurs dossiers et aucun d'eux ne porte le badge avec son nom. Le professeur A demande au porteur du badge B : ``êtes-vous le professeur ...
Un cocktail réunit N couples. L'organisateur constate, non sans surprise, que les nombres de mains serrées par chacune des 2N-1 autres personnes sont tous différents. Combien l'épouse de l'organisateur ...
Six clubs, trois espagnols et trois italiens, étaient récemment en lice pour la phase terminale d'une compétition. Les 3 premiers matches de cette phase ont été déterminés par tirage au sort. ...
On jette un dé et on renouvelle l'opération tant que le dé ne tombe pas sur le un, en totalisant les points obtenus à chaque coup. a) quelle est l'espérance mathématique du nombre de coups ? ...
Une urne contient des boules blanches, grises et rouges. Le jeu consiste à tirer une ou plusieurs boules, sans remise, selon la règle suivante : -- si je tire une boule rouge, j'ai perdu et ...
Dans chaque coup de ce jeu, on perd sa mise si on perd, on est remboursé de 2 fois la mise si on gagne. On mise 1 euro pour commencer. La martingale consiste à miser 1 euro de plus qu'au coup ...
Chaque matin, le trajet de l'Amphi (A) au Magnan (M) n'est pas très long mais peut emprunter de nombreux chemins différents (voir plan ci-dessous). Un jeune X voulant éviter toute monotonie décide ...
Dans une fête foraine, vous mettez une pièce dans une glissière située au dessus d'un plateau. La pièce tombe alors sur un plateau carré divisé en carreaux tous identiques. Lorsqu'elle tombe ...
On adopte pour le jeu de tennis ce modèle très simple : quand deux joueurs A et B s'affrontent, on considère comme fixes les probabilités (respectivement p et q=1-p) que A et B gagnent une manche. ...
Joe, Jack et Jim ont décidé de se battre en duel. Joe est un très mauvais tireur et rate sa cible deux fois sur trois. Jack est meilleur tireur, et rate sa cible une fois sur trois. Jim, tireur ...
On a N couleurs pour peindre des tétraèdres réguliers de même taille (une seule couleur par face ; un même tétraèdre peut avoir des faces de plusieurs couleurs, mais pas forcément de couleurs ...
Le sapeur Camember est né le 29 février 1844, qui était un jeudi. Son anniversaire donne lieu, depuis quelques dizaines d'années, à la publication chaque 29 février d'un périodique ``La Bougie du Sapeur''. ...
Une table de banquet est préparée avec une étiquette au nom de chacun des $n$ convives (ayant tous des noms différents). Une panne d'électricité survient, les convives arrivent dans le noir et ...
On coupe une barre droite en trois morceaux. Les coupes étant faites au hasard, quelle est la probabilité que les trois morceaux soient les côtés d'un triangle ? (On néglige l'épaisseur de la ...
Voici un défi que vous pouvez proposer à deux de vos amis. Parmi 3 joueurs, l'un est le devin, les deux autres se cachent de lui pour se répartir les rôles : l'un va établir une liste de 100 ...
Un tirage du Loto est constitué par un ensemble de 6 entiers distincts, entre 1 et 49. Il arrive qu'un tirage contienne deux entiers consécutifs. Avec quelle fréquence? Problème paru dans ...
J'observe la hauteur des vagues qui déferlent les unes après les autres. De temps en temps l'une est plus haute que la précédente et que la suivante. Quelle est la proportion de ces vagues remarquables, ...
Dunabla vous propose le jeu suivant : vous misez un euro chacun, puis il tire une à une les cartes d'un jeu de 52 cartes bien mélangé. C'est lui qui gagne si, à un certain moment, il a tiré ...
Trois sacs contiennent chacun 6 billes : le premier a 5 billes rouges et 1 bille jaune, le second a 4 billes rouges et 2 billes jaunes, le dernier a 3 billes rouges et 3 billes jaunes. On prend ...
Un groupe de n personnes est réuni dans une salle. Quelle est la probabilité pour que deux d'entre elles aient la même date d'anniversaire ? a) Deux au moins. b) Deux et deux seulement. On ...
Jules et Romain jouent à pile ou face, Jules gagne si la séquence FPP apparaît avant la séquence PPF. Comment doivent-ils miser pour que le jeu soit équitable ? Problème paru dans La Jaune ...
Un volume est formé de 1721 cubes de même taille, et ce serait un parfait parallélépipède rectangle (avec plusieurs couches de cubes dans chaque direction) s'il n'y manquait pas les cubes des ...
J'avais un dé en forme d'octaèdre qui me permettait de tirer de façon équiprobable une possibilité parmi huit. Je l'ai perdu et il ne me reste qu'un dé ordinaire, cubique. Comment puis-je l'utiliser ...
Un cube d'arête a est placé dans un globe en verre (sphère de diamètre D, centrée au centre du cube). Quand une mouche se pose (au hasard) sur le globe, elle peut voir, selon le cas, une, deux ...
Jules et Romain conviennent de lancer une pièce de monnaie, Jules n+1 fois et Romain n fois ; Jules gagne s'il obtient plus de Pile que Romain ; Romain gagne s'il obtient autant ou plus de ...
On rappelle qu'un cryptarithme est une opération codée dans laquelle une même lettre représente toujours le même chiffre (de 0 à 9) et deux lettres différentes représentent deux chiffres différents. ...
Pour donner plus de poids aux régions françaises en Europe, on veut les faire plus grandes, mais pour préserver la cohésion nationale, on veut qu'elles aient beaucoup de contacts entre elles. ...
Un matin, juste au lever du soleil, un moine bouddhiste commence à gravir une montagne. Le sentier, très étroit, monte en spirale jusqu'au temple qui brille au sommet. Le moine grimpe tantôt ...
Je trace, avec l'une ou l'autre de 3 couleurs, les 136 segments reliant 17 points deux à deux. Puis-je éviter de former un triangle unicolore ? Problème paru dans La Jaune et la Rouge de mars ...
Entre 6 bornes A,B,C,D,E,F je branche 9 résistances égales, selon le schéma ci-dessous. J'applique une tension V entre A et F. Comment se répartissent les intensités et les potentiels ? Interprétez ...
Un escargot est dans un tuyau AB (1,50 m de long, 1 m de circonférence), sur la génératrice inférieure, à 50 cm du bout A. Pour aller à l'enterrement d'une feuille morte, il a rendez-vous avec ...
Dans son jeu de dominos, Dunabla a écarté tous ceux qui portent un ou des zéros, proclamant : ``Zéro ne vaut pas''. Il cherche maintenant à placer les dominos restants, en suivant la règle du ...
Au conseil d'administration de La Thélème S.A., 6 administrateurs (A, B, C, D, E, F) ne sont guère assidus ; ils passent signer la feuille de présence à un moment ou à un autre, mais ne restent ...
Le sol de cette pièce a été peint en 3 couleurs de manière que deux points quelconques distants de 1 mètre sont de couleurs différentes. Que pouvez-vous en conclure pour la taille de la pièce ...
Peut-on faire le tour des 46 carrefours de ce réseau par un parcours fermé passant une fois et une seule en chacun, et revenant au point de départ ? Graphe de Kozyrev et Grinberg, ...
Le jeu suivant se pratique à deux joueurs, avec une feuille de papier et deux crayons de couleur différente. On place 6 points sur la feuille, sans qu'il y en ait 3 d'alignés (il est commode, ...
Comment disposer 4 points A,B,C,D sur un cercle pour maximiser l'expression AB2+AC2+AD2+BC2+BD2+CD2 ? Problème paru dans La Jaune et la Rouge de mai 2003
solution ...
Le très réputé Club aéromodéliste de Mercaville est en effervescence. La compétition internationale des ``Vieux Coucous'', où ils partiraient favoris, est très proche. Leur ``enfant'', un ...
Albert Dürer construit un pentagone à côtés égaux de la manière suivante, à partir d'un côté AB : Construire les triangles équilatéraux ABF, AFG, BFH, puis I, milieu de l'arc AB sur le cercle ...
A, B, C sont 3 sphères tangentes 2 à 2. On considère 6 autres sphères : S1 tangente à A,B,C ; S2 tangente à A,B,C,S1 ; S3 tangente à A,B,C,S2 sans se confondre avec S1 ; S4 tangente à A,B,C,S3 ...
On donne les angles 20°, 30°, 40°, 50° de la figure ci-dessous. Que vaut l'angle marqué d'un point d'interrogation ? Problème paru dans La Jaune et la Rouge de juin-juillet 2004
solution ...
Un plan coupe un ellipsoïde d'axes de longueur 2a, 2b et 2c (en ordre croissant) de telle sorte que l'intersection est un cercle. Quel est le diamètre maximal de ce cercle ? Problème proposé par ...
Un cube d'arête 1 tourne autour de sa grande diagonale AC'. a) Quel est le volume de la portion d'espace balayée par le cube dans sa rotation ? b) (pour les plus trapus) Quelle est l'aire ...
On donne un ensemble A de n points (au moins 3) dans le plan, sans qu'il y en ait 3 d'alignés. Montrer qu'il existe un ensemble B de 2n-5 points du plan, avec la propriété suivante : pour tout ...
Soit ABC un triangle quelconque. Sur ses côtés et vers l'extérieur on construit 3 autres triangles : PBC d'angles 45° en B et 30° en C ; AQC d'angles 45° en A et 30° en C ; ABR d'angles ...
Une pizza est un disque circulaire, agrémenté de garnitures diverses (pâte d'anchois, coulis de tomate, mozzarella, ... à votre goût), également de formes circulaires mais ces cercles sont ...
L'angle de crête, dans le vocabulaire de l'automobile, est l'angle d'un dièdre sur lequel le véhicule peut passer sans toucher l'arête (sauf par ses roues). Connaissant le diamètre des roues ...
